秦皇島市盧龍縣2015-2016年高二下期末數學試卷(文)含答案解析

第 1 頁（共 17 頁） 2015年河北省秦皇島市盧龍縣高二（下）期末數學試卷（文科） 一、選擇題（每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把符合要求的選項選出來） 1（ 4 8i） i 的虛部是（ ） A 4 B 4i C 8 D 8i 2 ，則 f（ 2）等于（ ） A 4 B C 4 D 3已知 p： |x| 2， q： 0 x 2，則 p 是 q 的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件 4四名同學根據各自的樣本數據研究變量 x， y 之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論： y 與 x 負相關且 = y 與 x 負相關且 = y 與 x 正相關且 = y 與 x 正相關且 = 其中一定不正確的結論的序號是（ ） A B C D 5用三段論推理： “指數函數 y=增函數，因為 y=（ ） x 是指數函數，所以 y=（ ） ，你認為這個推理（ ） A大前提錯誤 B小前提錯誤 C推理形式錯誤 D是正確的 6函數 f（ x） =x （ e 為自然對數的底數）在區(qū)間 1， 1上的最大值是（ ） A 1+ B 1 C e+1 D e 1 7某程序框圖如圖所示，則輸出的 n 的值是（ ） 第 2 頁（共 17 頁） A 21 B 22 C 23 D 24 8下列命題中正確的是（ ） A命題 “ x R，使得 1 0”的否定是 “ x R，均有 1 0” B命題 “若 x=y”的逆否命題是真命題： C 命題 ”若 x=3，則 2x 3=0”的否命題是 “若 x 3，則 2x 3 0” D命題 “存在四邊相等的四邊形不是正方形 ”是假命題 9已知雙曲線 的左支上一點 M 到右焦點 距離為 18， N 是線段 中點， O 是坐標原點，則 |于（ ） A 4 B 2 C 1 D 10曲線 y= 在點（ 1， 1）處的切線方程為（ ） A y=x 2 B y= 3x+2 C y=2x 3 D y= 2x+1 11已知點 P 在以 焦點的橢圓 + =1（ a b 0）上，若 =0， ，則該橢圓的離心率為（ ） A B C D 12已知函數 f（ x）（ x R）滿足 f（ 1） =1，且 f（ x）的導函數 f（ x） ，則 f（ x） + 的解集為（ ） A x| 1 x 1 B x| 1 C x|x 1 或 x 1 D x|x 1 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13甲、乙、丙三位同學被問到是否去過 A， B， C 三個城市時， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過 B 城市； 乙說：我沒去過 C 城市； 第 3 頁（共 17 頁） 丙說：我們三人去過同一城市； 由此可判斷乙去過的城市為 14雙曲線 =1 的焦點到漸近線的距離為 15已知數列 足 ， ，試歸納出這個數列的一個通項公式 16已知函數 y=x+b）的圖象如圖所示，則 三、解答題（本題有 6 個小題，共 70 分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17命題 p： x 0， x+ a；命題 q： R， 2 0若 q 為假命題， p 則求 a 的取值范圍 18如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在 x 軸上，長軸長是短軸長的 2 倍且經過點 M（ 2，1），平行于 直線 l 在 y 軸上的截距為 m（ m 0），直線 l 交橢圓于 A， B 兩個不同點 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）求 m 的取值范圍 19某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據： 單價 x（元） 8 銷量 y（件） 90 84 83 80 75 68 （ ）求回 歸直線方程 =bx+a，其中 b= 20， a= b ； （ ）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（ I）中的關系，且該產品的成本是 4 元 /件，為使工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為多少元？