高考數(shù)學(xué) 專題輔導(dǎo)與訓(xùn)練 2.2《與數(shù)列交匯的綜合問題》課件 理 新人教版.ppt

熱點考向1數(shù)列與方程的綜合問題 例1 2011 承德模擬 已知等差數(shù)列 an 的公差d 0 對于任意n n 都有an 0 1 求證 對于任意n n 所有方程anx2 2an 1x an 2 0均有一個相同的實數(shù)根 2 若a1 d 方程anx2 2an 1x an 2 0的另一個不同的根為an bn 求數(shù)列 bn 的通項公式 解題指導(dǎo) 1 解決本題的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列的性質(zhì)an an 2 2an 1求解 將an an 2 2an 1移項得到an 2an 1 an 2 0與anx2 2an 1x an 2 0相對應(yīng)便可得出方程的一個根 問題 2 的解決要利用根與系數(shù)的關(guān)系 得出數(shù)列 bn 的通項公式 規(guī)范解答 1 an 是等差數(shù)列 an an 2 2an 1 即an 2an 1 an 2 0 n n x 1是所有方程anx2 2an 1x an 2 0的相同的根 2 對于任意的n n 由根與系數(shù)的關(guān)系得 1 an bn 互動探究 在 2 的條件下 設(shè)求 解析 bn 解決與方程有關(guān)的數(shù)列問題的常用技巧1 熟練掌握等差 等比數(shù)列的性質(zhì) 2 熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系 有些試題的設(shè)計就是通過根與系數(shù)的關(guān)系來確定遞推關(guān)系 這里還要熟練把握已知遞推公式求通項公式的常見求解方法 3 在判斷數(shù)列 an 的項數(shù) 求公比或公差的取值范圍時 我們常將其化為一元二次方程的形式 利用判別式進行求解 設(shè)a1 d為實數(shù) 首項為a1 公差為d的等差數(shù)列 an 的前n項和為sn 滿足s5s6 15 0 1 若s5 5 求s6及a1 2 求d的取值范圍 解析 1 由題意知s6 3 a6 s6 s5 8 所以解得a1 7 所以s6 3 a1 7 2 因為s5s6 15 0 所以 5a1 10d 6a1 15d 15 0 即2a12 9da1 10d2 1 0 把上式看成關(guān)于a1的一元二次方程 因為有根 所以 81d2 8 10d2 1 d2 8 0 解得d 2或d 熱點考向2數(shù)列與不等式的綜合問題 例2 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 前n項和sn 0 n 1 2 1 求q的取值范圍 2 設(shè)bn an 2 an 1 記 bn 的前n項和為tn 試比較sn與tn的大小 解題指導(dǎo) 設(shè)定的數(shù)列 an 是滿足sn 0的一類等比數(shù)列 而不是一個確定的具體數(shù)列 提出的兩個問題都屬于不等式問題 1 的求解可按等價關(guān)系建立關(guān)于q的不等式 組 解之可得 也可對q分類討論 再歸納出答案 2 的求解 可用差值法 也可用比值法 規(guī)范解答 1 方法一 因為q是等比數(shù)列 an 的公比 sn是數(shù)列的前n項和 所以q 0 且因此 sn 0 n 1 2 等價于 a1 0且下列條件之一成立 解不等式組 得 q 1 解不等式組 得 1 q 0或0 q 1 綜合得q的取值范圍為 1 0 0 方法二 根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì) 在題設(shè)下 必有a1 s1 0 公比q 0 當(dāng)q 1時 s2 a1 1 q 0 當(dāng)01時 0 n 1 2 當(dāng)q 1時 sn na1 0 n 1 2 綜合得q的取值范圍為 1 0 0 2 方法一 bn an 2 tn sn q2 q tn sn sn q2 q 1 sn q 2 q n 1 2 因為sn 0 q 1且q 0 所以得 對任意正整數(shù)n 有 若 12 則tn sn 0 即tn sn 若 q 0或0 q 2 則tn sn 0 即tn sn 若q 或q 2 則tn sn 0 即tn sn 方法二 an a1qn 1 bn a1qn 1 q2 q 1的兩根為 和2 依題設(shè)sn 0 n 1 2 且由 1 知 10 所以得 對任意正整數(shù)n 有 當(dāng)q 或q 2時 tn sn 當(dāng) 12時 tn sn 當(dāng) q 0或0 q 2時 tn sn 數(shù)列不等式的常見題型及解答技巧1 數(shù)列不等式恒成立中的參數(shù)問題此類問題主要有兩種策略 1 若函數(shù)f x 的定義域為d 則當(dāng)x d時 有f x m恒成立 f x min m f x m恒成立 f x max m 2 利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識化簡不等式 組 再通過解不等式 組 解得 2 數(shù)列不等式的證明問題此類不等式的證明常用的方法 1 比較法 特別是差值比較法是最根本的方法 2 分析法與綜合法 一般是先利用分析法分析 再利用綜合法證明 3 放縮法 主要是通過分母分子的擴大或縮小 項數(shù)的增加或減少等手段達到證明的目的 3 數(shù)列中的最值問題數(shù)列中的某些最值問題 有時須結(jié)合不等式來解決 