（試題 試卷 真題）學案30

學案30等比數(shù)列及其前n項和導學目標： 1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.4.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系，并能用等比數(shù)列的有關知識解決相應的問題自主梳理1等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的_，通常用字母_表示(q0)2等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q，則它的通項an_.3等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項4等比數(shù)列的常用性質(1)通項公式的推廣：anam_ (n，mN*)(2)若an為等比數(shù)列，且klmn (k，l，m，nN*)，則_(3)若an，bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an (0)，a，anbn，仍是等比數(shù)列(4)單調性：或an是_數(shù)列；或an是_數(shù)列；q1an是_數(shù)列；q1，令bnan1 (n1,2，)，若數(shù)列bn有連續(xù)四項在集合53，23,19,37,82中，則6q_.探究點一等比數(shù)列的基本量運算例1已知正項等比數(shù)列an中，a1a52a2a6a3a7100，a2a42a3a5a4a636，求數(shù)列an的通項an和前n項和Sn.變式遷移1在等比數(shù)列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求n和q.探究點二等比數(shù)列的判定例2(2011岳陽月考)已知數(shù)列an的首項a15，前n項和為Sn，且Sn12Snn5，nN*.(1)證明數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)求an的通項公式以及Sn.變式遷移2設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求證：數(shù)列Sn2是等比數(shù)列探究點三等比數(shù)列性質的應用例3(2011湛江月考)在等比數(shù)列an中，a1a2a3a4a58，且2，求a3.變式遷移3(1)已知等比數(shù)列an中，有a3a114a7，數(shù)列bn是等差數(shù)列，且b7a7，求b5b9的值；(2)在等比數(shù)列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，求a41a42a43a44.分類討論思想與整體思想的應用例(12分)設首項為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和為80，它的前2n項和為6 560，且前n項中數(shù)值最大的項為54，求此數(shù)列的第2n項【答題模板】解設數(shù)列an的公比為q，若q1，則Snna1，S2n2na12Sn.S2n6 5602Sn160，q1，2分由題意得4分將整體代入得80(1qn)6 560，qn81.6分將qn81代入得a1(181)80(1q)，a1q1，由a10，得q1，數(shù)列an為遞增數(shù)列8分ana1qn1qn8154.10分與a1q1聯(lián)立可得a12，q3，a2n232n1 (nN*)12分【突破思維障礙】(1)分類討論的思想：利用等比數(shù)列前n項和公式時要分公比q1和q1兩種情況討論；研究等比數(shù)列的單調性時應進行討論：當a10，q1或a10,0q1時為遞增數(shù)列；當a11或a10,0q1時為遞減數(shù)列；當q0且q1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系(3)整體思想：應用等比數(shù)列前n項和時，常把qn，當成整體求解本題條件前n項中數(shù)值最大的項為54的利用是解決本題的關鍵，同時將qn和的值整體代入求解，簡化了運算，體現(xiàn)了整體代換的思想，在解決有關數(shù)列求和的題目時應靈活運用1等比數(shù)列的通項公式、前n項公式分別為ana1qn1，Sn2等比數(shù)列的判定方法：(1)定義法：即證明q (q0，nN*) (q是與n值無關的常數(shù))(2)中項法：證明一個數(shù)列滿足aanan2 (nN*且anan1an20)3等比數(shù)列的性質：(1)anamqnm (n，mN*)；(2)若an為等比數(shù)列，且klmn (k，l，m，nN*)，則akalaman；(3)設公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.4在利用等比數(shù)列前n項和公式時，一定要對公比q1或q1作出判斷；計算過程中要注意整體代入的思想方法5等差數(shù)列與等比數(shù)列的關系是：(1)若一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列是非零常數(shù)列；(2)若an是等比數(shù)列，且an0，則lg an構成等差數(shù)列 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2010遼寧)設an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和已知a2a41，S37，則S5等于 ()A.B.C.D.2(2010浙江)設Sn為等比數(shù)列an的前n項和，8a2a50，則等于 ()A11B8C5D113在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a13，前三項的和S321，則a3a4a5等于()A33B72C84D1894等比數(shù)列an前n項的積為Tn，若a3a6a18是一個確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13，T17，T25中也是常數(shù)的項是 ()AT10BT13CT17DT255(2011佛山模擬)記等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S32，S618，則等于()A3B5C31D33題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6設an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a11，a516，則數(shù)列an前7項的和為_7(2011平頂山月考)在等比數(shù)列an中，公比q2，前99項的和S9930，則a3a6a9a99_.8(2010福建)在等比數(shù)列an中，若公比q4，且前3項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式an_.