（利潤 =銷售收入成本） 20已知拋物線 E： p 0），直線 y= 與 E 交于 A、 B 兩點，且 =2，其中O 為原點 （ 1）求拋物線 E 的方程； （ 2）點 C 坐標為（ 0， 2），記直線 斜率分別為 明： 2 21已知函數 f（ x） =1，（ a 為實數）， g（ x） =x （ 1）討論函數 f（ x）的單調區(qū)間； 第 4 頁（共 17 頁） （ 2）求函數 g（ x）的極值； （ 3）求證： x x 0） 請考生在第 22， 23， 24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 選修 4何證明選講 22已知， 圓 O 的直徑， 垂直 一條弦，垂足為 E，弦 F （ 1）求證： E、 F、 G、 B 四點共圓； （ 2）若 ，求線段 長 選修 4標系與參數方程 23已知圓 C 的極坐標方程為 =2線 l 的參數方程為 （ t 為參數），點A 的極坐標為（ ， ），設直線 l 與圓 C 交于點 P、 Q （ 1）寫出圓 C 的直角坐標方程； （ 2）求 |值 選修 4等式選講 24已知函數 f（ x） =|x 1|+|x a| （ I）當 a=2 時，解不等式 f（ x） 4 （ ）若不等式 f（ x） 2a 恒成立，求實數 a 的取值范圍 第 5 頁（共 17 頁） 2015年河北省秦皇島市盧龍縣高二（下）期末數學試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把符合要求的選項選出來） 1（ 4 8i） i 的虛部是（ ） A 4 B 4i C 8 D 8i 【考點】 復數代數形式的乘除運算 【分析】 直接利用復數的乘法運算化簡，則復數的虛部可求 【解答】 解：由（ 4 8i） i= 8i=8+4i 故（ 4 8i） i 的虛部是 4 故選： A 2 ，則 f（ 2）等于（ ） A 4 B C 4 D 【考點】 導 數的運算 【分析】 利用導數的運算法則即可得出 【解答】 解： ， 故選 D 3已知 p： |x| 2， q： 0 x 2，則 p 是 q 的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件 【考點】 充要條件 【分析】 通過解絕對值不等式化簡命題 p，判斷 p 成立是否推出 q 成立； q 成立是否推出 用各種條件的定義判斷出 p 是 q 的什么條件 【解答】 解： |x| 2 2 x 2 即命題 p： 2 x 2 若命題 p 成立推不出命題 q 成立，反之若命題 q 成立則命題 p 成立 故 p 是 q 的必要不充分條件 故選 B 4四名同學根據各自的樣本數據研究變量 x， y 之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論： y 與 x 負相關且 = y 與 x 負相關且 = 第 6 頁（共 17 頁） y 與 x 正相關且 = y 與 x 正相關且 = 其中一定不正確的結論的序號是（ ） A B C D 【考點】 線性回歸方程 【分析】 由題意，可根據回歸方程的一次項系數的正負與正相關或負相關的對應對四個結論作出判斷，得出一定不正確的結論來，從而選出正確選項 【解答】 解： y 與 x 負相關且 =結論誤，由線性回歸方 程知，此兩變量的關系是正相關； y 與 x 負相關且 ；此結論正確，線性回歸方程符合負相關的特征； y 與 x 正相關且 ； 此結論正確，線性回歸方程符合正相關的特征； y 與 x 正相關且 此結論不正確，線性回歸方程符合負相關的特征 綜上判斷知， 是一定不正確的 故選 D 5用三段論推理： “指數函數 y=增函數，因為 y=（ ） x 是指數函數，所以 y=（ ） ，你認為這個推理（ ） A大前提錯誤 B小前提錯誤 C推理形式錯誤 D是正確的 【考點】 演繹推理的基本方法 【分析】 指數函數 y=a 0 且 a 1）是 R 上的增函數，這個說法是錯誤的，要根據所給的底數的取值不同分類說出函數的不同的單調性，即大前提是錯誤的 【解答】 解：指數函數 y=a 0 且 a 1）是 R 上的增函數， 這個說法是錯誤的，要根據所給的底數的取值不同 分類說出函數的不同的單調性， 大前提是錯誤的， 得到的結論是錯誤的， 在以上三段論推理中，大前提錯誤 故選 A 6函數 f（ x） =x （ e 為自然對數的底數）在區(qū)間 1， 1上的最大值是（ ） A 1+ B 1 C e+1 D e 1 【考點】 利用導數求閉區(qū)間上函數的最值 