極限的計(jì)算與證明方法.docVIP

本科生畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 冊(cè) 學(xué)院 匯華學(xué)院 專(zhuān)業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級(jí) 2008 級(jí) X 班 學(xué)生 XXX 指導(dǎo)教師 XXX 論文編號(hào) 河北師范大學(xué)本科畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 任務(wù)書(shū) 編 號(hào) 論文 設(shè)計(jì) 題目 極限的計(jì)算與證明方法 學(xué) 院 匯華學(xué)院 專(zhuān)業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級(jí) 2008 級(jí) 3 班 學(xué)生姓名 xxx 學(xué)號(hào) 指導(dǎo)教師 xxx 職稱(chēng) 1 論文 設(shè)計(jì) 研究目標(biāo)及主要任務(wù) 目標(biāo) 總結(jié)一些常用的極限的計(jì)算和證明方法 主要任務(wù) 通過(guò)歸納總結(jié)對(duì)極限思想及其計(jì)算 證明方法加以鞏固 為后繼的數(shù) 學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ) 同時(shí)也培養(yǎng)自身的探究精神 提高自身的科學(xué)素養(yǎng) 2 論文 設(shè)計(jì) 的主要內(nèi)容 主要內(nèi)容 極限的常見(jiàn)的計(jì)算和證明方法 即利用函數(shù)的定義求極限 利用兩個(gè) 準(zhǔn)則求極限 利用柯西收斂準(zhǔn)則求極限 利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 利用兩個(gè) 重要極限公式求極限 利用單側(cè)極限求極限 利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限 利用等價(jià) 無(wú)窮小量代換求極限 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 利用中值 定理求極限 利用定積分求和式的極限 利用洛必達(dá)法則求極限 利用泰勒展開(kāi)式求 極限 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限等 3 論文 設(shè)計(jì) 的基礎(chǔ)條件及研究路線 基礎(chǔ)條件 圖書(shū)館借閱及網(wǎng)上相關(guān)資料查閱 研究路線 首先引入極限的分類(lèi)及定義 然后對(duì)極限的計(jì)算與證明方法進(jìn)行搜集 歸納 并一一列舉 并給出相應(yīng)的例題以促進(jìn)知識(shí)的理解 掌握及應(yīng)用 最后作出總 結(jié) 4 主要參考文獻(xiàn) 1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 數(shù)學(xué)分析 第三版 M 高等教育出版社 2001 年 2 大學(xué)數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)叢書(shū)編寫(xiě)組編 數(shù)學(xué)分析名師導(dǎo)學(xué) M 中國(guó)水利水電出版社 2004 年 3 錢(qián)吉林等主編 眾邦考試教育研究所策劃 數(shù)學(xué)分析解題精粹 第二版 M 湖 北長(zhǎng)江出版集團(tuán) 2009 年 5 計(jì)劃進(jìn)度 階段起止日期 1 畢業(yè)論文選題 文獻(xiàn)調(diào)研 填寫(xiě)畢業(yè)論文任務(wù)書(shū) 論文開(kāi)題 2011 11 01 2012 12 02 2 進(jìn)行畢業(yè)論文的初稿寫(xiě)作 2012 12 03 2012 02 01 3 進(jìn)行畢業(yè)論文的二稿寫(xiě)作 2012 02 02 2012 03 24 4 進(jìn)一步修改論文 并最終定稿 2012 03 25 2012 05 09 5 論文答辯 2012 05 10 指 導(dǎo) 教 師 年 月 日 教研室主任 年 月 日 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 開(kāi)題報(bào)告書(shū) 匯華 學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專(zhuān)業(yè) 2012 屆 學(xué)生 姓名 xxx 論文 設(shè)計(jì) 題目極限的計(jì)算與證明方法 指導(dǎo) 教師 xxx 專(zhuān)業(yè) 職稱(chēng) 所屬 教研室 研究 方向 課題論證 見(jiàn)附頁(yè) 方案設(shè)計(jì) 研究對(duì)象 極限的計(jì)算及證明方法 研究問(wèn)題 極限常見(jiàn)的求法和證明方法的總結(jié)歸納 采用方法 經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法 比較研究法 文獻(xiàn)資料法等 內(nèi)容安排 本文分為四個(gè)部分 緒論 極限的分類(lèi)及定義 極限的計(jì)算與證明方法及 結(jié) 束語(yǔ) 第一部分主要介紹極限在數(shù)學(xué)分析中的作用 引出主題 第二部分 簡(jiǎn) 要介紹數(shù)學(xué)分析中極限的分類(lèi)和定義 