概率論全概率公式

1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 作業(yè)交兩面內(nèi)容全學(xué)的頁碼 2 1990年 美國 Parade展示 雜志 AskMarilyn 專欄的主持人瑪莉蓮 莎凡收到了一名讀者的提問 假設(shè)你正在參加一個游戲節(jié)目 你被要求在三扇門中選擇一扇 其中一扇后面有一輛汽車 其余兩扇后面則是山羊 你選擇了一扇門 假設(shè)是一號門 然后知道門后面有什么的主持人開啟了另一扇后面有山羊的門 假設(shè)是三號門 他然后問你 你想選擇二號嗎 一個教授都容易回答錯誤的概率問題 3 1 4條件概率與事件的獨立性 一 條件概率 1 問題E 產(chǎn)品 N個產(chǎn)品中含M個次品 隨機(jī)抽樣 Ai 第i次抽到次品 i 1 2 放回抽樣時 不放回抽樣時 P A2 P A2 P Ai P A2 4 2 定義 為在B發(fā)生的條件下 A發(fā)生的條件概率 注2 條件概率滿足三條公理及概率的其它性質(zhì) 注1 P A B 是將樣本空間壓縮成B 事件A壓縮成AB后計算概率 P A B 本質(zhì)上是一個無條件概率 AB 設(shè)A B為兩隨機(jī)事件 且P B 0 則稱 5 例1設(shè)某地區(qū)歷史上從某次特大洪水發(fā)生以后在30年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為80 在40年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為85 現(xiàn)已知該地區(qū)已經(jīng)30年未發(fā)生特大洪水 問未來10年內(nèi)將發(fā)生特大洪水的概率是多少 解記A 30年內(nèi)無特大洪水 B 未來10年內(nèi)有特大洪水 則 二 乘法公式 A 40年內(nèi)無特大洪水 6 例2設(shè)A盒內(nèi)有M個黑球 B盒內(nèi)有同種質(zhì)地 大小的M個白球 現(xiàn)讓某人從B盒內(nèi)隨機(jī)摸取一球放入A盒中 然后再從A盒中隨機(jī)摸取一球放入B盒中 稱此為一次交換 若經(jīng)M次交換后 A中恰有M個白球則此人可獲獎 問此人獲獎的概率是多少 解設(shè) 7 例3袋中有5個球 3個紅球 2個白球 現(xiàn)每次任取1個 取后放回 并同時放入3個同色的球 記Ai為第i次取到紅球 求概率P A2 解 問題 A3由哪幾個原因引起 8 三 全概率公式 B 則對任何事件B有 證 A1A2 An BA1 BA2 BAi BAn 設(shè)A1 A2 An是對的一個劃分 注意 解題時先畫因果關(guān)系圖 多因一果 A1Ai An P B Ai B P Ai 例1 17 P10 礦工逃生問題 BA1 9 例從一副不含有大小王的撲克牌中不放回的抽取兩張 求兩張牌點數(shù)相同的概率 10 例從一副不含有大小王的撲克牌中不放回的抽取兩張 求第二張牌點數(shù)大于第一張的概率 11 例 2005 從數(shù)1 2 3 4中任取一個 記為X 再從1 X中任取一個 記為Y 則 解 試驗分為兩個階段 Y 2是第2階段的結(jié)果 第1階段的所有結(jié)果是Y 2發(fā)生的一組前提條件 12 例某種產(chǎn)品的商標(biāo)為 MAXAM 其中有兩個脫落 有人撿起隨意放回 求放回仍為 MAXAM 的概率 解 試驗分兩階段第一階段是字母脫落 第2階段是撿起放回 放回仍為 MAXAM 是第2階段的結(jié)果 設(shè)為A 它與第1階段脫落的情況有關(guān) 則 代入即得 用B表示脫落的兩個字母相同 13 賭徒輸光問題 設(shè)甲乙二人賭博 每局輸贏1元錢 每局甲贏的概率為p 開始時甲乙二人各有m n元錢 約定賭到一個人輸光為止 求甲輸光的概率 14 可以解得 15 四 Bayes公式 P Ai P Ai B A1A2 An P B Ai B 設(shè)A1 A2 An是對的一個劃分 則 P Ai 先驗概率 P Ai B 后驗概率 B B 證明 16 例4一臺機(jī)床正常時 產(chǎn)品的合格率為90 非正常時 產(chǎn)品的合格率為30 每天上班開動機(jī)床時 機(jī)床正常的概率為75 檢驗人員為檢驗機(jī)床是否正常 開動機(jī)床生產(chǎn)出了一件產(chǎn)品 經(jīng)檢驗 該產(chǎn)品為不合格品 