【分析】 求導函數，確定函數的單調性，比較端點的函數值，即可得到函數的最大值 【解答】 解：求導函數，可得 f（ x） =1 令 f（ x） 0， x 1， 1， 可得 0 x 1；令 f（ x） 0， x 1， 1，可得 1 x 0， 第 7 頁（共 17 頁） f（ 1） = ， f（ 1） =e 1 f（ 1） f（ 1） 函數 f（ x） =x （ e 為自然對數的底數）在區(qū)間 1， 1上的最大值是 e 1 故選 D 7某程序框圖如圖所示，則輸出的 n 的值是（ ） A 21 B 22 C 23 D 24 【考點】 循環(huán)結構 【分析】 執(zhí)行程序框圖，寫出每次循環(huán)得到的 n， p 的值，當 n=23， p=79 時滿足條件 p 40，輸出 n 的值為 23 【解答】 解：執(zhí)行程序框圖，有 p=1， n=2 第 1 次執(zhí)行循環(huán)體，有 n=5， p=11 不滿足條件 p 40，第 2 次執(zhí)行循環(huán)體，有 n=11， p=33 不滿足條件 p 40，第 3 次執(zhí)行循環(huán)體，有 n=23， p=79 滿足條件 p 40，輸出 n 的值為 23 故選： C 8下列命題中正確的是（ ） A命題 “ x R，使得 1 0”的否定是 “ x R，均有 1 0” B命題 “若 x=y”的逆否命題是真命題： C命題 ”若 x=3，則 2x 3=0”的否命題是 “若 x 3，則 2x 3 0” D命題 “存在四邊相等的四邊形不是正方形 ”是假命題 【考點】 命題的真假判斷與應用 【分析】 寫出原命題的否定判斷 A；直接判斷原命題的真假得到命題 “若 x=y”的逆否命題的真假； 寫出命題的否命題判斷 C；舉例說明命題 “存在四邊相等的四邊形不是正方形 ”是真命題判斷D 【解答】 解：命題 “ x R，使得 1 0”的否定是 “ x R，均有 1 0”，命題 A 為假命題； 當 ， x 與 y 要么終邊相同，要么終邊關于 x 軸 對稱， 第 8 頁（共 17 頁） 命題 “若 x=y”為假命題，則其逆否命題是假命題，命題 B 為假命題； 命題 ”若 x=3，則 2x 3=0”的否命題是 “若 x 3，則 2x 3 0，命題 C 為真命題； 所有菱形的四邊相等， 命題 “存在四邊相等的四邊形不是正方形 ”是真命題，命題 D 是假命題 故選： C 9已知雙曲線 的左支上一點 M 到右焦點 距離為 18， N 是線段 中點， O 是坐標原點，則 |于（ ） A 4 B 2 C 1 D 【考點】 雙曲線的簡單性質 【分析】 先利用三角形的中位線的性質，可得 利用雙曲線的定義，求得|8，即可求得 | 【解答】 解：由題意，連接 中位線， 左支上一點 M 到右焦點 距離為 18， 由雙曲線的定義知， | |2 5， |8 |4， 故選 A 10曲線 y= 在點（ 1， 1）處的切線方程為（ ） A y=x 2 B y= 3x+2 C y=2x 3 D y= 2x+1 【考點】 導數的幾何意義 【分析】 根據導數的幾何意義求出函數 f（ x）在 x=1 處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成斜截式即可 【解答】 解： y=（ ） = ， k=y|x=1= 2 l： y+1= 2（ x 1），則 y= 2x+1 故選： D 11已知點 P 在以 焦點的橢圓 + =1（ a b 0）上，若 =0， ，則該橢圓的離心率為（ ） A B C D 【考點】 橢圓的簡單性質 第 9 頁（共 17 頁） 【分析】 由已知可得焦點三角形為直角三角形，再由 ，得到 |2|結合橢圓定義求出 | |代入勾股定理得答案 【解答】 解：由 =0，可知 直角三角形， 又 ，可得 |2| 聯立 |2a，解得： | ， | 由 ，得 ，即 故選： D 12已知函數 f（ x）（ x R）滿足 f（ 1） =1，且 f（ x）的導函數 f（ x） ，則 f（ x） + 的解集為（ ） A x| 1 x 1 B x| 1 C x|x 1 或 x 1 D x|x 1 【考點】 利用導數研究函數的單調性 【分析】 根據條件，構造函數 g（ x） =f（ x） ，求函數的導數，利用函數的單調性即可得到結論 【解答】 解：設 g（ x） =f（ x） ，則函數的 g（ x）的導數 g（ x） =f（ x） ， f（ x）的導函數 f（ x） ， g（ x） =f（ x） 0， 則函數 g（ x）單調遞減， f（ 1） =1， g（ 1） =f（ 1） =1 