第三部分進(jìn)入正文部分 歸納總結(jié) 了 十五種極限的常見(jiàn)求法及證明方法 并輔以相應(yīng)的例題 第四部分是對(duì)全 文 進(jìn)行的總結(jié)性段落 使文章首尾呼應(yīng) 內(nèi)容更為完整 預(yù)期目標(biāo) 掌握求 極 限的方法 并且能夠在不同的題目中應(yīng)用想適應(yīng)的方法 更好地完成極限 的 求解及證明工作 同時(shí)通過(guò)對(duì)極限求法的討論 加強(qiáng)應(yīng)用極限解題的能力 為日后相關(guān)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ) 進(jìn)度計(jì)劃 2011 11 01 2012 12 02 畢業(yè)論文選題 文獻(xiàn)調(diào)研 填寫(xiě)畢業(yè)論文任務(wù)書(shū) 論文開(kāi)題 2012 12 03 2012 02 01 進(jìn)行畢業(yè)論文的初稿寫(xiě)作 2012 02 02 2012 03 24 進(jìn)行畢業(yè)論文的二稿寫(xiě)作 2012 03 25 2012 05 09 進(jìn)一步修改論文 并最終定稿 2012 05 10 論文答辯 指導(dǎo)教師意見(jiàn) 指導(dǎo)教師簽名 年 月 日 教研室意見(jiàn) 教研室主任簽名 年 月 日 畢業(yè)論文課題論證 附 數(shù)學(xué)分析是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) 是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一門(mén)學(xué)科 在初等 數(shù)學(xué)這種靜態(tài)的數(shù)量關(guān)系的分析到數(shù)學(xué)分析這種動(dòng)態(tài)數(shù)量關(guān)系的研究這一發(fā)展過(guò)程中 研究對(duì)象發(fā)生了很大的變化 也正是在這一背景下 極限作為一種研究事物動(dòng)態(tài)數(shù)量 關(guān)系的方法應(yīng)用而生 極限作為數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)和基本組成部分 作為區(qū)別初等 數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志 伴隨著微積分的建立 最終發(fā)展成現(xiàn)在的角色 貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)分 析學(xué)習(xí)的過(guò)程中 如連續(xù) 導(dǎo)數(shù) 定積分 重積分 曲線積分 曲面積分以及級(jí)數(shù)的 收斂性等定義都建立在極限的基礎(chǔ)上 可見(jiàn)極限在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過(guò)程中起到了十分 重要的作用 極限的產(chǎn)生和發(fā)展可謂是曲折坎坷的 極限理論的建立不僅消除了微積分長(zhǎng)期以 來(lái)帶有的神秘性 也為微積分奠定了理論基礎(chǔ) 加速了微積分的發(fā)展 使微積分能夠 更好的更深入的解決更多的實(shí)際問(wèn)題 成為生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中有力的工具 而且在思 想上和方法上深刻的影響和促進(jìn)了近代數(shù)學(xué)的發(fā)展 極限是描述數(shù)列和函數(shù)在無(wú)限過(guò)程中的變化趨勢(shì)的重要概念 研究數(shù)學(xué)分析中函 數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上就是研究各種類(lèi)型的極限 由此可見(jiàn)極限的重要性 極限理論又是數(shù) 學(xué)分析中的基本概念 對(duì)極限理論和極限概念理解和掌握的好壞將直接影響到相關(guān)課 程的學(xué)習(xí) 極限理論是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的重要轉(zhuǎn)折 極限概念描述的是變量在 某一變化過(guò)程中的變化趨勢(shì) 是從有限到無(wú)限 近似到精確 量變到質(zhì)變過(guò)程 與初 等數(shù)學(xué)中的概念有很大的區(qū)別 因此學(xué)生掌握起來(lái)比較困難 而就是因?yàn)槠淦D難的發(fā)展路程 才更顯現(xiàn)了它在數(shù)學(xué)研究過(guò)程中的重要性 要深 入數(shù)學(xué)領(lǐng)域 就必須培養(yǎng)并掌握極限的思想及相關(guān)概念 更重要的就是要能夠熟練地 使用極限的方法解決數(shù)學(xué)中的很多難題 而如何求極限 怎樣使求極限變得容易 這 是絕大多數(shù)學(xué)生較為頭痛的問(wèn)題 又因?yàn)闃O限運(yùn)算作為學(xué)習(xí)數(shù)分過(guò)程中的最基本的運(yùn) 算 所以能夠很好地掌握一些常用的求極限的方法時(shí)十分必要的 求極限不僅要準(zhǔn)確 理解極限的概念 性質(zhì)和極限存在的條件 而且還要能準(zhǔn)確地求出各種極限 而對(duì)于 一些比較復(fù)雜的極限 如果直接按照極限的定義來(lái)求就會(huì)顯得非常困難 不僅計(jì)算量 大 而且不一定能求出結(jié)果 為了極限的發(fā)展 使之得到更廣泛的應(yīng)用 有很多學(xué)者 專(zhuān)家對(duì)求極限的方法也進(jìn)行過(guò)深入的研究 