問此時機(jī)床處于正常狀態(tài)的概率是多少 解記A 機(jī)器處于正常狀態(tài) B 生產(chǎn)出的一件產(chǎn)品為不合格品 0 75 0 25 0 1 0 7 此時機(jī)器處于不正常狀態(tài)的概率為0 7 應(yīng)檢修 17 注 已知某事件已發(fā)生 求另一事件的概率則為求條件概率 已知每種原因出現(xiàn)的概率及每種原因?qū)е履辰Y(jié)果出現(xiàn)的條件概率 則由全概率公式 可求得某結(jié)果出現(xiàn)的概率P B 非條件概率 由Bayes公式 可求得結(jié)果B是由某原因引起的 后驗 條件 概率 應(yīng)用全概率公式和Bayes公式時要注意其條件 原因兩兩不相容 18 19 關(guān)于條件概率的問題 20 例從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張 將其中1張放到驗鈔機(jī)上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔 求2張都是假鈔的概率 解令A(yù)表示 從兩張中任抽一張 結(jié)果是假鈔 例2 C表示 2張至少有一張是假鈔 21 22 女孩問題 設(shè)有兩個孩子的一對新夫婦剛搬到某小鎮(zhèn) 假定有人在路上遇到母親與她的一個孩子散步 若這個孩子是女孩 問她的兩個孩子都是女孩的概率是多少 23 24 25 一個教授都容易回答錯誤的問題的解答 26 一 什么是貝葉斯推斷 27 28 29 30 31 32 33 什么是貝葉斯過濾器 34 35 36 37 38 39 五 事件的獨立性 引例E 傳染病抽檢 已知該病犯病率為1 A 前99位查沒病 B 第100位有病 定義1若事件A B滿足 P AB P A P B 則稱A與B相互獨立 通常根據(jù)直觀意義判斷獨立性 再反用定義 40 定理下面四個等式是等價的 證明 1 2 類似地可證 2 3 3 4 4 1 41 解 定義2稱A B C相互獨立 是指下面等式成立 例5設(shè)有四張卡片 一張涂有紅色 一張涂有白色 一張涂有黑色 一張涂有紅 白 黑三種顏色 從中任意取一張 令A(yù) 抽出的卡片上出現(xiàn)紅色 B 抽出的卡片上出現(xiàn)白色 C 抽出的卡片上出現(xiàn)黑色 試分析A B C的獨立性 A B C 但 即A B C兩兩獨立 但A B C不相互獨立的 對比乘法公式看其意義 42 一般稱A1 A2 An相互獨立 是指下面等式成立 P Ai1Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik 1 i1 i2 ik n 2 k n 例6設(shè)某人玩電子射擊游戲 每次射擊命中目標(biāo)的概率是p 0 004 求他獨立地射擊n次能命中目標(biāo) 至少一次 的概率 解 記Ai 第i次命中目標(biāo) i 1 2 n A 射擊n次能命中目標(biāo)至少一次 則 獨立地 說明小概率事件也不能忽略 43 注 互不相容與相互獨立是兩個不同的概念 相互獨立 互不相容 一般二者不同時成立 相互獨立的性質(zhì) 若n個事件相互獨立 則其中任意m個事件也相互獨立 把其中任意m個事件換成對立事件以后 所得的n個事件也相互獨立 練習(xí)2討論兩事件互不相容與相互獨立的關(guān)系 練習(xí)3一架長 zhang 機(jī)帶兩架僚機(jī)飛往某地進(jìn)行轟炸 只有長機(jī)能確定具體目標(biāo) 在到達(dá)目標(biāo)上空之前 必須經(jīng)過敵高炮防空區(qū) 這時任一架飛機(jī)被擊落的概率為0 2 到達(dá)目標(biāo)上空之后 各飛機(jī)將獨立地進(jìn)行轟炸 炸毀目標(biāo)的概率都是0 3 試求目標(biāo)被炸毀的概率 是非題1若P A 0 則A 若P A 1 則A 如幾何概型中任一基本事件概率為0 44 練習(xí)2討論互不相容與相互獨立的關(guān)系 解 1 若P A P B 0 則二者不可能同時成立 因為 a 若A B互不相容 即AB 則 0 P AB P A P B 即A B不相互獨立 b 若A B相互獨立 即P AB P A P B 0 則 AB 即A B相容 2 若P A P B 0 則二者有可能同時成立 因為 A B互不相容 即AB 則二者可同時成立 此時P AB P A P B 0 AB 除非已知 即A B必相互獨立 但 45 練習(xí)3一架長 zhang 