1=0， 則不等式 f（ x） + ，等價為 g（ x） 0， 即 g（ x） g（ 1）， 則 x 1， 即 f（ x） + 的解集 x|x 1， 故選： D 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 第 10 頁（共 17 頁） 13甲、乙、丙三位同學被問到是否去過 A， B， C 三個城市時， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過 B 城市； 乙說：我沒去過 C 城市； 丙說：我們三人去過同一城市； 由此可判斷乙去過的城市為 A 【考點】 進行簡單的合情推理 【分析】 可先由乙推出，可能去過 A 城市或 B 城市，再由甲推出只能是 A， B 中的一個，再由丙即可推出結論 【解答】 解：由乙說：我沒去過 C 城市，則乙可能去過 A 城市或 B 城市， 但甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過 B 城市，則乙只能是去過 A， B 中的任一個， 再由丙說：我們三人去過同一城市， 則由此可判斷乙去過的城市為 A 故答案為： A 14雙曲線 =1 的焦點到漸近線的距離為 【考點】 雙曲線的簡單性質 【分析】 先由題中條件求出焦點坐標和漸近線方程，再代入點到直線的距離公式即可求出結論 【解答】 解：由題得：其焦點坐標為（ ， 0），（ ， 0）漸近線方程為 y= x，即x 2y=0， 所以焦點到其漸近線的距離 d= = 故答案為： 15已知數列 足 ， ，試歸納出這個數列的一個通項公式 【考點】 歸納推理 【分析】 把 n=1 及 代入已知的等式即可求出 值，把 n=2 及 值代入已知的等式即可求出 值，把 n=3 及 值代入 已知等式即可求出 值，把 n=4 及 值代入已知的等式即可求出 值，然后把求出的五項的值變形后，即可歸納總結得到這個數列的通項公式 【解答】 解：由 ，得到 = ， = ， 第 11 頁（共 17 頁） = ， = ， 則 （ n N*） 故答案為： 16已知函數 y=x+b）的圖象如圖所示，則 27 【考點】 對數函數的圖象與性質 【分析】 根據圖象過（ 0， 1）與（ 2， 0） ，代入函數解析式，建立方程組，即可求出 a 和b，最后求出所求 【解答】 解：由圖象可知： ， b 2） =0 a=b=3 7 故答案為： 27 三、解答題（本題有 6 個小題，共 70 分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17命題 p： x 0， x+ a；命題 q： R， 2 0若 q 為假命題， p 求 a 的取值范圍 【考點】 復合命題的真假 【分析】 分別解出 p， q 為真時的 a 的范圍，進 而求出 q 真 p 假時 a 的范圍 【解答】 解：不妨設 p 為真，要使得不等式恒成立，只需 ， 又 當 x 0 時， （當且僅當 x=1 時取 “=”， a 2， 不妨設 q 為真，要使得不等式有解只需 0，即（ 2a） 2 4 0 解得 a 1 或 a 1， q 假，且 “p q”為假命題，故 q 真 p 假， 所以 ， 實數 a 的取值范圍為 a 2 第 12 頁（共 17 頁） 18如圖，已知橢圓的中心 在原點，焦點在 x 軸上，長軸長是短軸長的 2 倍且經過點 M（ 2，1），平行于 直線 l 在 y 軸上的截距為 m（ m 0），直線 l 交橢圓于 A， B 兩個不同點 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）求 m 的取值范圍 【考點】 橢圓的簡單性質 【分析】 （ 1）設出橢圓的方程，利用長軸長是短軸長的 2 倍且經過點 M（ 2， 1），建立方程，求出 a， b，即可求橢圓的方程； （ 2）由直線方程代入橢圓方程，利用根的判別式，即可求 m 的取值范圍 【解答】 解：（ 1）設橢圓方程為 =1（ a b 0） 則 解得 ， 橢圓方程為 =1； （ 2） 直線 l 平行于 在 y 軸上的截距為 m 又 ， l 的方程為： y= x+m 由直線方程代入橢圓方程 4=0， 直線 l 與橢圓交于 A、 B 兩個不同點， =（ 2m） 2 4（ 24） 0， 解得 2 m 2，且 m 0 19某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據： 單價 x（元） 8 銷量 y（件） 90 84 83 80 75 68 （ ）求回歸直線方程 =bx+a，其中 b= 20， a= b ； （ ）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（ I）中的關系，且該產品的成本是 4 元 /件，為使工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為多少元？