第一篇_第四節(jié)歸納類比與數(shù)學(xué)證明

第四節(jié)歸納類比與數(shù)學(xué)證明 1 n條直線兩兩相交共有f n 個(gè)交點(diǎn) 則n 1條直線最多比f(wàn) n 多多少個(gè)交點(diǎn) A n 1個(gè)B n個(gè)C n 1個(gè)D n 2個(gè) 解析 第n 1條直線分別與前n條直線相交時(shí)最多有n個(gè)交點(diǎn) 故選B 答案 B 2 下面幾種推理是合情推理的是 由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì) 由直角三角形 等腰三角形 等邊三角形的內(nèi)角和是180 歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180 張軍某次考試成績(jī)是100分 由此推出全班同學(xué)的成績(jī)都是100分 三角形內(nèi)角和是180 四邊形內(nèi)角和是360 五邊形內(nèi)角和是540 由此得凸n邊形內(nèi)角和是 n 2 180 A B C D 解析 是類比推理 是歸納推理 是歸納推理 所以 為合情推理 答案 C 3 某同學(xué)在電腦上打下了一串黑白圓 如圖所示 按這種規(guī)律往下排 那么第36個(gè)圓的顏色應(yīng)是 A 白色B 黑色C 白色可能性大D 黑色可能性大 解析 由圖知 圖形是三白二黑的圓周而復(fù)始相繼排列 是一個(gè)周期為5的三白二黑的圓列 因?yàn)?6 5 7余1 所以第36個(gè)圓應(yīng)與第1個(gè)圓顏色相同 即白色 答案 A 4 一切奇數(shù)都不能被2整除 2100 1是奇數(shù) 所以2100 1不能被2整除 其演繹 三段論 的形式為 大前提 一切奇數(shù)都不能被2整除小前提 結(jié)論 所以2100 1不能被2整除 解析 三段論是由一般到特殊 一切奇數(shù)都不能被2整除是大前提 則小前提必是2100 1是奇數(shù) 答案 2100 1是奇數(shù) 5 若數(shù)列 an 中 a1 1 a2 3 5 a3 7 9 11 a4 13 15 17 19 則a8 解析 由a1 a2 a3 a4的形式可歸納 1 2 3 4 7 28 a8的首項(xiàng)應(yīng)為第29個(gè)正奇數(shù) 即2 29 1 57 a8 57 59 61 63 65 67 69 71 512 答案 512 歸納推理 設(shè)f x 先分別求f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 然后歸納猜想一般性結(jié)論 并給出證明 思路點(diǎn)撥 方法點(diǎn)評(píng) 1 歸納推理的特點(diǎn) 1 歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象 因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍 2 歸納的前提是特殊的情況 所以歸納是立足于觀察 經(jīng)驗(yàn)或試驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的 2 歸納推理的一般步驟 1 通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì) 2 從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題 特別提醒 歸納推理所得結(jié)論未必正確 有待進(jìn)一步證明 類比推理 請(qǐng)用類比推理完成下表 思路點(diǎn)撥 由表格一 二兩個(gè)問(wèn)題的類比可知 線對(duì)面 長(zhǎng)度對(duì)面積 從而內(nèi)切圓應(yīng)相對(duì)內(nèi)切球 從而可解 自主探究 本題由已知前兩組類比可得到如下信息 平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對(duì)象 三角形各邊的邊長(zhǎng)與三棱錐的各面的面積是類比對(duì)象 三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對(duì)象 三角形的面積與三棱錐的體積是類比對(duì)象 三角形的面積公式中的 二分之一 與三棱錐的體積公式中的 三分之一 是類比對(duì)象 由以上分析可知 故第三行空格應(yīng)填 三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一 本題結(jié)論可以用等體積法 將三棱錐分割成四個(gè)小的三棱錐去證明 此處略 方法點(diǎn)評(píng) 1 類比推理是由特殊到特殊的推理 其一般步驟是 1 找出兩類事物之間的相似性或一致性 2 用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì) 得出一個(gè)明確的命題 猜想 2 類比是科學(xué)研究最普遍的方法之一 在數(shù)學(xué)中 類比是發(fā)現(xiàn)概念 方法 定理和公式的重要手段 也是開(kāi)拓新領(lǐng)域和創(chuàng)造新分支的重要手段 類比在數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛 數(shù)與式 平面與空間 一元與多元 低次與高次 相等與不等 有限與無(wú)限之間有不少結(jié)論 都是先用類比法猜想 而后加以證明的 2 在 ABC中 AB2 AC2 BC2 