微積分及其意義

導(dǎo)數(shù)和微分在書寫的形式有些區(qū)別，如y=f(x),則為導(dǎo)數(shù)，書寫成dy=f(x)dx,則為微分。積分是求原函數(shù)，可以形象理解為是函數(shù)導(dǎo)數(shù)的逆運算。通常把自變量x的增量 x稱為自變量的微分，記作dx，即dx = x。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f(x)dx，而其導(dǎo)數(shù)則為：y=f(x)。設(shè)F(x)為函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)），叫做函數(shù)f(x)的不定積分，數(shù)學(xué)表達式為：若f(x)=g(x)，則有g(shù)(x)dx=f(x)+c。向左轉(zhuǎn)|向右轉(zhuǎn)擴展資料：設(shè)函數(shù)y = f(x)在x的鄰域內(nèi)有定義，x及x + x在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量y = f(x + x) - f(x)可表示為 y = Ax + o(x)（其中A是不依賴于x的常數(shù)），而o(x)是比x高階的無窮小（注：o讀作奧密克戎，希臘字母）那么稱函數(shù)f(x)在點x是可微的，且Ax稱作函數(shù)在點x相應(yīng)于因變量增量y的微分，記作dy，即dy = Ax。函數(shù)的微分是函數(shù)增量的主要部分，且是x的線性函數(shù)，故說函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線性主部（x0）。通常把自變量x的增量 x稱為自變量的微分，記作dx，即dx = x。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f(x)dx。函數(shù)因變量的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商。當(dāng)自變量X改變?yōu)閄+X時，相應(yīng)地函數(shù)值由f(X)改變?yōu)閒(X+X)，如果存在一個與X無關(guān)的常數(shù)A，使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0關(guān)于X的高階無窮小量，則稱AX是f(X)在X的微分，記為dy，并稱f(X)在X可微。一元微積分中，可微可導(dǎo)等價。記AX=dy，則dy=f(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。微分概念是在解決直與曲的矛盾中產(chǎn)生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應(yīng)用就是函數(shù)的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，因此就可以把線性函數(shù)的數(shù)值計算結(jié)果作為本來函數(shù)的數(shù)值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。積分發(fā)展的動力源自實際應(yīng)用中的需求。實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發(fā)展，很多時候需要知道精確的數(shù)值。要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長寬高求出。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規(guī)則的形狀，就需要用積分來求出容積。物理學(xué)中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個物理量（比如力）的累積效果，這時也需要用到積分。勒貝格積分的出現(xiàn)源于概率論等理論中對更為不規(guī)則的函數(shù)的處理需要。黎曼積分無法處理這些函數(shù)的積分問題。因此，需要更為廣義上的積分概念，使得更多的函數(shù)能夠定義積分。同時，對于黎曼可積的函數(shù)，新積分的定義不應(yīng)當(dāng)與之沖突。勒貝格積分就是這樣的一種積分。黎曼積分對初等函數(shù)和分段連續(xù)的函數(shù)定義了積分的概念，勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間里。勒貝格積分的概念定義在測度的概念上。測度是日常概念中測量長度、面積的推廣，將其以公理化的方式定義。黎曼積分實際可以看成是用一系列矩形來盡可能鋪滿函數(shù)曲線下方的圖形，而每個矩形的面積是長乘寬，或者說是兩個區(qū)間之長度的乘積。測度為更一般的空間中的集合定義了類似長度的概念，從而能夠“測量”更不規(guī)則的函數(shù)曲線下方圖形的面積，從而定義積分。在一維實空間中，一個區(qū)間A= a,b 的勒貝格測度(A)是區(qū)間的右端值減去左端值，ba。這使得勒貝格積分和正常意義上的黎曼積分相兼容。在更復(fù)雜的情況下，積分的集合可以更加復(fù)雜，不再是區(qū)間，甚至不再是區(qū)間的交集或并集，其“長度”則由測度來給出。積分一般分為不定積分、定積分和微積分三種1.0不定積分設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C(C為任意常數(shù))叫做函數(shù)f(x)的不定積分。記作f(x)dx。其中叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個函數(shù)進行積分。由定義可知:求函數(shù)f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)可知，只要求出函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，再加上任意的常數(shù)C，就得到函數(shù)f(x)的不定積分。也可以表述成,積分是微分的逆運算,即知道了導(dǎo)函數(shù),求原函數(shù).2.0定積分眾所周知，微積分的兩大部分是微分與積分。微分實際上是求一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而積分是已知一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求這一函數(shù)。