四川省成都石室中學(xué)2019屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試題理（含解析）.docx

四川省成都石室中學(xué)2019屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試題 理（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知為虛數(shù)單位，集合，.若，則復(fù)數(shù)等于（ ）A. 1B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的概念得到集合Q，計(jì)算集合P與集合Q的補(bǔ)集，即可確定出復(fù)數(shù)z.【詳解】,則，即zi=-1,z=,故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算和復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于簡單題.2.已知為第二象限角，且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】將平方得到cossin，再將所求平方，結(jié)合為第二象限角即可得到答案.【詳解】，平方得，2cossin ，為第二象限角，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系式，考查之間關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3.已知某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)據(jù)4，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】分析：首先根據(jù)平均數(shù)的求解方法，代入式子，求得，利用方差的定義和計(jì)算公式，求得，從而可以判斷其大小關(guān)系，求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，而，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，所以在解題的過程中，利用平均數(shù)和方差的公式，求新添一個(gè)值之后的平均數(shù)和方差，從而得到結(jié)果.4.設(shè)，則使成立的必要不充分條件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式可得，然后再結(jié)合題意對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證、判斷后可得結(jié)果【詳解】由可得，解得選項(xiàng)A中，“”是“”成立的充要條件，所以A不符合題意；選項(xiàng)B中，由“”成立不能得到“”成立，反之，當(dāng)“”成立時(shí)，“”成立，所以“”是“”的必要不充分條件，所以B符合題意；選項(xiàng)C中，“”是“”的既不充分也不必要條件，所以C不符合題意；選項(xiàng)D中，“”是“”的充分不必要條件，所以D不符合題意故選B【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是正確理解“使成立的必要不充分條件”的含義，即由可得所選結(jié)論成立，而由所選的結(jié)論不能得到成立本題考查對(duì)充分、必要條件概念的理解，屬于基礎(chǔ)題5.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比為.若，則（ ）A. 3B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得等比數(shù)列an的公比q1，進(jìn)而由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得q2，從而可得a1值.【詳解】等比數(shù)列an中，若S69S3，則q1，若S69S3，則，解可得q38，則q2，又由S562，則有S531a162，解得a12；故選：D點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6. 甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自在周六、周日兩天中隨機(jī)選一天郊游，則周六、周日都有同學(xué)參加郊游的情況共有（ ）A. 2種B. 10種C. 12種D. 14種【答案】D【解析】試題分析：甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自在周六、周日兩天中隨機(jī)選一天郊游的情況有種，其中周六或周日沒有同學(xué)參加郊游的情況有種，故周六、周日都有同學(xué)參加郊游的情況共有種.考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理7.函數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)公差的等差數(shù)列，要得到的圖象，可將的圖象（ ）A. 向右平移個(gè)單位B. 向左平移個(gè)單位C. 向左平移個(gè)單位D. 向右平移個(gè)單位【答案】B【解析】【分析】由題意得函數(shù)周期為，得2，即f（x）sin（2x+）再根據(jù)函數(shù)yAsin（x+）的圖象變換規(guī)律可得結(jié)論【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，可得函數(shù)的周期為，即，得2，即f（x）sin（2x+）函數(shù)sin（+2x+）sin2（x+）+，把f（x）sin（2x+） 的圖象向左平移個(gè)單位，可得函數(shù)g（x）的圖象，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)yAsin（x+）的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用，考查圖像的平移變換規(guī)律，要注意平移是在給變量x本身做變化8.已知?jiǎng)又本€與圓相交于，兩點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，且滿足，若為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為（ ）A. 3B. C. 2D. -3【答案】A【解析】動(dòng)直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，且滿足，則為等邊三角形，于是可設(shè)動(dòng)直線為，根據(jù)題意可得，是線段的中點(diǎn)，設(shè)，解得，故選A9.體積為的三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，則球體積的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先用錐體體積公式以及三角形的面積公式得ABBC6，利用余弦定理得出AC的最小值，再利用正弦定理得ABC的外接圓半徑的最小值r，利用公式可得球半徑R的最小值，再利用球體體積公式可得出答案【詳解】因?yàn)镻A平面ABC，三棱錐PABC的體積為，得，另一方面，可得ABBC6，由余弦定理得AB2+BC2ABBC2ABBCABBCABBC6，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則AC，所以，ABC的外接圓的直徑的最小值為2r=，則球O的半徑的最小值為，因此，球O的體積的最小值為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查球體體積計(jì)算，考查利用錐體體積公式以及三角形的面積公式，考查基本不等式，考查計(jì)算能力，屬于中等題10.