作為一個(gè)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生 很有必要對(duì)極 限的求法和證明方法進(jìn)行了解和熟悉 相信這個(gè)課題會(huì)讓我更多的人了解數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué) 科 也對(duì)形成數(shù)學(xué)思想起到促進(jìn)作用 本文就是針對(duì)極限的計(jì)算和證明方法展開(kāi)的 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 文獻(xiàn)綜述 作為一種科學(xué)的思想方法 極限思想同樣是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物 極限的起源與發(fā)展一直 也是學(xué)者們較為關(guān)注的話題 早在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期 哲學(xué)名著 莊子 記載著惠施的一句名言 一尺之棰 日取其半 萬(wàn)世不竭 就已經(jīng)反映了古人對(duì)極限問(wèn)題有了一定的思考 而我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽和祖沖 之的 割圓術(shù) 已經(jīng)能夠利用極限論的初步思想來(lái)解決求圓周率的實(shí)際問(wèn)題了 同時(shí) 古 希臘人的 窮竭法 也已經(jīng)將極限思想蘊(yùn)涵其中來(lái)解決問(wèn)題 但是 由于希臘人對(duì) 無(wú)限 有著一種恐懼心理 于是他們便借助了一種間接的方法 歸謬法來(lái)完成有關(guān)證明 以上 這些都是極限思想在其萌芽階段的表現(xiàn) 盡管這一階段的極限概念不明確 但是卻能夠?yàn)?后人繼續(xù)探索和發(fā)展極限思想提供一個(gè)很好的平臺(tái) 到了 16 17 世紀(jì) 極限思想進(jìn)入了發(fā)展階段 荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文改進(jìn)了 窮竭法 并且大膽地運(yùn)用了極限的思想來(lái)思考問(wèn)題 從而將極限方法發(fā)展成為了一個(gè)實(shí)用的概念 之后 牛頓和萊布尼茲以無(wú)窮小的概念為基礎(chǔ)建立了微積分 但由于他們?cè)谘芯窟^(guò)程中遇 到了邏輯困難 因此也不同程度地接受了極限思想 此時(shí) 真正意義上的極限才得以建 立 然而牛頓對(duì)于極限的理解是建立在幾何直觀上的 故而無(wú)法給出極限的嚴(yán)格表述 這 與數(shù)學(xué)上的追求嚴(yán)密的原則相抵觸 到了 18 世紀(jì) 羅賓斯 達(dá)朗貝爾以及依里埃等人先 后給出明確態(tài)度 指明極限必須是微積分的基礎(chǔ)概念 并且都作出了各自的極限的定義 直到 19 世紀(jì) 法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在前人的研究基礎(chǔ)上才將極限概念比較完整地闡述出來(lái) 為了排除極限概念中依舊存在的幾何直觀的痕跡 德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯對(duì)極限又作出 了靜態(tài)的定義 也給微積分奠定了更為嚴(yán)格的理論基礎(chǔ) 這個(gè)嚴(yán)格的定義也被看作是科學(xué) 論證的基礎(chǔ) 一直沿用至今 到了近代 在數(shù)學(xué)的許多分支中 很多重要的學(xué)術(shù)性概念及理論都是以極限思想為理 論基礎(chǔ)來(lái)進(jìn)行延拓和深化的 運(yùn)用極限思想來(lái)解決問(wèn)題也已經(jīng)成為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析乃至整 個(gè)高等數(shù)學(xué)過(guò)程中一件必不可少的工具 數(shù)學(xué)分析之所以能夠很好地解決初等數(shù)學(xué)無(wú)法解 決的問(wèn)題 也正是源于它應(yīng)用了極限的思想方法 因此 能夠很好的掌握極限的計(jì)算及證 明方法也成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的必要條件 近年 許多的專(zhuān)家 學(xué)者對(duì)極限的熱衷程度逐漸提升 他們?cè)谏钊胩骄繕O限的概念及 理論意義的同時(shí)也對(duì)極限的計(jì)算和證明方法有不同程度的的研究 并且取得了一定的突破 比如說(shuō)利用中值定理求極限 利用無(wú)窮小量求極限等方法便是較為突出的研究成果 這對(duì) 于后人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析甚至是深入數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有著重大的意義 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文 設(shè)計(jì) 翻譯文章 英文原文 摘自 Vladimir A Zorich 著的 Mathematical Analysis I 第 111 頁(yè)到 114 頁(yè) 3 2 2 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì) 在這里我們給出一些常用的函數(shù)極限的性質(zhì) 它們中的許多性質(zhì)都類(lèi)似于我們之前 