（利潤 =銷售收入成本） 【考點】 回歸分析的初步應用；線性回歸方程 【分析】 （ I）計算平均數，利用 b= 20， a= b ，即可求得回歸直線方程； 第 13 頁（共 17 頁） （ 工廠獲得的利潤為 L 元，利用利潤 =銷售收入成本，建立函數，利用配方法可求工廠獲得的利潤最大 【解答】 解：（ I） ， = b= 20， a= b ， a=80+20 50 回歸直線方程 = 20x+250； （ 工廠獲得的利潤為 L 元，則 L=x（ 20x+250） 4（ 20x+250） =20 該產品的單價應定為 元，工廠獲得的利潤最大 20已知拋物線 E： p 0），直線 y= 與 E 交于 A、 B 兩點，且 =2，其中O 為原點 （ 1）求拋物線 E 的方程； （ 2）點 C 坐標為（ 0， 2），記直線 斜率分別為 明 ： 2 【考點】 直線與圓錐曲線的綜合問題 【分析】 （ 1）將直線與拋物線聯立，消去 y，得到關于 x 的方程，得到兩根之和、兩根之積，設出 A、 B 的坐標，代入到 =2 中，化簡表達式，再將上述兩根之和兩根之積代入得到 p，從而求出拋物線標準方程 （ 2）先利用點 A， B， C 的坐標求出直線 斜率，再根據拋物線方程輪化參數 y1，到 k 和 x 的關系式，將上一問中的兩根之和兩根之 積代入，化簡表達式得到常數即可 【解答】 （ 1）解：將 y= 代入 24p=0， 其中 =46p 0， 設 A（ B（ 則 x1+ 4p， = = = 4p+4， 由已知， 4p+4=2，解得 p= ， 拋物線 E 的方程為 x2=y （ 2）證明：由（ 1）知 x1+x2=k， 2， = = = 同理 k2= =2（ 2 2（ x1+2= 86 21已知函數 f（ x） =1，（ a 為實數）， g（ x） =x （ 1）討論函數 f（ x）的單調區(qū)間； 第 14 頁（共 17 頁） （ 2）求函數 g（ x）的極值； （ 3）求證： x x 0） 【考點】 利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性 【分析】 （ 1）求導數得到 f（ x） =a，然后討論 a 的符號，從而可判斷導數符號，這樣即可求出每種情況下函數 f（ x）的單調區(qū)間； （ 2）可先求出函數 g（ x）的定義域，然后求導，判斷導數的符號，從而根據極值的概念求出函數 g（ x）的極值； （ 3）可知 a=1 時， f（ x）在 x=0 處取得極小值，從而可得出 x+1，而由（ 2）可知 g（ x）在 x=1 處取得極大值，也是 最大值 1，這樣即可得出 x 1 x，這樣便可得出要證的結論 【解答】 解：（ 1）由題意得 f（ x） =a 當 a 0 時， f（ x） 0 恒成立，函數 f（ x）在 R 上單調遞增， 當 a 0 時，由 f（ x） 0 可得 x f（ x） 0 可得 x 故函數 f（ x）在（ +）上單調遞增，在（ ， 單調遞減； （ 2）函數 g（ x）的定義域為（ 0， +）， ， 由 g（ x） 0 可得 0 x 1；由 g（ x） 0，可得 x 1 所以函數 g（ x）在（ 0， 1）上單調遞增，在（ 1， +）上單調遞減， 故函數 g（ x）在 x=1 取得極大值，其極大值為 1= 1 （ 3）證明：當 a=1 時， f（ x） =x 1， 由（ 1）知， f（ x） =x 1 在 x= 處取得極小值，也是最小值， 且 f（ x） ，故 x 1 0（ x 0），得到 x+1（ x 0） 由（ 2）知， g（ x） =x 在 x=l 處取得最大值，且 g（ x） 1， 故 x 1（ x 0），得到 x 1 x（ x 0） 綜上 x x 0） 請考生在第 22， 23， 24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 選修 4何證明選講 22已知， 圓 O 的直徑， 垂直 一條弦，垂足為 E，弦 F （ 1）求證： E、 F、 G、 B 四點共圓； （ 2）若 ，求線段 長 【考點】 與圓有關的比例線段 【分析】 （ 1）連結 直徑可知 0，又 此能證明 E、 F、 G、B 四點共圓； （ 2）連結 E、 F、 G、 B 四點共圓 ，運用