已知是橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為A. B. C. D. 【答案】C【解析】在中，設(shè),右焦點(diǎn)E,由橢圓的對(duì)稱性，知是平行四邊形，所以在中，由余弦定理得,，選C.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是要看到橢圓的對(duì)稱性把，轉(zhuǎn)化到焦點(diǎn)中，再應(yīng)用比值及余弦定理，可得離心率。11.已知平面向量，滿足，則的最大值為（ ）A. -1B. -2C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題意不妨設(shè)（1，0），（2，m），（1，n），利用求出的解析式，再由基本不等式求出最大值【詳解】由,不妨設(shè)（1，0），又，可設(shè)（2，m），（1，n），則（1，m+n），又，1+（m+n）24，（m+n）23；2+mn2+2+，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取“”；的最大值為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合題12.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令f（x）g（x）2x+e2xa1n（2x+2）+4ea2x，用導(dǎo)數(shù)求出y2xln（2x+2）的最小值；運(yùn)用基本不等式得e2xa+4ea2x4，從而可證明f（x）g（x）3，由等號(hào)成立的條件，從而解得a【詳解】令f（x）g（x）2x+e2xa1n（2x+2）+4ea2x，令y2xln（2x+2），y2，故y2xln（2x+2）在（1，）上是減函數(shù)，（，+）上是增函數(shù)，故當(dāng)x時(shí)，y有最小值101，而e2xa+4ea2x4（當(dāng)且僅當(dāng)e2xa4ea2x，即x（a+ln2）時(shí)，等號(hào)成立）；故f（x）g（x）3（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立時(shí)，等號(hào)成立）；故x（a+ln2），即a1ln2故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊擊中目標(biāo)的概率先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3表示沒有擊中目標(biāo)，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組如下的隨機(jī)數(shù)：7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為_【答案】【解析】由隨機(jī)數(shù)表可知,共有20個(gè)隨機(jī)事件,其中該運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次有:9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共有7個(gè)隨機(jī)事件,因此估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為.故答案為14.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_【答案】【解析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式得：，顯然時(shí)可能有常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)，的展開式中含，故常數(shù)項(xiàng)為，當(dāng)，常數(shù)項(xiàng)為1，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)15.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖是半圓.現(xiàn)有一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿該幾何體的側(cè)面環(huán)繞一周回到點(diǎn)，則螞蟻所經(jīng)過路程的最小值為_【答案】【解析】分析】由題目所給三視圖可得，該幾何體為圓錐的一半，側(cè)面展開圖的半徑為2，弧長為，再根據(jù)一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿該幾何體的側(cè)面環(huán)繞一周回到A點(diǎn)，利用余弦定理求出螞蟻所經(jīng)過路程的最小值【詳解】由題目所給三視圖可知該幾何體為圓錐的一半，展開圖如圖所示，依題意，螞蟻經(jīng)過的路程的最小值為線段AM的長度，因?yàn)镻A=PB=2,側(cè)面展開圖的半徑為2，弧長為，圓心角為，因?yàn)?所以,在中，根據(jù)余弦定理知 螞蟻所經(jīng)過路程的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查螞蟻所經(jīng)過路程的最小值，考查立體圖形轉(zhuǎn)為平面圖形以及余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力16.四邊形中，則的最大值為_【答案】【解析】【分析】設(shè)ABC，ACB，在ABC中，由余弦定理得AC2,由正弦定理得sin,在BCD中，由余弦定理得BD2然后由正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)可得最大值.【詳解】設(shè)ABC，ACB，則在ABC中，由余弦定理得AC2106cos由正弦定理得，即sin,，CD=在BCD中，由余弦定理得：BD2BC2+CD22BCCDcos（900+），即DB29+23-2cos+2sin +4sin（）當(dāng)時(shí)，對(duì)角線BD最大，最大值為，則的最大值為,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形中正余弦定理的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.在斜三角形中，.（）求的值；（）若，求的周長.【答案】() ；() .【解析】【分析】（）利用兩角和差的正切公式，誘導(dǎo)公式求得tanC的值即可得C值（）在中，利用正弦定理、兩角和差的正弦公式求得a、b的值，可得ABC的周長【詳解】（），即，又在斜三角形中，所以，即，亦即，因?yàn)?，所?（）在中，則，由正弦定理，得，故 ，.所以的周長為 .【點(diǎn)睛】本題考查兩角和差的正切、正弦公式，誘導(dǎo)公式，正弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題18.某商場(chǎng)舉行促銷活動(dòng)，有兩個(gè)摸獎(jiǎng)箱，箱內(nèi)有一個(gè)“”號(hào)球、兩個(gè)“”號(hào)球、三個(gè)“”號(hào)球、四個(gè)無號(hào)球，箱內(nèi)有五個(gè)“”號(hào)球、五個(gè)“”號(hào)球，每次摸獎(jiǎng)后放回，消費(fèi)額滿元有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)額滿元有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，摸得有數(shù)字的球則中獎(jiǎng)，“”號(hào)球獎(jiǎng)元、“”號(hào)球獎(jiǎng)元、“”號(hào)球獎(jiǎng)元，摸得無號(hào)球則沒有獎(jiǎng)金.