已經(jīng)給出的數(shù)列極限的性質(zhì) 而數(shù)列極限的性質(zhì)我們已經(jīng)給出 此處不再贅述 此外 由上面命題 1 的證明能夠明顯地看出 很多函數(shù)極限的性質(zhì)都是隨著與其相應(yīng)的數(shù)列 極限的性質(zhì)的形成而產(chǎn)生的 例如 極限的唯一性 極限的運(yùn)算性以及極限的保不等 式性等 讀者們可以注意到這樣的現(xiàn)實(shí) 我們僅僅需要一列極限點(diǎn)的去心鄰域的兩個(gè)性質(zhì) 即點(diǎn)集的去心鄰域是非空的 aUB E 1 E aUaUaUB E EE 2 aUaUaUE E E 也就是說(shuō) 任意去心鄰域的交集都包含某一個(gè)去心鄰域 這一結(jié)論給出了我們函 數(shù)極限的一般概念 函數(shù)極限定理也使得未來(lái)數(shù)集的定義成為了可能 為了使得此處 的討論不與上述的 3 1 節(jié)出現(xiàn)重復(fù) 我們將給出一些前節(jié)沒(méi)有進(jìn)行證明的新的方法和 概念 a 函數(shù)極限的一般性質(zhì)函數(shù)極限的一般性質(zhì) 首先 我們給出以下定義 定義定義 4 4 如前所述 假設(shè)函數(shù)僅是一個(gè)常值函數(shù) 取一個(gè)函數(shù) REf REf 當(dāng)時(shí) 如果點(diǎn)是去心鄰域上的一個(gè)常值 則被稱(chēng)作函數(shù)上最 Exax a aUE af 終恒定的一個(gè)點(diǎn) 即為集合的一個(gè)極限點(diǎn) aE 定義定義 5 5 函數(shù)是有界的 有上界或者是由下界 如果存在一個(gè)數(shù) REf RC 對(duì)于所有的 都使得或者成立 Ex CxfCxf xfC 如果上述三種關(guān)系之一僅在這些去心鄰域里成立的話 當(dāng)時(shí) 這個(gè) Exax 函數(shù)就被稱(chēng)為最終有界 最終有上界或者有下界 定理定理 1 a 當(dāng)時(shí) 函數(shù)是一個(gè)常數(shù) Exax REf A ExAxf ax lim b 存在ExAxf ax lim 1 當(dāng)時(shí) 函數(shù)是一個(gè)有界常數(shù) Exax REf c 當(dāng)時(shí) lim lim 21 ExAxfAxf axax 且 21 AA 證明 結(jié)論 a 中一個(gè)最終的常函數(shù)有一個(gè)極限 結(jié)論 b 中一個(gè)函數(shù)有的極限存在 說(shuō)明這個(gè)函數(shù)有界 這與其對(duì)應(yīng)的定義相符合 我們現(xiàn)在來(lái)證明極限的唯一性 假設(shè) 選取兩個(gè)互不相交的鄰域和 即 由極 21 AA 1 AV 2 AV 21 AVAV 限的定義我們有 1 1 limAVaUfaUExAxfEE ax 2 2 limAVaUfaUExAxfEE ax 選取一個(gè) 的一個(gè)極限點(diǎn) 的一個(gè)去心鄰域 使得aE aUE aUaUaUEE E 又 再取 然后就有 由于鄰域和 aUE aUx E 21 AVAVxf 1 AV 互不相交 故不成立 2 AV 21 AVAVxf b b 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 定義定義 6 6 如果兩個(gè)數(shù)值函數(shù)和有一個(gè)共同的定義域 REf REg E 它們的和 積和商函數(shù)分別由下列的同一組公式來(lái)定義 xgxfxgf xgxfxgf 此處 xg xf x g f Exxg 0 定理定理 2 2 取函數(shù)和函數(shù) 使得他們有一個(gè)共同的定義域 REf REg 如果 那么ExBxgAxf axax lim lim且 a ExBAxgf ax lim b ExBAxgf ax lim c 00 lim xgBEx B A g f ax 且 對(duì)于 在 3 2 2 節(jié)的開(kāi)頭已經(jīng)注明 這個(gè)定理是一個(gè)之前的名題 1 中給出的數(shù)列極限相 應(yīng)定理的直接結(jié)果 這個(gè)定理也可以通過(guò)重復(fù)證明數(shù)列極限的性質(zhì)來(lái)得到 為了縮小 集合中點(diǎn)的去心鄰域的范圍 我們需要在證明過(guò)程中給出一定的限定條件 即同Ea 先前涉及到的陳述 從自然數(shù) N 中取一個(gè)數(shù) n 此處為讀者自行證明 當(dāng)時(shí) 函數(shù)被稱(chēng)作是無(wú)窮的 如果函數(shù)的極限為零 Exax REf 命題命題 2 2 a 當(dāng)時(shí) 如果和趨于無(wú)窮 那么它們的和 Exax RE RE 也趨于無(wú)窮 b 當(dāng)時(shí) 如果和是無(wú)窮函數(shù) 那么它們的積 Exax RE RE 也是無(wú)窮的 c 當(dāng)時(shí) 如果是無(wú)窮的 且是有界的 那么它們的 Exax RE RE 積是無(wú)窮的 證明 a 我們將給出證明如下 ExxExxx axaxax 0lim 0 lim0 lim 且 對(duì)于任意 利用極限的定義 有0 2 0 lim xaUxaUExxEE ax 2 0 lim xaUxaUExxEE ax 那么對(duì)于去心鄰域我們可以得到 aUaUaUEE E xxxxxaUx E 這樣 我們就證明了 0lim x ax b 這個(gè)結(jié)論是結(jié)論 c 的特殊情形 因?yàn)槊恳粋€(gè)極限存在的函數(shù)都有界 c 給出證明如下 MxaUxaURMx EE ax 0 