類比平面中的勾股定理 研究三棱錐的側(cè)面積與底面積間的關(guān)系 可以得出正確結(jié)論 設(shè)三棱錐A BCD的三個(gè)側(cè)面ABC ACD ADB兩兩垂直 則 解析 如右圖所示 過(guò)A作BC的垂線AE與BC交于E 連接DE 則BC DE 答案 S2 ABC S2 ACD S2 ADB S2 BCD 演繹推理 已知函數(shù)f x a 0且a 1 1 證明 函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 2 求f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 思路點(diǎn)撥 證明本題依據(jù)的大前提是中心對(duì)稱的定義 函數(shù)y f x 的圖象上的任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖象上 小前提是f x a 0且a 1 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 2 由 1 有 1 f x f 1 x 即f x f 1 x 1 f 2 f 3 1 f 1 f 2 1 f 0 f 1 1 則f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 3 方法點(diǎn)評(píng) 演繹推理在數(shù)學(xué)命題的證明中是常用的方法 證明問(wèn)題時(shí)要注意靈活運(yùn)用 3 用三段論的形式寫(xiě)出下列演繹推理 1 若兩角是對(duì)頂角 則該兩角相等 所以若兩角不相等 則該兩角不是對(duì)頂角 2 矩形的對(duì)角線相等 正方形是矩形 所以 正方形的對(duì)角線相等 3 0 是有理數(shù) 4 y sinx x R 是周期函數(shù) 解析 1 兩個(gè)角是對(duì)頂角 則兩角相等 大前提 1和 2不相等 小前提 1和 2不是對(duì)頂角 結(jié)論 2 每一個(gè)矩形的對(duì)角線相等 大前提正方形是矩形 小前提正方形的對(duì)角線相等 結(jié)論 3 所有的循環(huán)小數(shù)是有理數(shù) 大前提0 是循環(huán)小數(shù) 小前提所以0 是有理數(shù) 結(jié)論 4 三角函數(shù)是周期函數(shù) 大前提y sinx是三角函數(shù) 小前提y sinx是周期函數(shù) 結(jié)論 1 2009年浙江高考 觀察下列等式 C51 C55 23 2 C91 C95 C99 27 23 C131 C135 C139 C1313 211 25 C171 C175 C179 C1713 C1717 215 27 由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論 對(duì)于n N C4n 11 C4n 15 C4n 19 C4n 14n 1 解析 歸納推理 觀察等式右邊23 2 27 23 211 25 215 27 可以看到右邊第一項(xiàng)的指數(shù)3 7 11 15 成等差數(shù)列 公差為4 首項(xiàng)為3 通項(xiàng)為4n 1 第二項(xiàng)的指數(shù)1 3 5 7 的通項(xiàng)為2n 1 故得結(jié)論24n 1 1 n22n 1 答案 24n 1 1 n22n 1 2 2009年湖北高考 古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù) 比如 他們研究過(guò)圖1中的1 3 6 10 由于這些數(shù)能夠表示成三角形 將其稱為三角形數(shù) 類似地 稱圖2中的1 4 9 16 這樣的數(shù)為正方形數(shù) 下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 A 289B 1024C 1225D 1378 解析 根據(jù)圖形的規(guī)律可知第n個(gè)三角形數(shù)為an 第n個(gè)正方形數(shù)為bn n2 由此可排除D 1378不是平方數(shù) 將A B C選項(xiàng)代入到三角形數(shù)表達(dá)式中檢驗(yàn)可知 符合題意的是C選項(xiàng) 故選C 答案 C 3 2009年江蘇高考 在平面上 若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1 2 則它們的面積比為1 4 類似地 在空間中 若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1 2 則它們的體積比為 答案 1 8 4 2008年江蘇高考 將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣 按照以上排列的規(guī)律 第n行 n 3 從左向右的第三個(gè)數(shù)為 答案 1 合情推理主要包括歸納推理和類比推理 數(shù)學(xué)研究中 在得到一個(gè)新結(jié)論前 合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論 在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前 合情推理常常能為證明提供思路與方向 2 合情推理的過(guò)程概況為 3 演繹推理是從一般性的原理出發(fā) 推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理方法 是由一般到特殊的推理 常用的一般模式是三段