（）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，消費(fèi)額服從正態(tài)分布，某天有為顧客，請(qǐng)估計(jì)消費(fèi)額（單位：元）在區(qū)間內(nèi)并中獎(jiǎng)的人數(shù)；（）某三位顧客各有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求其中中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列；（）某顧客消費(fèi)額為元，有兩種摸獎(jiǎng)方法，方法一：三次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；方法二：一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，請(qǐng)問：這位顧客選哪一種方法所得獎(jiǎng)金的期望值較大.附：若，則【答案】()286;()答案見解析；()這位顧客選方法二所得的期望值較大.【解析】試題分析：（）依題意得=150，2=625，得=25，100=2，消費(fèi)額X在區(qū)間（100，150內(nèi)的顧客有一次A箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，中獎(jiǎng)率為0.6，人數(shù)約為1000P（2X），可得其中中獎(jiǎng)的人數(shù)（）三位顧客每人一次A箱內(nèi)摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)率都為0.6，三人中中獎(jiǎng)人數(shù)服從二項(xiàng)分布B（3，0.6），（k=0，1，2，3），即可得出（）利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出試題解析：（）依題意得，得，消費(fèi)額在區(qū)間內(nèi)的顧客有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，中獎(jiǎng)率為，人數(shù)約為人，其中中獎(jiǎng)的人數(shù)約為人，（）三位顧客每人一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)率都為，三人中中獎(jiǎng)人數(shù)服從二項(xiàng)分布故的分布列為（）箱摸一次所得獎(jiǎng)金的期望值為，想摸一次所得獎(jiǎng)金的期望值為，方法一所得獎(jiǎng)金的期望值為，方法二所得獎(jiǎng)金的期望值為，所以這位顧客選方法二所得的期望值較大.點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是:“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等），求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布XB(n，p)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)np)求得.19.如圖，四邊形中，分別在，上，現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面.（）若，在折疊后的線段上是否存在一點(diǎn)，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；（）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】（）在存在一點(diǎn)，且，使平面.（）.【解析】試題分析：（）折疊后，連結(jié)，得，進(jìn)而得平面，再由，得到平面平面，進(jìn)而得平面，即可得到結(jié)論；（）根據(jù)題意得時(shí)，取是最大值，再由（）可以為原點(diǎn)，以，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和的法向量，利用向量的夾角公式即可求解二面角的余弦值.試題解析：（）在折疊后的圖中過作，交于，過作交于，連結(jié)，在四邊形中，所以.折起后，又平面平面，平面平面，所以平面.又平面，所以，所以，因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?所以在存在一點(diǎn)，且，使平面.（）設(shè)，所以，故所以當(dāng)時(shí)，取是最大值.由（）可以為原點(diǎn)，以，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量，則即令，則，則，設(shè)平面的法向量，則即令，則，則所以.所以二面角的余弦值為20.設(shè)，是拋物線上的三點(diǎn)，點(diǎn)為該拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).（）若，求的值；（）若，求面積的最大值.【答案】()6；() .【解析】【分析】（）由已知條件可得點(diǎn)F為三角形的重心，然后利用重心坐標(biāo)公式和拋物線的定義可得；（）點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)，可得，設(shè)直線AB：ykx+b，然后將|AB|和點(diǎn)F到AB的距離表示為b的函數(shù)，計(jì)算面積后用導(dǎo)數(shù)求最大值詳解】設(shè)，則，（），為的重心，由三角形的重心坐標(biāo)公式得，由拋物線定義得.（）由題易知直線的斜率必然存在，設(shè)：，則：，又在拋物線上得， 由得，令，上單增，在上單減，當(dāng)時(shí)取最大值.【點(diǎn)睛】本題考查重心性質(zhì)、拋物線定義的應(yīng)用，考查直線與拋物線相交的弦長和三角形的面積問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力21.已知函數(shù)，.（）當(dāng)，函數(shù)圖象上是否存在3條互相平行的切線，并說明理由？（）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】()存在；()詳見解析.【解析】【分析】()對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，根據(jù)二次導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和極值可得答案；（）對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（），則函數(shù)在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以存在切線斜率，使得，所以函數(shù)圖象上是存在3條互相平行的切線.（），當(dāng)，有；，在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)存在唯一一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)；當(dāng)，有，；，在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)存在唯一一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)；當(dāng)，有，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi).所以函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn).綜上所述：當(dāng)函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)函數(shù)三個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用函數(shù)的單調(diào)性和