lim且 Exxx ax 0lim 對(duì)于任意 利用極限的定義 有0 M xaUxaUExxEE ax 0 lim 那么對(duì)于去心鄰域可以得到 aUaUaU E EE M M xxxxxaUxE 這樣 我們就證明了 Exxx ax 0lim 英文原文 3 2 2 Properties of the Limit of a Function We now establish a number of properties of the limit of a function that are constantly being used Many of them are analogous to the properties of the limit of a sequence that we have already established and for that reason are essentially already known to us Moreover by Proposition 1 just proved many properties of the limit of a function follow obviously and immediately from the corresponding properties of the limit of a sequence the uniqueness of the limit the arithmetic properties of the limit and passage to the limit in inequalities We call the reader s attention to the fact that in order to establish the properties of the limit of a function we need only two properties of deleted neighborhoods of a limit point of a set that is the deleted neighborhood of the point in is nonempty aUB E 1 E aUaUaUB E EE 2 aUaUaUE E E That is the intersection of any pair of deleted neighborhoods contains a deleted neighborhood This observation leads us to a general concept of a limit of a function and the possibility of using the theory of limits in the future not only for functions defined on sets of numbers To keep the discussion from becoming a mere repetition of what was said in Sect 3 1 we shall employ some useful new devices and concepts that were not proved in that section a General Properties of the Limit of a Function We begin with some difinitions Definition 4 As before a function assuming only one value is called constant A function REf is called ultimately constant as if it is constant in some deleted neighborhood REf axE where is a limit point of aUE aE Definition 5 A function is bounded bounded above or bounded below respectively if there is REf a number such that or for all RC CxfCxf xfC Ex If one of these three relations holds only in some deleted neighborhood the function is said to be aUE ultimately bounded ultimately bounded above or ultimately bounded below as respectively axE Theorem 1 a is ultimately the constant as REf AaxE Axf axE lim b is ultimately bounded as limxf axE REf axE c 1 limAxf axE 2 limAxf axE 21 AA Proof The assertion a that an ultimately constant function has a limit and assertion b that a function having a limit is ultimately bounded follow immediately from the corresponding definitions We now turn to the proof of the uniqueness of the limit Suppose Choose neighborhoods and having no points in common that is 21 AA 1 AV 2 AV By definition