簡(jiǎn)化不等式運(yùn)算的幾種策略.doc

簡(jiǎn)化不等式運(yùn)算的幾種策略在解答不等式問題時(shí)，如果方法選擇不當(dāng)，那么將使解題過程冗長(zhǎng)、繁雜，運(yùn)算量大，直接影響速度與運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確。因此在解題過程中，若能充分挖掘問題潛在的特殊性，靈活地采用相應(yīng)的解題策略，則可簡(jiǎn)化或避免分類討論等一些不必要的繁雜運(yùn)算，簡(jiǎn)化解題過程。本文就幾類常用的策略歸納如下：1.挖掘隱含條件 充分挖掘不等式成立的必要條件，則可簡(jiǎn)化分類，迅速求解。如利用定義域，有界因子或因式等。例.設(shè)，且為常數(shù)，解不等式分析：注意到不等式的“定義域”，有，即： 。而 ，故。此時(shí)，所以不等式恒成立，其解集為： 。2.考查問題的等效性 利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、等效因子、等價(jià)變形等方法將原不等式轉(zhuǎn)化為另一種形式求解，則可簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，迅速求解。例1.對(duì)于解不等式。分析：不等式與不等式等價(jià)。所以原不等式等價(jià)于：即：從而得解集： 。例2.解不等式.分析：由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)知：原不等式等價(jià)于： 即： 。解之易得。例3.解不等式.分析：原不等式等價(jià)于： 。解之，即得。3.數(shù)形結(jié)合 從不等式中抽象出函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為考查函數(shù)圖解的位置關(guān)系。例.設(shè)，解關(guān)于的不等式.xyo分析：由題意知，設(shè)， ?？疾榉匠蹋航Y(jié)合已知： ，易得： 。說明兩曲線的位置關(guān)系如圖所示：觀察圖象得，原不等式的解集為：。4.換元引參，合理轉(zhuǎn)化 對(duì)不等式進(jìn)行代數(shù)換元、三角換元等，將不等式形式簡(jiǎn)化或轉(zhuǎn)化為其它問題。例.若關(guān)于的方程有解，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：令 ，則原問題轉(zhuǎn)化為三角問題： 由角的范圍知，實(shí)數(shù)的取值范圍為：。5.函數(shù)思想的運(yùn)用 變更主元，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來解題。 例1.解不等式分析：設(shè)，則 。原不等式轉(zhuǎn)化為： 即： 也就是： 由為減函數(shù)知，即： 。解之，即得： 。例2.若不等式對(duì)滿足的所有都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：原不等式等價(jià)于：則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立。由函數(shù)的性質(zhì)知，只須： 解得：或 。6.方程思想的運(yùn)用 構(gòu)造方程，將不等式問題轉(zhuǎn)化為考查方程的根的相關(guān)性質(zhì)。例.已知不等式，它的解集為，求的值。分析：利用方程思想，4和是不等式對(duì)應(yīng)的方程的兩根，所以有： 解之，即得： 。7.正難則反 從反面求解，轉(zhuǎn)化為去求不等式的補(bǔ)集，可起到事半功倍的效果。例.解關(guān)于的不等式分析：注意到原不等式與不等式的關(guān)系，解不等式： ,即得：解之得： 。在全集中取的補(bǔ)集即得原不等式的解集為： 。8.合理構(gòu)造，避免或優(yōu)化討論 充分分析給定的條件，確定解題目標(biāo)，進(jìn)行合理構(gòu)造，可避免或優(yōu)化分類討論，精簡(jiǎn)運(yùn)算過程。例1.,且，求證：分析： 構(gòu)造數(shù)列： 則例2.設(shè)，。當(dāng)時(shí),。證明：當(dāng)時(shí),。分析：由題意知，構(gòu)造如下：令 ，則：設(shè) ， ，而所以易證。所以： 。9.分離參變量 對(duì)涉及的參變量進(jìn)行分離，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值