三、解答題(共38分)9(12分)(2010陜西)已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且a1，a3，a9成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項；(2)求數(shù)列2an的前n項和Sn.10(12分)(2011廊坊模擬)已知數(shù)列l(wèi)og2(an1)為等差數(shù)列，且a13，a25.(1)求證：數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)求的值11(14分)已知等差數(shù)列an的首項a11，公差d0，且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列bn的第2項、第3項、第4項(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)設數(shù)列cn對nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 010.答案 自主梳理1公比q2.a1qn14.(1)qnm(2)akalaman(4)遞增遞減常擺動6.qn自我檢測1D2.B3.B4.C5.9課堂活動區(qū)例1解題導引(1)在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中共有a1，an，q，n，Sn五個量，知道其中任意三個量，都可以求出其余兩個量解題時，將已知條件轉化為基本量間的關系，然后利用方程組的思想求解；(2)本例可將所有項都用a1和q表示，轉化為關于a1和q的方程組求解；也可利用等比數(shù)列的性質來轉化，兩種方法目的都是消元轉化解方法一由已知得：，得4aq664，aq616.代入，得21616q2100.解得q24或q2.又數(shù)列an為正項數(shù)列，q2或.當q2時，可得a1，an2n12n2，Sn2n1；當q時，可得a132.an32n126n.Sn6426n.方法二a1a5a2a4a，a2a6a3a5，a3a7a4a6a，由可得即解得或當a38，a52時，q2.q0，q，由a3a1q28，得a132，an32n126n.Sn6426n.當a32，a58時，q24，且q0，q2.由a3a1q2，得a1.an2n12n2.Sn2n1.變式遷移1解由題意得解得或若則Sn126，解得q，此時，an264n1，n6.若則Sn126，q2.an6422n1.n6.綜上n6，q2或.例2解題導引(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個基本方法：q (q為與n值無關的常數(shù))(nN*)aanan2 (an0，nN*)(2)證明數(shù)列不是等比數(shù)列，可以通過具體的三個連續(xù)項不成等比數(shù)列來證明，也可用反證法(1)證明由已知Sn12Snn5，nN*，可得n2時，Sn2Sn1n4，兩式相減得Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，從而an112(an1)，當n1時，S22S115，所以a2a12a16，又a15，所以a211，從而a212(a11)，故總有an112(an1)，nN*，又a15，a110，從而2，即數(shù)列an1是首項為6，公比為2的等比數(shù)列(2)解由(1)得an162n1，所以an62n11，于是Snn62nn6.變式遷移2(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當n1時，a1212；當n2時，a12a2(a1a2)4，a24；當n3時，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)證明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當n2時，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列例3解題導引在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是性質“若mnpq，則amanapaq”，可以減少運算量，提高解題速度解由已知得2，a4，a32.若a32，設數(shù)列的公比為q，則22q2q28，即1qq2224.此式顯然不成立，經(jīng)驗證，a32符合題意，故a32.變式遷移3解(1)a3a11a4a7，a70，a74，b74，bn為等差數(shù)列，b5b92b78.(2)a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61.a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548.：q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)1012101 024.課后練習區(qū)1Ban是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a41，設an的公比為q，則q0，且a1，即a31.S37，a1a2a317，即6q2q10.故q或q(舍去)，a14.S58(1).2A由8a2a50，得8a1qa1q40，所以q2，則11.3C由題可設等比數(shù)列的公比為q，則211qq27q2q60(q3)(q2)0，根據(jù)題意可知q0，故q2.所以a3a4a5q2S342184.4Ca3a6a18aq2517(a1q8)3a，即a9為定值，所以下標和為9的倍數(shù)的積為定值，可知T17為定值5D因為等比數(shù)列an中有S32，S618，即1q39，故q2，從而1q512533.6127解析公比q416，且q0，q2，S7127.7.解析S9930，即a1(2991)30，數(shù)列a3，a6，a9，a99也成等比數(shù)列且公比為8，a3a6a9a9930.84n1解析等比數(shù)列an的前3項之和為21，公比q4，不妨設首項為a1，則a1a1qa1q2a1(1416)21a121，a11，an14n14n1.9解(1)由題設知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比數(shù)列，得，(4分)解得d1或d0(舍去)故an的通項an1(n1)1n.(7分)(2)由(1)知2an2n，由等比數(shù)列前n項和公式，得Sn222232n2n12.(12分)10(1)證明設log2(an1)log2(an11)d (n2)，因為a13，a25，所以dlog2(a21)log2(a11)log24log221，(3分)所以log2(an1)n，所以an12n，所以2 (n2)，所以an1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列(6分)(2)解由(1)可得an1(