分數(shù)認識的三次深化與發(fā)展.doc

分數(shù)認識的三次深化與發(fā)展王 永一、 分數(shù)與除法 在自然數(shù)集合里，加法和乘法運算總是可以實施，但減法和除法卻不行；引入分數(shù)，自然數(shù)集合擴充為非負有理數(shù)集合后，除法運算才變得暢通無阻。例如，34？在自然數(shù)集合里找不到一個與34對應(yīng)的自然數(shù)，而在非負有理數(shù)集合里卻找到了一個且只有一個分數(shù)，與34對應(yīng)，即34。如何理解34的數(shù)學(xué)意義呢？ 表示3是4的。其中3與4表示不同的兩個量，而是量數(shù)，是以4為基準量去度量3所得的結(jié)果。3 34010一般地，a、b都是非零的自然數(shù)時，ab。ba010 表示3平均分成4份，每份是；或者的4倍是3。這里，3和都表示量，而4是量數(shù)。310104事實上，任意兩個正有理數(shù)相除，都具有上述兩種數(shù)學(xué)意義。例如“3？”也有下面兩種數(shù)學(xué)意義：？1030 3是的幾分之幾？從上圖，可以看出：3。 3平均分成份，每份是多少？10310因為是5個的，所以先把3平均分成5小份，每一小份即是所求一份的，如下圖所示。？從上圖，也可以看出：3。注意：a、b都不是0，但只要有一個是分數(shù)，那么ab。所以，如果忽視必要的前提，籠統(tǒng)地說被除數(shù)即分子、除數(shù)即分母，是不正確的。當且僅當a、b都是不為零的自然數(shù)時，等式ab才成立。這個命題還告訴我們，分數(shù)可以轉(zhuǎn)化為除法，這為分數(shù)化為小數(shù)打通了一條重要途徑。二、 百分數(shù)百分數(shù)是否就是分母是100的分數(shù)？如果是，又何必需要這個新概念呢？事實上，百分數(shù)是在分數(shù)應(yīng)用的實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的。我們先來解決下面的實際問題：在一場足球比賽中，猛虎隊獲得一次罰點球的機會，他們準備派下列三名隊員中的一名去罰點球。下面是這三名隊員在過去比賽中罰點球的成績統(tǒng)計表。隊員 踢點球的次數(shù)罰中的次數(shù)3號隊員18205號隊員21257號隊員1312從這個實際問題抽象成的數(shù)學(xué)問題是：比較分數(shù)、的大小。 解法1：（化為同分母的分數(shù)進行比較） ， ， 。因為，所以。 由此可知，7號隊員以往罰點球的成績最佳，派他去罰點球是明智的選擇。不過，上面三個分數(shù)分母的最小倍數(shù)（1300）是比較大的，因此通分不僅比較費勁，也容易出差錯。解法2：（化為小數(shù)進行比較）18200.90，21250.84，12130.923。因為0.9230.900.84，所以?；癁樾?shù)，雖然可以借以比較分數(shù)的大小，但小數(shù)卻失去了原來分數(shù)的特性，即表示量的倍比關(guān)系的意義。因此，需要尋找既能保持分數(shù)的特性，計算又比較簡便的解題方法。就在這種需要的驅(qū)動下，百分數(shù)應(yīng)運而生了。新的辦法就是把分母統(tǒng)統(tǒng)變成100。把與化為分母是100的分數(shù)不難：，。問題在于怎樣把也變成分母是100的分數(shù)呢？設(shè)所化成的分數(shù)的分子為x，即 ， 兩邊同乘100，得x100，x92.3。所以，。這個結(jié)果與前面學(xué)過的分數(shù)不同的地方是，它的分子是一個小數(shù)。的意義是：如果把13平均分成100份，那么12大約占其中的92.3份。也就是說，這種分數(shù)只能表示兩個量的倍比關(guān)系，而不具有表示量的功能。于是，人們把形如，等，只能表示量的倍比關(guān)系，不能表示量的分數(shù)，統(tǒng)稱為百分數(shù)；并引入新的符號“”（叫做百分號），把百分數(shù)記為84，90，92.3,，以便從形式上與前面學(xué)過的分數(shù)加以區(qū)別。顯然，849092.3，通過百分數(shù)的大小比較，也說明是7號隊員點球的罰中率最高。 