機(jī)帶兩架僚機(jī)飛往某地進(jìn)行轟炸 只有長機(jī)能確定具體目標(biāo) 在到達(dá)目標(biāo)上空之前 必須經(jīng)過敵高炮防空區(qū) 這時任一架飛機(jī)被擊落的概率為0 2 到達(dá)目標(biāo)上空之后 各飛機(jī)將獨立地進(jìn)行轟炸 炸毀目標(biāo)的概率都是0 3 試求目標(biāo)被炸毀的概率 列出式子即可 解記Bi為長機(jī)與i架僚機(jī)到達(dá)目標(biāo)上空 i 0 1 2 A為目標(biāo)被炸毀 則 P B0 0 8 0 22 0 032P B1 2 0 82 0 2 0 256 P B2 0 83 0 512 故 0 4765 B0B1B2 P A Bi A P Bi P A B0 0 3 或 P A B2 1 0 73 0 657 P A B1 1 0 72 0 51 46 隨機(jī)事件 第一章小結(jié) 隨機(jī)試驗 樣本空間 所有 關(guān)系 運算 AB A B A AB 獨立P AB P A P B 公式P AB P A P B A P A B P A 公理化定義1 P A 02 3 條件概率 全概率公式P B i 1nP Ai P B Ai Bayes公式 統(tǒng)計古典幾何概率 47 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 作業(yè)交兩面內(nèi)容全學(xué)的頁碼 48 1990年 美國 Parade展示 雜志 AskMarilyn 專欄的主持人瑪莉蓮 莎凡收到了一名讀者的提問 假設(shè)你正在參加一個游戲節(jié)目 你被要求在三扇門中選擇一扇 其中一扇后面有一輛汽車 其余兩扇后面則是山羊 你選擇了一扇門 假設(shè)是一號門 然后知道門后面有什么的主持人開啟了另一扇后面有山羊的門 假設(shè)是三號門 他然后問你 你想選擇二號嗎 一個教授都容易回答錯誤的概率問題 49 1 4條件概率與事件的獨立性 一 條件概率 1 問題E 產(chǎn)品 N個產(chǎn)品中含M個次品 隨機(jī)抽樣 Ai 第i次抽到次品 i 1 2 放回抽樣時 不放回抽樣時 P A2 P A2 P Ai P A2 50 2 定義 為在B發(fā)生的條件下 A發(fā)生的條件概率 注2 條件概率滿足三條公理及概率的其它性質(zhì) 注1 P A B 是將樣本空間壓縮成B 事件A壓縮成AB后計算概率 P A B 本質(zhì)上是一個無條件概率 AB 設(shè)A B為兩隨機(jī)事件 且P B 0 則稱 51 例1設(shè)某地區(qū)歷史上從某次特大洪水發(fā)生以后在30年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為80 在40年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為85 現(xiàn)已知該地區(qū)已經(jīng)30年未發(fā)生特大洪水 問未來10年內(nèi)將發(fā)生特大洪水的概率是多少 解記A 30年內(nèi)無特大洪水 B 未來10年內(nèi)有特大洪水 則 二 乘法公式 A 40年內(nèi)無特大洪水 52 例2設(shè)A盒內(nèi)有M個黑球 B盒內(nèi)有同種質(zhì)地 大小的M個白球 現(xiàn)讓某人從B盒內(nèi)隨機(jī)摸取一球放入A盒中 然后再從A盒中隨機(jī)摸取一球放入B盒中 稱此為一次交換 若經(jīng)M次交換后 A中恰有M個白球則此人可獲獎 問此人獲獎的概率是多少 解設(shè) 53 例3袋中有5個球 3個紅球 2個白球 現(xiàn)每次任取1個 取后放回 并同時放入3個同色的球 記Ai為第i次取到紅球 求概率P A2 解 問題 A3由哪幾個原因引起 54 三 全概率公式 B 則對任何事件B有 證 A1A2 An BA1 BA2 BAi BAn 設(shè)A1 A2 An是對的一個劃分 注意 解題時先畫因果關(guān)系圖 多因一果 A1Ai An P B Ai B P Ai 例1 17 P10 礦工逃生問題 BA1 55 例從一副不含有大小王的撲克牌中不妨?xí)某槿蓮?求兩張牌點數(shù)相同的概率 56 例從一副不含有大小王的撲克牌中不妨?xí)某槿蓮?