of a limit we have 21 AVAV 1 1 limAVaUfaUAxfEE axE 2 2 limAVaUfaUAxfEE axE We now take a deleted neighborhood of a which is a limit point of such that aUE E aUaUaUEE E Since we take We then have which is aUE aUx E 21 AVAVxf impossible since the neighborhoods and have no points in common 1 AV 2 AV b Passage to the Limit and Arithmetic Operations Definition 6 If two numerical valued functions and have a common domain of REf REg definition E their sum product and quotient are respectively the functions defined on the same set by the following formulas xgxfxgf xgxfxgf iffor xg xf x g f 0 xgEx Theorem 2 Let and be two functions with a common domain of definition REf REg If and thenAxf axE limBxg axE lim a BAxgf axE lim b BAxgf axE lim c if and for B A g f axE lim0 B0 xgEx As already noted at the beginning of Subsect 3 2 2 this theorem is an immediate consequence of thecorresponding theorem on limits of sequences given Proposition 1 The theorem can also be obtained by repeating the proof of the theorem on the algebraic properties of the limit of a sequence The changes needed in the proof in order to do this reduce to referring to some deleted neighborhood of in aUE a where previously we had referred to statements holding from some on We advise the reader ENn to verify this Here we shall obtain the theorem from its simplest special case when Of course assertion 0 BA c will then be excluded from consideration A function is said to be infinitesimal as if REf axE 0 lim xf axE Proposition 2 a If and are infinitesimal functions as then RE RE axE their sum is also infinitesimal as RE axE b If and are infinitesimal functions as then their product RE RE axE is also infinitesimal as RE axE c If is infinitesimal as and is ultimately bounded as RE axE RE then their sum is also infinitesimal as axE RE axE Proof a We shall verify that Let be given By definition of 0 0lim0lim0lim xxx axEaxEaxE the limit we have 2 0lim xaUxaUxEE axE 2 0lim xaUxaUxEE axE Then for the deleted neighborhood we obtain aUaUaUEE E xxxxxaUx E That is we have verified that 0lim x axE b This assertion is a special case of assertion c since every function that has a limit is ultimately bounded c We shall verify that MxaUxaURMx EE axE 0lim 0 lim xx axE Let be given By definition of limit we have0 M xaUxaUxEE axE 0lim Then for the deleted neighborhood we obtain aUaUaU E EE M M xxxxxaUxE Thus we have verified that 0lim xx axE 本科生畢業(yè)論文設(shè)計(jì) 題目 極限的計(jì)算與證明方法 作者姓名 X X X 指導(dǎo)教師 X X X 所在學(xué)院 匯華學(xué)院 專(zhuān)業(yè) 系 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級(jí) 