淺談數(shù)列求和的若干方法 數(shù)學論文.doc

內江師范學院學年論文目錄摘要1ABSTRACT11引言22公式法23錯項相消法34倒序相加法45通項分析法56待定歸納法67裂項法78. 逐差法89. 組合數(shù)法910導數(shù)求和法1011數(shù)學歸納法1112遞推數(shù)列求和法1213無窮遞縮等比數(shù)列求和法12小結14參考文獻14致謝1515摘要:初學者對這部分的內容有畏難情緒，以至沒有學好此內容.關于數(shù)列求和前人也作過不少文章，但隨著數(shù)學的發(fā)展，數(shù)列求和出現(xiàn)了新題型，數(shù)列求和的若干方法不但解決了數(shù)列的一般求和也很好的處理了遞推問題.要解決一類問題，數(shù)列求和是從它們的本質特點出發(fā)，去尋找最一般的方法，從而得出的結論比較具有針對性，可以普遍推廣.本章的內容規(guī)律性比較強，只要抓住它們的不同特點，相應的歸類就比較容易地解答.根據(jù)數(shù)列的不同特點，給出了數(shù)列通項與求和的一般形式，很好地解決了數(shù)列求和的若干問題，為學好本章起到很大的幫助作用.關鍵詞：數(shù)列；前項和；通項公式；遞推求和ABSTRACTSeries summation series are the focus of this chapter , but also difficult . Sometimes such problems is to much trouble , if not impossible to do this , this part of the contents of beginners have fear of difficulty , emotional , and so has failed to learn this content . Summation series about it for a number of previous article , but with the development of math , sum series of new questions have also emerged , a number of series summation of the series will not only solve the general sum is also a very good deal with the delivery pushing problem . One type of problem to solve , a number of series summation are from their nature , characteristics , the go looking for the most general way to compare the conclusions thus targeted to the general promotion . Regularty of the contents of this chapter are relatively strong , as long as they grasp the different characteristics ,the corresponding classification can easily answer . According to the general form , a very good solution to a series summation of a number of issues , in order to learn to play a great help in this chapter .Key words : series ； pre-n and ; formula ; recursive summation1引言 數(shù)列是高中代數(shù)的重要內容，是學習高等數(shù)學的基礎.在高考和各種數(shù)學競賽中都占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列外，大部分求和都需要技巧，下面，就幾個歷屆高考數(shù)學來談談數(shù)列求和的基本方法和技巧.2公式法對于以下數(shù)列可利用公式直接求和.（1）等差數(shù)列： （其中：前n項和，：首項，：末項，d：公差，n：項數(shù)，下同）（2）等比數(shù)列： (3) 自然數(shù)的和（4）自然數(shù)的平方和（5）自然數(shù)的立方和例1 求和分析：由得 ，令=1、2、3、得 把以上各式兩邊相加得： 因此，例2 求和：解：設所求之和為，則，這是公比為的等比數(shù)列前項之和.（1）、若即則有（2）、若即則有3錯項相消法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應之積形成，那么此數(shù)列可采用錯項相減消法. 例3 求和 解：由原式乘以公比得： 原式與上式相減，得 例4 設求數(shù)列、的前項和分析：這個數(shù)列的每一項都含有，而=1或不等于1，對數(shù)列求和方法上有本質的不同，所以解題時需要進行討論.解：若，若，此時，該數(shù)列可以看成等差數(shù)列1、2、3與等比數(shù)列、的積構成的數(shù)列，且公比，在上述等號兩邊同時乘，有兩式相減得所以，從而得4倒序相加法如果一個數(shù)列與首末兩項等距的 兩項之和等于兩項之和，可采用正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和.