其具體解法 第一步建立目標函數(shù) 通過不等式確定變量范圍 進而求得最值 第二步首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性 然后確定最值 第三步利用條件中的不等關(guān)系確定最值 4 數(shù)列中的探索性問題此類問題主要表現(xiàn)為存在性 解答的一般策略 先假設(shè)所探求對象存在或結(jié)論成立 以此假設(shè)為前提條件進行運算或推理 若由此推出矛盾 則假設(shè)不成立 從而得到 否定 的結(jié)論 若推理不出現(xiàn)矛盾 就得到 肯定 的結(jié)論 設(shè)數(shù)列 an 的前n項的和sn n 1 2 3 1 求首項a1與通項an 2 設(shè)tn n 1 2 3 證明 解析 1 依題設(shè) 得a1 s1 a1 2 當(dāng)n 2時 an sn sn 1 an an 1 2n 整理得an 2n 4 an 1 2n 1 an 2n 4n 1 a1 2 4n 得通項an 4n 2n n 1 2 3 2 sn 4n 1 3 2n 1 2 2n 1 1 2n 1 熱點考向3數(shù)列與函數(shù) 解析幾何的綜合問題 例3 12分 2011 陜西高考 如圖 從點p1 0 0 作x軸的垂線交曲線y ex于點q1 0 1 曲線在q1點處的切線與x軸交于點p2 再從p2作x軸的垂線交曲線于點q2 依次重復(fù)上述過程得到一系列點 p1 q1 p2 q2 pn qn 記pk點的坐標為 xk 0 k 1 2 n 1 試求xk與xk 1的關(guān)系 2 k n 2 求 p1q1 p2q2 p3q3 pnqn 解題指導(dǎo) 1 根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求切線方程 然后再求切線與x軸的交點坐標 2 嘗試求出通項 pnqn 的表達式 然后再求和 規(guī)范解答 1 設(shè)點pk 1的坐標是 xk 1 0 1分 y ex y ex 2分 qk 1 xk 1 在點qk 1 xk 1 處的切線方程是 4分令y 0 則xk xk 1 1 6分 2 x1 0 xk xk 1 1 xk k 1 8分 pkqk e k 1 于是有 9分 p1q1 p2q2 p3q3 pnqn 1 e 1 e 2 e n 1 11分即 p1q1 p2q2 p3q3 pnqn 12分 數(shù)列與函數(shù)綜合問題求解方法 數(shù)列與函數(shù)的綜合是高考命題的重點與熱點 因此在復(fù)習(xí)數(shù)列時應(yīng)滲透函數(shù)思想 充分利用函數(shù)的有關(guān)知識 以它的概念 圖像 性質(zhì)為紐帶 架起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁 揭示它們間的內(nèi)在聯(lián)系 從而有效地解決數(shù)列問題 常見的題型和解決方法 1 試題背景是函數(shù)問題 所給出的函數(shù)為函數(shù)方程 通過解決函數(shù)問題的常用方法即賦值法的靈活運用 把已知函數(shù)式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的通項公式 在知識的交互滲透上打開解決問題的突破口 2 試題常以函數(shù)圖象上的點列為背景 以平面幾何的性質(zhì)為解題切入點 借助函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)列的單調(diào)性求最值 及確定n的取值 以函數(shù)為引入條件 綜合考查函數(shù)與數(shù)列交叉的相關(guān)知識 解此類問題應(yīng)注意從題目的眾多條件和求解 求證 中提取相關(guān)信息 得出某個確定的數(shù)學(xué)關(guān)系 從而有效地解決問題 已知數(shù)列 an 是公差d 0的等差數(shù)列 記sn為其前n項和 1 若a2 a3 a6依次成等比數(shù)列 求其公比q 2 若a1 1 證明 點p1 1 p2 2 pn n n n 在同一條直線上 并寫出此直線方程 3 若a1 1 d 是否存在一個圓 使得點q1 a1 s1 q2 q3 qn n n 都在這個圓內(nèi) 請說明理由 解析 1 a2 a3 a6成等比數(shù)列 2 sn na1 可見 點 n 在直線y 1 上 p1 p2 pn各點都在過點 1 1 且斜率為的直線上 此直線的方程為y 1 x 1 3 當(dāng)a1 1 d 時 an 1 n 1 對于任何n n 都成立 即點qn n n 都落在以點 為圓心 以1為半徑的圓內(nèi) 熱點考向4數(shù)列的實際應(yīng)用 例4 13分 2011 湖南高考 某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備m m的價值在使用過程中逐年減少 從第2年到第6年 每年初m的價值比上年初減少10萬元 從第7年開始 每年初m的價值為上年初的75 1 求第n年初 m的價值an的表達式 2 設(shè)an 若an大于80萬元 則m繼續(xù)使用 否則須在第n年初對m更新 證明 須在第9年初對m更新 解題指導(dǎo) 1 根據(jù)題目中的條件建立首項為120 公差為 10的等差數(shù)列 an 及首項為70 公比為的等比數(shù)列 注意對n進行分類說明 解決 2 時要由 1 的結(jié)論分別求和列出不等式求解 規(guī)范解答 1 當(dāng)n 6時 數(shù)列 