屆 2012 屆 X 班 完成日期 2012 年 5 月 8 日 I 目目 錄錄 中文摘要 關(guān)鍵詞 III 1 緒論 1 2 極限的分類(lèi)及定義 1 2 1 數(shù)列極限及其定義 1 2 2 函數(shù)極限及其定義 2 3 極限的計(jì)算與證明方法 2 3 1 利用極限的定義求極限 2 3 2 利用三個(gè)準(zhǔn)則求極限 3 3 3 利用柯西收斂準(zhǔn)則求極限 5 3 4 利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 6 3 5 利用兩個(gè)重要極限公式求極限 7 3 6 利用單側(cè)極限求極限 8 3 7 利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限 8 3 8 利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限 9 3 9 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 9 3 10 利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求極限 11 3 11 利用中值定理求極限 12 3 12 洛必達(dá)法則求極限 14 II 3 13 利用泰勒展開(kāi)式求極限 17 3 14 利用定積分求和式的極限 18 3 15 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 19 4 結(jié)束語(yǔ) 20 參考文獻(xiàn) 20 英文摘要 關(guān)鍵詞 IV III 極限的計(jì)算與證明方法 河北師范大學(xué)匯華學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè) 指導(dǎo)教師 XXX 作者 XXX 摘要 本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的十五種方法 1 利用函數(shù)的定義求極 限 2 利用三個(gè)準(zhǔn)則求極限 3 利用柯西收斂準(zhǔn)則求極限 4 利用極限的四則 運(yùn)算性質(zhì)求極限 5 利用兩個(gè)重要極限公式求極限 6 利用單側(cè)極限求極限 7 利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限 8 利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限 9 利用函數(shù) 的連續(xù)性求極限 10 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 11 利用中值定理求極限 12 利 用定積分求和式的極限 13 利用洛必達(dá)法則求極限 14 利用泰勒展開(kāi)式求極限 15 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 關(guān)鍵詞 極限 極限的分類(lèi) 極限的計(jì)算方法 0 1 緒論 數(shù)學(xué)分析就是將函數(shù)作為研究對(duì)象 將極限理論及其方法作為基本方法 并且把 微積分學(xué)作為其主要內(nèi)容的一門(mén)學(xué)科 而極限理論及其方法在這門(mén)課程中又占有著極 其重要的地位 極限思想是微積分中的最基本的一種思想 數(shù)學(xué)分析中的大量的深層 次理論及相關(guān)應(yīng)用都是極限的不斷延拓和深化 而其中的一系列重要概念 例如導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的連續(xù)性以及定積分等等都需要借助極限來(lái)定義 假若有人要問(wèn) 數(shù)學(xué)分析到 底是一門(mén)什么樣的學(xué)科 那么我們可以概括地說(shuō) 數(shù)學(xué)分析便是將極限思想作為 基本工具對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究的的一門(mén)學(xué)科 極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想 數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ) 極限 理論 包括級(jí)數(shù) 為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科 極限一直是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè) 重點(diǎn)內(nèi)容 極限主要可分為數(shù)列極限和函數(shù)極限兩大類(lèi) 而極限的計(jì)算與證明方法又 可謂是多種多樣 通過(guò)歸納和總結(jié) 我們可以知道求極限的最基本的方法還是利用極 限的定義 同時(shí)也要注意兩個(gè)重要極限的運(yùn)用 也可以利用數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則 計(jì)算 迫斂性和單調(diào)有界準(zhǔn)則是很重要的定理 在解題的時(shí)候要重點(diǎn)注意運(yùn)用 泰勒 公式 洛必達(dá)法則等則是針對(duì)某些特殊的情形而言的 極限理論的建立 不僅將長(zhǎng)期以來(lái)微積分所帶有的神秘性消除了 而且在數(shù)學(xué)思 想上和解題方法上深刻的影響并且促進(jìn)了近代數(shù)學(xué)的快速發(fā)展 成為了生產(chǎn)以及科學(xué) 