例5 已知為等差數(shù)列，求解：令 將上式中各項的次序反過來就得到：上兩式相加的由等差數(shù)列性質得：所以得所以例6 求和：解：令將上式中各項的次序反過來，得：上述2式左右兩邊分別相加，并利用，得所以5通項分析法對數(shù)列的通項求和或變形，進行分析，從而決定使用哪種方法求和.例7 求數(shù)列1，的前項和，（）解：當=1時， 則當時， ，（為偶數(shù)）和，（為奇數(shù)）可見當|時， ，所以=6待定歸納法解決與自然數(shù)有關的某一問題，首先應對結論的代數(shù)形式做一個正確推測，并將結論用待定系數(shù)設出來，隨之令其滿足數(shù)學歸納法的各個步驟，從中得到得到待定系數(shù)的方程，求出待定系數(shù)，即可使問題得解.例8 求數(shù)列，的前項和因為數(shù)列它是關于的多項式，與之類似的數(shù)列求和問題我們熟悉的有 以上各式中，左端的通項公式及右端的和展開后都是關于的多項式，對其次數(shù)進行比較便可得到這樣的結論：若數(shù)列的通項公式是關于的多項式，則其前項和是比通項公式高一次的多項式，對本題而言，因為通項公式 是關于的三次多項式，所以我們猜想該數(shù)列的前項和是關于的四次多項式，故可設即，時上式均成立，有 即又因為所以比較上兩式同類項系數(shù)可得 解方程得 ,故7裂項法顧名思義，裂項法就是把數(shù)列的項拆成幾項，然后相加時各項相消，達到求和目的的一種方法.通項分解如： 例9 求數(shù)列的前項和分析：該數(shù)列的分子是偶數(shù)的平方，分母是奇數(shù)列相鄰兩項的乘積，用分子湊分母的方法，化簡分式，然后再拆項，有解：+例10 求和解： =8逐差法針對一類高階等差數(shù)列求和的問題.某些數(shù)列的構成規(guī)律不十分明顯.我們可以逐次求出它的各階差數(shù)列，如果某一階差數(shù)列正好是等差數(shù)列或者為等比數(shù)列，那么可以利用這些數(shù)列的有限和得出原數(shù)列的一個通項公式，然后再求出其前項和.例11 求數(shù)列的前項和考慮數(shù)列的各差數(shù)列：原數(shù)列：一階差數(shù)列：二階差數(shù)列：由于二階差數(shù)列是等比數(shù)列，可用逐差法求數(shù)列的通項，然后再求出其前項和.解：設原數(shù)列為，一階差數(shù)列為，二階差數(shù)列為 那么 以上個式子相加，有 因為，所以 又 所以 數(shù)列的前項和為 9組合數(shù)法 原數(shù)列各項可寫成組合數(shù)的形式，然后再利用公式求解.例12 求，由知可以利用“組合數(shù)法”求和 解 10導數(shù)求和法通過對數(shù)列的通項進行聯(lián)想，合理運用逆向思維，由求導公式，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù).關鍵要抓住數(shù)列通項的結構特征.例13 求和：解：當=1時，Sn=1+2+3+ =當1時，兩邊都是關于的函數(shù)，求導得（即 11數(shù)學歸納法有些題目通過求出的的前項之和，猜想出，然后用數(shù)學歸納法證明.例14 設數(shù)列的前項之和為，滿足3求解：因為由，3，得3（所以 而所以 3得 同理 求 得推測下面用數(shù)學歸納法加以證明（1）、當=1時，結論顯然成立（2）、假設時結論成立，即由題設有知又因為所以 有則時結論亦成立.由（1）（2）知，對于總成立.12遞推數(shù)列求和法遞推數(shù)列求和是較難的一類，針對這類題，一般先要研究通項公式，而求通項公式又往往是難點，通項求出就可以從本質上去求和，下面介紹地推數(shù)列通項的方法.例15 已知數(shù)列中求解：要求，首先尋找因 故所以是以2為公比，為首項的等比數(shù)列.所以所以 =所以13極限求和當數(shù)列為無窮數(shù)列，這就是我們高等數(shù)學要學的一個重要組成部分級數(shù)，那它的和怎么求啦？有些我們可以直接運用公式，有些我們還是可以裂項，然后再求極限.例16 求數(shù)列的前項和解：由題設可知此數(shù)列為遞縮等比數(shù)列，公比，故前項和故 例17 求數(shù)列解：因為所以 =所以結束語數(shù)列求和問題雖然很難，但我總可以通過找出共同的特點和規(guī)律或進行恒等變換得到解決的途徑.以上幾種方法是求數(shù)列較適用的方法，是從根本上去認識數(shù)列求和.類型較全，公式簡單易懂，對學好數(shù)列的求和有很大的幫助.參考文獻 人民教育出版社中學數(shù)學室，高一數(shù)學上冊.北京人民教育出版社； 瀘海運、付延衛(wèi)、田春林等.創(chuàng)新方案.北京：中國青年出版社； 葉鋒，淺談數(shù)列的求和.成都教育出版社2006.6； 廣冬雁、李居強、劉利琴，數(shù)列求和十法.數(shù)理化學習（高中版）； 李增旺、宋勝利.名師一號.北京：人民日報出版社；6 劉玉璉、 數(shù)學分析講義（下冊）M，北京：高考教育出版社，2003；7陳傳璋，數(shù)學分析講義下冊J,北京：高考教育出版社，2004.致謝經過幾個月的奮斗，我的學年論文終于完成了，在此我要感謝我的指導老師曾德強老師，沒有他就沒有我這篇論文的一些思想，沒有他我很多地方的數(shù)學思維是不可能有的，他使我的數(shù)學水平提過了一個檔次，明白了如何寫數(shù)學論文，如何查找文獻等等，也