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文檔簡介

第十一章 級數(shù)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)對于數(shù)列我們稱為無窮級數(shù)，記為=其中稱為通項(xiàng)。問題：什么情況下這個(gè)無窮項(xiàng)的和是一個(gè)確定的數(shù)，或者說有意義，也就是后面說的收斂？我們可以構(gòu)造部分和數(shù)列來解決這個(gè)問題。定義1：如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限，即，則稱級數(shù)收斂，稱為級數(shù)的和，并寫成=；如果數(shù)列沒有極限則稱級數(shù)發(fā)散。例1：無窮級數(shù) 叫做等比級數(shù)（幾何級數(shù)）討論其斂散性。解：當(dāng)時(shí)，即收斂；當(dāng)時(shí)，不存在，即發(fā)散。例2：判定級數(shù)的收斂性。解： 因?yàn)?，不存在，即發(fā)散。例3：判別無窮級數(shù)的斂散性。解：因?yàn)?，即收斂?二、收斂級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：如果級數(shù)收斂于，則它的各項(xiàng)都乘以一個(gè)常數(shù)所得的級數(shù)也收斂其和為。證明：設(shè)的部分和數(shù)列為，的部分和數(shù)列為，則有性質(zhì)2：如果級數(shù)，分別收斂于和，則級數(shù)收斂于和。證明：設(shè)分別為級數(shù)，和的部分和數(shù)列，則有性質(zhì)3：在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會改變級數(shù)的收斂性。證明：設(shè)級數(shù)改變了有限項(xiàng)，無妨設(shè)對應(yīng)變成且設(shè)。為改變后所得級數(shù)的部分和數(shù)列；為級數(shù)的部分和數(shù)列，當(dāng)時(shí)有性質(zhì)4：如果級數(shù)收斂，則對這級數(shù)的各項(xiàng)任意加括號后所成的級數(shù)還是收斂的。證明：設(shè)是加括號后所得級數(shù)的部分和數(shù)列，是級數(shù)的部分和數(shù)列，則有是的子列，所以注：級數(shù)：發(fā)散，但級數(shù)收斂于。性質(zhì)5：（級數(shù)收斂必要條件）如果級數(shù)收斂，則必有。證明：設(shè)是級數(shù)的部分和數(shù)列，且有。注：調(diào)和級數(shù)發(fā)散。解：因?yàn)?

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