所以，微分與積分互為逆運算。實際上，積分還可以分為兩部分。第一種，是單純的積分，也就是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)，而若F(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)，那么F(x)+C(C是常數(shù))的導(dǎo)數(shù)也是f(x)，也就是說，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因為F(x)+C的導(dǎo)數(shù)也是f(x)，C是無窮無盡的常數(shù)，所以f(x)積分的結(jié)果有無數(shù)個，是不確定的，我們一律用F(x)+C代替，這就稱為不定積分。而相對于不定積分，就是定積分。所謂定積分，其形式為f(x) dx (上限a寫在上面，下限b寫在下面)。之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個數(shù)，而不是一個函數(shù)。定積分的正式名稱是黎曼積分，詳見黎曼積分。用自己的話來說，就是把直角坐標(biāo)系上的函數(shù)的圖象用平行于y軸的直線把其分割成無數(shù)個矩形，然后把某個區(qū)間a,b上的矩形累加起來，所得到的就是這個函數(shù)的圖象在區(qū)間a,b的面積。實際上，定積分的上下限就是區(qū)間的兩個端點a、b。我們可以看到，定積分的本質(zhì)是把圖象無限細分，再累加起來，而積分的本質(zhì)是求一個函數(shù)的原函數(shù)。它們看起來沒有任何的聯(lián)系，那么為什么定積分寫成積分的形式呢?定積分與積分看起來風(fēng)馬牛不相及，但是由于一個數(shù)學(xué)上重要的理論的支撐，使得它們有了本質(zhì)的密切關(guān)系。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個理論，可以轉(zhuǎn)化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內(nèi)容是:若F(x)=f(x)那么f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個定積分式的值，就是上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差。正因為這個理論，揭示了積分與黎曼積分本質(zhì)的聯(lián)系，可見其在微積分學(xué)以至更高等的數(shù)學(xué)上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。3.0微積分積分是微分的逆運算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。在應(yīng)用上，積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。一個函數(shù)的不定積分(亦稱原函數(shù))指另一族函數(shù)，這一族函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰為前一函數(shù)。其中:F(x) + C = f(x)一個實變函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分，是一個實數(shù)。它等于該函數(shù)的一個原函數(shù)在b的值減去在a的值。積分 integral 從不同的問題抽象出來的兩個數(shù)學(xué)概念。定積分和不定積分的統(tǒng)稱。不定積分是為解決求導(dǎo)和微分的逆運算而提出的。例如:已知定義在區(qū)間I上的函數(shù)f(x)，求一條曲線y=F(x)，xI，使得它在每一點的切線斜率為F(x)= f(x)。函數(shù)f(x)的不定積分是f(x)的全體原函數(shù)(見原函數(shù))，記作 。如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則 ，其中C為任意常數(shù)。例如， 定積分是以平面圖形的面積問題引出的。y=f(x)為定義在a，b上的函數(shù)，為求由x=a，x=b ，y=0和y=f(x)所圍圖形的面積S，采用古希臘人的窮竭法，先在小范圍內(nèi)以直代曲，求出S的近似值，再取極限得到所求面積S，為此，先將a，b分成n等分:a=x0x1xn=b，取ixi-1，xi，記xi=xi-xi-1，則pn為S的近似值，當(dāng)n+時，pn的極限應(yīng)可作為面積S。把這一類問題的思想方法抽象出來，便得定積分的概念:對于定義在a，b上的函數(shù)y=f(x)，作分劃a=x0x1xn=b，若存在一個與分劃及ixi-1，xi的取法都無關(guān)的常數(shù)I，使得,其中則稱I為f(x)在a，b上的定積分，表為即 稱a，b為積分區(qū)間，f(x)為被積函數(shù)，a，b分別稱為積分的上限和下限。當(dāng)f(x)的原函數(shù)存在時，定積分的計算可轉(zhuǎn)化為求f(x)的不定積分:這是c牛頓萊布尼茲公式微分一元微分定義:設(shè)函數(shù)y = f(x)在x.的鄰域內(nèi)有定義，x0及x0 + x在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量y = f(x0 + x) f(x0)可表示為 y = Ax + o(x)(其中A是不依賴于x的常數(shù))，而o(x0)是比x高階的無窮小，那么稱函數(shù)f(x)在點x0是可微的，且Ax稱作函數(shù)在點x0相應(yīng)于自變量增量x的微分，記作dy，即dy = Ax。通常把自變量x的增量 x稱為自變量的微分，記作dx，即dx = x。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f(x)dx。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商。當(dāng)自變量X改變?yōu)閄+X時，相應(yīng)地函數(shù)值由f(X)改變?yōu)閒(X+X)，如果存在一個與X無關(guān)的常數(shù)A，使f(X+X)-f(X)和AX之差關(guān)于X0是高階無窮小量，則稱AX是f(X)在X的微分，記為dy，并稱f(X)在X可微。