an 是首項為120 公差為 10的等差數(shù)列 an 120 10 n 1 130 10n 2分當(dāng)n 6時 數(shù)列 an 是以a6為首項 公比為的等比數(shù)列 又a6 70 所以an 70 4分因此 第n年初 m的價值an的表達式為 6分 2 設(shè)sn表示數(shù)列 an 的前n項和 由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)1 n 6時 sn 120n 5n n 1 an 120 5 n 1 125 5n 8分當(dāng)n 7時 sn s6 a7 a8 an 570 70 4 1 n 6 780 210 n 6 an 10分因為 an 是遞減數(shù)列 所以 an 是遞減數(shù)列 又 12分所以須在第9年初對m更新 13分 解數(shù)列應(yīng)用題的方法現(xiàn)實生活中涉及到銀行利率 分期付款 企業(yè)股金 產(chǎn)品利潤 人口增長 工作效率等實際問題 常?？紤]用數(shù)列知識加以解決 能夠把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題 并且能夠明確是等差數(shù)列還是等比數(shù)列 確定首項 公差 比 項數(shù)各是什么 能分清是某一項還是某些項的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵 其思路框架如下表 一般步驟 審題 建立數(shù)學(xué)模型 求解 檢驗 解數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立有關(guān)等差 等比數(shù)列或遞推數(shù)列的模型 再綜合其他知識去解決問題 解題時應(yīng)明確是求數(shù)列的某一項 還是求數(shù)列的前n項和 甲 乙兩企業(yè) 2010年的銷售量均為p 2010年為第一年 根據(jù)市場分析和預(yù)測 甲企業(yè)前n年的總銷量為 n2 n 2 乙企業(yè)第n年的銷售量比前一年的銷售量多 1 求甲 乙兩企業(yè)第n年的銷售量的表達式 2 根據(jù)甲 乙兩企業(yè)所在地的市場規(guī)律 如果某企業(yè)的年銷售量不足另一企業(yè)的年銷售量的20 則該企業(yè)將被另一企業(yè)收購 試判斷 哪一企業(yè)將被收購 這個情形將在哪一年出現(xiàn) 試說明理由 解析 1 設(shè)甲企業(yè)前n年的總銷售量為sn 第n年的銷售量為an 乙企業(yè)第n年的銷售量bn 根據(jù)題意 得sn n2 n 2 bn bn 1 n 2 a1 s2 s1 p 當(dāng)n 2時 an sn sn 1 p n 1 bn b1 b2 b1 b3 b2 bn bn 1 bn p 2 an p p bn 2p an 故甲企業(yè)不可能被乙企業(yè)收購 當(dāng)n 1時 a1 b1 p 乙企業(yè)不可能被甲企業(yè)收購 當(dāng)n 2時 令 n 11 則當(dāng)n 2 3時 經(jīng)驗證n 11 當(dāng)4 n 10且n n 時 有11 10 n 11 當(dāng)n 11且n n 時 11 11 所以必有n 11 故當(dāng)n 11時 即2020年乙企業(yè)可能被甲企業(yè)收購 函數(shù)思想 解決數(shù)列中的綜合問題1 用函數(shù)的圖象解決數(shù)列問題此類問題即數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法 等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù) 所以其圖象是直線上的離散點 前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù) 且常數(shù)項為0 所以其圖象是拋物線上的離散點 等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式的結(jié)構(gòu)都類似于指數(shù)函數(shù) 所以其圖象是指數(shù)型函數(shù)圖象上的離散點 在解題過程中利用這些點會使問題簡單化 2 用函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)列問題周期性 單調(diào)性和最值是函數(shù)的重要性質(zhì) 利用函數(shù)的性質(zhì)分析和解決數(shù)列問題可以大大簡化解題過程 收到較好的解題效果 3 通過函數(shù)變換轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題用函數(shù)的觀點研究數(shù)列的相互關(guān)系 可以將非等差 非等比的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差 等比數(shù)列問題 進而使問題簡單化 典例 2011 張家口模擬 已知數(shù)列 an 的前n項和為sn 設(shè)an是sn與2的等差中項 數(shù)列 bn 中b1 1 點p bn bn 1 在直線y x 2上 1 求an bn 2 令tn 是否存在正整數(shù)m 使得tn m 對一切正整數(shù)n都成立 若存在 求出m的最小值 若不存在 請說明理由 解題指導(dǎo) 要使tn m對一切正整數(shù)n都成立 只要tn的最大值 m即可 解決本題層層遞進 先求出