誠然，把分數(shù)化為百分數(shù)還有更簡捷的途徑，即通過小數(shù)轉(zhuǎn)化。如，0.92392.3。但是這種方法，對于理解百分數(shù)的意義，不如方程的方法直觀。三、 比比，顧名思義，與人類比較事物的實踐活動密切相關(guān)。比的概念是在比較不同的量的倍比關(guān)系的實踐中產(chǎn)生和發(fā)展的。下面先探討一個現(xiàn)實問題平面圖畫得像不像。例1 羽毛球場是長18m、寬9m的長方形，如下圖A。ABCDEF 在B、C、D、E、F等圖形中，你認為哪幾個長方形的形狀像圖A，哪幾個不像？對形狀與圖A（羽毛球場）相同的長方形，請你比較它們的長和寬，能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？在圖A內(nèi)，請你畫一個形狀與圖A相同的長方形，且這個長方形的長是圖A的長的。任何正方形的形狀都一樣，但長方形的形狀卻有差異。圖A恰好可以分成兩個大小相同的正方形。發(fā)現(xiàn)圖A的這個特性，能幫助我們找出其他形狀與圖A相同的長方形，如圖D和E。而圖B、C和F都不具有圖A的這種特性，所以它們的形狀與圖A不同。圖A可以分成兩個大小相同的正方形，等價于它的長是寬的2倍。形狀與圖A相同的長方形，長都是寬的2倍；形狀與圖A不同的長方形，長都不是寬的2倍。這就是我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。一般地，a、b分別表示一個長方形的長和寬，分數(shù)表示這個長方形的長與寬的倍比關(guān)系。這個分數(shù)的重要性在于它提供了長方形的一個分類標準：凡是長是寬的倍的長方形，都是形狀相同的長方形，它們歸為一類。圖形的分類對于認識圖形的性質(zhì)具有重要的意義。不過用“長是寬的倍”來刻畫長方形的形狀特征，有時很麻煩。例如，當a或b是分數(shù)時，是一個繁分數(shù)。為了避免進行繁分數(shù)的繁難運算，就需要改進對“長是寬的倍”這一特征的描述，從而引入比的概念?！伴L是寬的倍”，可以用“長與寬的比是ab”取而代之。當a、b表示兩個不同的量時，abab。所以，比可以定義為：兩個量相除，叫做這兩個量的比。雖然比、分數(shù)、除法在揭示量的倍比關(guān)系方面是相通的，但對于不同的問題情境，仍然需要選擇恰當?shù)暮啽愕谋碚鞣绞?，并掌握它們的相互轉(zhuǎn)換。例2 蜂蜜綠茶是用2份蜂蜜和7份綠茶配制成的消暑飲料，要配制450毫升這種飲料，需要蜂蜜和綠茶各多少毫升？在這個問題中，蜂蜜和綠茶體積的倍比關(guān)系用比的形式表示比較簡便，即蜂蜜綠茶27。解法1：（應(yīng)用方程）設(shè)：一份蜂蜜或綠茶的體積為x毫升，則配制蜂蜜綠需用蜂蜜2x毫升，綠茶7x毫升。2x7x450，9x450x50。 2x250100， 7x750350。答：配制蜂蜜綠茶需要100毫升蜂蜜和350毫升綠茶。解法2：（綜合應(yīng)用比和分數(shù)）蜂蜜綠茶27，且1。因此，蜂蜜綠茶兩個組成部分的倍比關(guān)系就轉(zhuǎn)換成各部分與整體（蜂蜜綠茶）的倍比關(guān)系。從而，為應(yīng)用分數(shù)解決問題創(chuàng)造了條件，圖示如下：450？001 450100，450350。解法1是代數(shù)方法，解法2是算術(shù)方法，殊途同歸。例3 7個女生平分4個蛋糕，3個男生平分2個蛋糕。是每個女生分得多一些，還是每個男生分得多一些？解法1：每個女生分得個蛋糕，每個男生分得個蛋糕。問題可以歸結(jié)為比較分數(shù)與的大小。比較兩個量的倍比關(guān)系又有如下兩種方法。方法1：（利用除法）。因為1，所以男生分得蛋糕比女生多一些。方法2：（利用比）1214。因為12141，所以男生分得蛋糕比女生多一些。解法2：（利用比）分別考慮男、女生的蛋糕數(shù)量或人數(shù)的倍比關(guān)系。女生蛋糕男生蛋糕4221，女生人數(shù)男生蛋糕73。因為736321，所以男生分得蛋糕比女生多一些。解法3：（利用圖解）上圖說明,如果只有6個女生平分4個蛋糕,那么女生和男生將分得同樣多。但女生有7個，7個女生平分4個蛋糕，每個女生分得的蛋糕要比6個女生平分的情形少一些。所以，男生分得的蛋糕