函數(shù)可導(dǎo)必可微，反之亦然，這時A=f(X)。再記AX=dy，則dy=f(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。幾何意義:設(shè)x是曲線y = f(x)上的點M的在橫坐標(biāo)上的增量，y是曲線在點M對應(yīng)x在縱坐標(biāo)上的增量，dy是曲線在點M的切線對應(yīng)x在縱坐標(biāo)上的增量。當(dāng)|x|很小時，|y-dy|比|y|要小得多(高階無窮小)，因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。多元微分同理，當(dāng)自變量為多個時，可得出多元微分得定義。運算法則:dy=f(x)dxd(u+v)=du+dvd(u-v)=du-dvd(uv)=duv+dvud(u/v)=(duv-dvu)/v2我想知道微積分的具體意義,尤其在幾何方面的意義,現(xiàn)實生活中有哪些應(yīng)用例子.最好能附上函數(shù)圖分析.分享舉報瀏覽 4451 次4個回答#熱議#結(jié)婚到底該不該給彩禮？給多少好？cqwangxiping2008-08-22微積分（Calculus）是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。微積分是建立在實數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的。微積分最重要的思想就是用微元與無限逼近,好像一個事物始終在變化你不好研究,但通過微元分割成一小塊一小塊,那就可以認為是常量處理,最終加起來就行。 微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。 它是一種數(shù)學(xué)思想，無限細分就是微分，無限求和就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運動的思想看待問題。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。如果將整個數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。 極限和微積分的概念可以追溯到古代。到了十七世紀后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作，分別獨立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，理論基礎(chǔ)是不牢固的。直到十九世紀，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴格的實數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴密化。 公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的莊子一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣?！边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。 到了十七世紀，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。 十七世紀的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。 十七世紀下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。 牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。 牛頓在1671年寫了流數(shù)法和無窮級數(shù)，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。 德國的萊布尼茨是一個博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻。他是歷史上最偉大的符號學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當(dāng)時萊布尼茨精心選用的。 微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。 前面已經(jīng)提到，一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個人或幾個人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生。 直到19世紀初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎(chǔ)。才使微積分進一步的發(fā)展開來。 任何新興的、具有無量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布貝努利和他的兄弟約翰貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西 歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數(shù)學(xué)也好，都是一種常量數(shù)學(xué)，微積分才是真正的變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)中的大革命。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支，不只是局限在解決力學(xué)中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績。微積分的基本內(nèi)容研究函數(shù)，從量的方面研究事物運動變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。 本來從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運動三定律。此后，微積分學(xué)極大的推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時也極大的推動了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計算機的出