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第四章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第18課 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值課時分層訓(xùn)練A組基礎(chǔ)達標(建議用時:30分鐘)一、填空題1當函數(shù)yx2x取極小值時,x等于_令y2xx2xln 20,x.經(jīng)驗證,為函數(shù)yx2x的極小值點2函數(shù)yln xx在x(0,e上的最大值為_1函數(shù)yln xx的定義域為(0,)又y1,令y0得x1,當x(0,1)時,y0,函數(shù)單調(diào)遞增;當x(1,e時,y0,函數(shù)單調(diào)遞減當x1時,函數(shù)取得最大值1.3已知函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值,則實數(shù)a的取值范圍是_(,3)(6,)f(x)3x22ax(a6),由已知可得f(x)0有兩個不相等的實根,4a243(a6)0,即a23a180,a6或a3.4設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc(a,b,cR),若x1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點,則下列圖象不可能為yf(x)圖象的是_(填序號) 【導(dǎo)學(xué)號:62172101】 圖183因為f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex,且x1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點,所以f(1)f(1)0.選項中,f(1)0,f(1)0,不滿足f(1)f(1)0.5函數(shù)f(x)x3x23x4在0,2上的最小值是_f(x)x22x3,令f(x)0得x1(x3舍去),又f(0)4,f(1),f(2),故f(x)在0,2上的最小值是f(1).6設(shè)aR,若函數(shù)yexax有大于零的極值點,則實數(shù)a的取值范圍是_(,1)yexax,yexa.函數(shù)yexax有大于零的極值點,則方程yexa0有大于零的解,x0時,ex1,aex1.7已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值10,則f(2)_. 【導(dǎo)學(xué)號:62172102】18函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值10,且f(x)3x22axb,f(1)10,且f(1)0,即解得或而當時,函數(shù)在x1處無極值,故舍去f(x)x34x211x16.f(2)18.8函數(shù)f(x)x33axb(a0)的極大值為6,極小值為2,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_(1,1)f(x)3x23a,由f(x)0得x.由f(x)0得x或x;由f(x)0得x.x是極大值點,x為極小值點即解得a1,b4,f(x)3x23.由f(x)0得3x230,即1x0得x0,由f(x)0得0x2.要使f(x)在(a,a5)上存在最小值,則即解得3a0時,求函數(shù)f(x)在1,2上的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號:62172104】解(1)f(x)a(x0)當a0時,f(x)a0,即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)當a0時,令f(x)a0,可得x,當0x0;當x時,f(x)0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)當1,即a1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù),所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.當2,即0a時,函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù),所以f(x)的最小值是f(1)a.當12,即a1時,函數(shù)f(x)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)又f(2)f(1)ln 2a,所以當aln 2時,最小值是f(1)a;當ln 2a0時,令f(x)0,解得xm或x,令f(x)0,解得xm,f(x)在遞增,在遞減,在(m,)遞增,f(x)極大值f,解得m,m0得x,令f(x)xm,f(x)在(,m)遞增,在遞減,f(x)極大值f(m),而f(m)0,不成立綜上,m.2設(shè)函數(shù)f(x)則f(x)的最大值為_2當x0時,f(x)2x0;當x0時,f(x)3x233(x1)(x1),當x1時,f(x)0,f(x)是增函數(shù),當1x0時,f(x)0,f(x)是減函數(shù),f(x)f(1)2,f(x)的最大值為2.3設(shè)函數(shù)f(x)(x1)exkx2,當k時,求函數(shù)f(x)在0,k上的最大值M.解因為f(x)(x1)exkx2,所以f(x)xex2kxx(ex2k),令f(x)0,解得x10,x2ln 2k,因為k,所以2k(1,2,所以0ln 2kln 2.設(shè)g(k)kln 2k,k,g(k)10,所以g(k)在上是減函數(shù),所以g(k)g(1)1ln 20,即0ln 2kk.所以f(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x(0,ln 2k)ln 2k(ln 2k,k)f(x)0f(x)極小值所以函數(shù)f(x)在0,k上的最大值為f(0)或f(k)f(0)1,f(k)(k1)ekk3,f(k)f(0)(k1)ekk31(k1)ek(k31)(k1)ek(k1)(k2k1)(k1)ek(k2k1)因為k,所以k10.令h(k)ek(k2k1),則h(k)ek(2k1)對任意的k,yek的圖象恒在y2k1的圖象的下方,所以ek(2k1)0,即h(k)0,所以函數(shù)h(k)在上為減函數(shù),故h(1)h(k)he0,所以f(k)f(0)0,即f(k)f(0)所以函數(shù)f(x)在0,k上的最大值Mf(k)(k1)ekk3.4設(shè)a0,函數(shù)f(x)x2(a1)xa(1ln x)(1)求曲線yf(x)在(2,f(2)處與直線yx1垂直的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)的極值解(1)由已知,得x0,f(x)x(a1),yf(x)在(2,f(2)處切線的斜率為1,所以f(2)1,即2(a1)1,所以a0,此時f(2)220,故所求的切線方程為yx2.(2)f(x)x(a1).a當0a1時,若x(0,a),f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;若x(a,1),f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;若x(1,),f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時xa是f(x)的極大值點,x1是f(x)的極小值點,函數(shù)f(x)的極大值是f(a)a2aln a,極小值是f(1).b當a1時,f(x)0,所以函數(shù)f(x)在定義域(0,)內(nèi)單調(diào)遞增,此時f(x)沒有極值點,故無極值c當a1時,若x(0,1),f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;若x(1,a),f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;若x(a,),f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時x1
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