求第二張牌點數(shù)大于第一張的概率 57 例 2005 從數(shù)1 2 3 4中任取一個 記為X 再從1 X中任取一個 記為Y 則 解 試驗分為兩個階段 Y 2是第2階段的結(jié)果 第1階段的所有結(jié)果是Y 2發(fā)生的一組前提條件 58 例某種產(chǎn)品的商標(biāo)為 MAXAM 其中有兩個脫落 有人撿起隨意放回 求放回仍為 MAXAM 的概率 解 試驗分兩階段第一階段是字母脫落 第2階段是撿起放回 放回仍為 MAXAM 是第2階段的結(jié)果 設(shè)為A 它與第1階段脫落的情況有關(guān) 則 代入即得 用B表示脫落的兩個字母相同 59 賭徒輸光問題 設(shè)甲乙二人賭博 每局輸贏1元錢 每局甲贏的概率為p 開始時甲乙二人各有m n元錢 約定賭到一個人輸光為止 求甲輸光的概率 60 可以解得 61 四 Bayes公式 P Ai P Ai B A1A2 An P B Ai B 設(shè)A1 A2 An是對的一個劃分 則 P Ai 先驗概率 P Ai B 后驗概率 B B 證明 62 例4一臺機(jī)床正常時 產(chǎn)品的合格率為90 非正常時 產(chǎn)品的合格率為30 每天上班開動機(jī)床時 機(jī)床正常的概率為75 檢驗人員為檢驗機(jī)床是否正常 開動機(jī)床生產(chǎn)出了一件產(chǎn)品 經(jīng)檢驗 該產(chǎn)品為不合格品 問此時機(jī)床處于正常狀態(tài)的概率是多少 解記A 機(jī)器處于正常狀態(tài) B 生產(chǎn)出的一件產(chǎn)品為不合格品 0 75 0 25 0 1 0 7 此時機(jī)器處于不正常狀態(tài)的概率為0 7 應(yīng)檢修 63 一個教授都容易回答錯誤的問題的解答 64 一 什么是貝葉斯推斷 65 66 67 68 69 70 71 什么是貝葉斯過濾器 72 73 74 75 76 77 注 已知某事件已發(fā)生 求另一事件的概率則為求條件概率 已知每種原因出現(xiàn)的概率及每種原因?qū)е履辰Y(jié)果出現(xiàn)的條件概率 則由全概率公式 可求得某結(jié)果出現(xiàn)的概率P B 非條件概率 由Bayes公式 可求得結(jié)果B是由某原因引起的 后驗 條件 概率 應(yīng)用全概率公式和Bayes公式時要注意其條件 原因兩兩不相容 78 五 事件的獨立性 引例E 傳染病抽檢 已知該病犯病率為1 A 前99位查沒病 B 第100位有病 定義1若事件A B滿足 P AB P A P B 則稱A與B相互獨立 通常根據(jù)直觀意義判斷獨立性 再反用定義 79 定理下面四個等式是等價的 證明 1 2 類似地可證 2 3 3 4 4 1 80 解 定義2稱A B C相互獨立 是指下面等式成立 例5設(shè)有四張卡片 一張涂有紅色 一張涂有白色 一張涂有黑色 一張涂有紅 白 黑三種顏色 從中任意取一張 令A(yù) 抽出的卡片上出現(xiàn)紅色 B 抽出的卡片上出現(xiàn)白色 C 抽出的卡片上出現(xiàn)黑色 試分析A B C的獨立性 A B C 但 即A B C兩兩獨立 但A B C不相互獨立的 對比乘法公式看其意義 81 一般稱A1 A2 An相互獨立 是指下面等式成立 P Ai1Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik 1 i1 i2 ik n 2 k n 例6設(shè)某人玩電子射擊游戲 每次射擊命中目標(biāo)的概率是p 0 004 求他獨立地射擊n次能命中目標(biāo) 至少一次 的概率 解 記Ai 第i次命中目標(biāo) i 1 2 n A 射擊n次能命中目標(biāo)至少一次 則 獨立地 說明小概率事件也不能忽略 82 注 互不相容與相互獨立是兩個不同的概念 相互獨立 互不相容 一般二者不同時成立 相互獨立的性質(zhì) 若n個事件相互獨立 則其中任意m個事件也相互獨立 把其中任意m個事件換成對立事件以后 所得的n個事件也相互獨立 練習(xí)2討論兩事件互不相容與相互獨立的關(guān)系 練習(xí)3一架長 zhang 機(jī)帶兩架僚機(jī)飛往某地進(jìn)行轟炸 只有長機(jī)能確定具體目標(biāo) 在到達(dá)目標(biāo)上空之前 必須經(jīng)過敵高炮防空區(qū) 這時任一架飛機(jī)被擊落的概率為0 2 到達(dá)目標(biāo)上空之后 各飛機(jī)將獨立地進(jìn)行轟炸 炸毀目標(biāo)的概率都是0 3 試求目標(biāo)被炸毀的概率 是非題1若P A 0 則A 若P A 1 則A 如幾何概型中任一基本事件概