2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.3.2第1課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值教學(xué)案.docx

第1課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).3.掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件知識(shí)鏈接在必修1中，我們研究了函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值與最小值問(wèn)題但函數(shù)在定義域內(nèi)某一點(diǎn)附近，也存在著哪一點(diǎn)的函數(shù)值大，哪一點(diǎn)的函數(shù)值小的問(wèn)題，如何利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)判斷函數(shù)在某點(diǎn)附近函數(shù)值的大小問(wèn)題，觀察下圖，函數(shù)yf(x)在xd、e、f、g、h、i等點(diǎn)處的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？yf(x)在這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，yf(x)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律？答：以d、e兩點(diǎn)為例，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xd處的函數(shù)值f(d)比它在點(diǎn)xd附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(d)0；在xd的附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1極值點(diǎn)與極值已知函數(shù)f(x)及其定義域內(nèi)一點(diǎn)x0，對(duì)于存在一個(gè)包含x0的開(kāi)區(qū)間內(nèi)的所有點(diǎn)x，如果都有f(x)f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極小值，記作y極小值f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)2求可導(dǎo)函數(shù)yf(x)極值的步驟(1)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)求方程f(x)0的所有實(shí)數(shù)根；(3)對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷在每個(gè)根的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f(x)的符號(hào)如何變化，如果f(x)的符號(hào)由正變負(fù)，則f(x0)是極大值；如果f(x)的符號(hào)由負(fù)變正，則f(x0)是極小值如果在f(x)0的根xx0的左右側(cè)符號(hào)不變，則f(x0)不是極值.要點(diǎn)一求函數(shù)的極值例1求函數(shù)f(x)2的極值解函數(shù)的定義域?yàn)镽.f(x).令f(x)0，得x1，或x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)31由上表可以看出：當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有極小值，且極小值為f(1)3；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有極大值，且極大值為f(1)1.規(guī)律方法求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f(x)(2)求方程f(x)0的根(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列成表格檢測(cè)f(x)在方程根左右兩側(cè)的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值跟蹤演練1求函數(shù)f(x)3lnx的極值解函數(shù)f(x)3lnx的定義域?yàn)?0，)，f(x).令f(x)0，得x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)3因此當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極小值f(1)3.要點(diǎn)二利用函數(shù)極值確定參數(shù)的值例2已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx(a0)在x1處取得極值，且f(1)1.(1)求常數(shù)a，b，c的值；(2)判斷x1是函數(shù)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，試說(shuō)明理由，并求出極值解(1)f(x)3ax22bxc.x1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，x1是方程f(x)0的兩根，即3ax22bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得又f(1)1，abc1.由解得a，b0，c.(2)由(1)知，f(x)x3x，f(x)x2(x1)(x1)，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，當(dāng)1x1時(shí)，f(x)或x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)和(，)；單調(diào)遞減區(qū)間為(，)當(dāng)x時(shí)，f(x)有極大值54；當(dāng)x時(shí)，f(x)有極小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示所以，當(dāng)54a54時(shí)，直線ya與yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程f(x)a有三個(gè)不同的實(shí)根所以，此時(shí)a的取值范圍是(54，54)規(guī)律方法用求導(dǎo)的方法確定方程根的個(gè)數(shù)，是一種很有效的方法它通過(guò)函數(shù)的變化情況，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷方程根的個(gè)數(shù)跟蹤演練3若函數(shù)f(x)2x36xk在R上只有一個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)k的取值范圍解f(x)2x36xk，則f(x)6x26，令f(x)0，得x1或x1，可知f(x)在(1,1)上是減函數(shù)，f(x)在(，1)和(1，)上是增函數(shù)f(x)的極大值為f(1)4k，f(x)的極小值為f(1)4k.要使函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，只需4k0(如圖所示)即k4.k的取值范圍是(，4)(4，).1下列關(guān)于函數(shù)的極值的說(shuō)法正確的是()A導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)B函數(shù)的極小值一定小于它的極大值C函數(shù)在定義域內(nèi)有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值D若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)答案D解析由極值的概念可知只有D正確2函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()A無(wú)極大值點(diǎn)，有四個(gè)極小值點(diǎn)B有三個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)C有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)D有四個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)答案C解析f(x)的符號(hào)由正變負(fù)，則f(x0)是極大值，f(x)的符號(hào)由負(fù)變正，則f(x0)是極小值，由圖象易知有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)3已知f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍為( )A(1,2) B(3,6)C(，1)(2，) D(，3)(6，)答案D解析f(x)3x22ax(a6)，因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值，那么(2a)243(a6)0，解得a6.4設(shè)函數(shù)f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，且x1x21，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案9解析f(x)18x26(a2)x2a.由已知f(x1)f(x2)0，