技術(shù)中的有力工具 所謂的極限思想 就是運(yùn)用極限概念對(duì)一系列問(wèn)題進(jìn)行分析并作 出進(jìn)一步的解決的一種數(shù)學(xué)思想 由此 極限運(yùn)算也就成為了學(xué)習(xí)數(shù)分過(guò)程中的最基 本的運(yùn)算 極限的定義又是高度抽象的 這就使得我們不能完全利用其基本的定義來(lái)解決所有有 關(guān)問(wèn)題 而又因?yàn)闃O限的運(yùn)算分布于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的始終 所以 對(duì)于極限的相關(guān)計(jì) 算方法和證明方法便顯得尤為重要 2 極限的分類(lèi)及定義 2 1 數(shù)列極限及其定義 定義 設(shè)為數(shù)列 為定數(shù) 若對(duì)任給的正數(shù) 總存在正整數(shù) 使得當(dāng) n aa N 時(shí)有Nn aan 則稱(chēng)數(shù)列收斂于 定數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的極限 并記作 n aaa n a 或 aan n lim naan 讀作 當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí) 的極限等于或趨于 n n aa n aa 1 注 以上定義常稱(chēng)為數(shù)列極限的定義 N 2 2 函數(shù)極限及其定義 定義 設(shè)為定義在上的函數(shù) 為定數(shù) 若對(duì)任給的 存在正數(shù)f aA0 M 使得當(dāng)時(shí)有 aMx Axf 則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限 記作fx A 或 Axf x limAxf x 3 極限的計(jì)算與證明方法 3 1 利用極限的定義求極限 利用極限的定義求極限是一種最根本的求極限的方法 例 1 利用極限的定義證明下題 1 2 0 0 lim a n an n n n n lim 證 1 對(duì)于任意 都要找到 使得當(dāng)時(shí) 0 NNn 1 1 0 n a n a nn 分析不等式 1 1 的左端 分子為個(gè)數(shù)的乘積 分母為的乘積 隨著不斷的nan 2 1 n 增大 分子上的因子永遠(yuǎn)是數(shù) 而分母的因子會(huì)越來(lái)越大 因此不等式左端隨著的an 增大 會(huì)越來(lái)越小 而且有 1 1 nn x n a x 由于為一個(gè)正常數(shù) 故存在著正整數(shù) 使得a 1 N 1 1 N a 則當(dāng)時(shí) 并且 1 Nn n a N a xx Nn 1 1 1 2 n a xx Nn 1 0 由此 若想使 1 1 成立 只需 1 2 n a xN 1 成立即可 取 則當(dāng)時(shí) 式 1 2 成立 即式 1 1 也成立 可得 1 2N x a N 2 max 1N Nn 0lim n n x 2 要證 只需對(duì)任意 可以找到 使得當(dāng)時(shí) n n n lim0 MNNn 1 3 1 n M Mn n n 故知 即對(duì)于 是能夠找到 使得當(dāng)時(shí) 式 1 3 成立 0 lim n M n 1 NNn 例 2 證明 這里設(shè)是一個(gè)正數(shù) 0 1 lim n n a 證 由于 nn 1 0 1 因此 對(duì)于任意的 只需取 則當(dāng)時(shí) 便有0 1 1 1 NNn 即 Nn 11 0 1 n 這就證明了 0 1 lim n n 3 2 利用三個(gè)準(zhǔn)則求極限 3 2 1 迫斂性 夾逼準(zhǔn)則 定義 設(shè)收斂數(shù)列和數(shù)列都是以為極限的 且數(shù)列滿足 存在正數(shù) n a n ba n c 當(dāng)時(shí)有 0 N 0 Nn nnn bca 則數(shù)列收斂 且 n cacn n lim 3 例 1 求數(shù)列的極限 n n 解 設(shè) 此處 n n n hna 1 10 nhn 則有如下式 2 2 1 1 n n n h nn hn 由上可得 1 1 2 0 n n hn 因此有 1 2 111 n ha nn 1 1 數(shù)列總是收斂于 1 的 由于對(duì)任意給出的 我們?nèi)?1 2 1 n 0 2 2 1 N 則當(dāng)時(shí)便有 Nn 1 1 2 1 n 于是 不等式 1 1 的左極限和右極限都為 1 故由迫斂性得到 1lim n n n 3 2 2 單調(diào)有界準(zhǔn)則 定理 在實(shí)數(shù)系中 有界的單調(diào)數(shù)列必有極限 例 2 證明數(shù)列 222 22 2 個(gè)根號(hào)n 是收斂的 并且求出其極限 證 設(shè) 我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列是遞增的 現(xiàn)在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸222 n a n a 納法來(lái)證明數(shù)列有上界 n a 顯然有 22 1 a 設(shè) 則有 因此對(duì)一切都有 即數(shù)列2 n a2222 1 nn aan2 n a 有上界 n a 故由以上定理知 數(shù)列是有極限的 并且可記其為 又由于 n aa 4 nn aa 2 2 1 對(duì)上式的左右兩邊取極限可得 即有aa 2 2 解得 021 aa21 aa或 由保不等式性可知 是不可能的 故有1 a 2222lim n 3 3 利用柯西 Cauchy 收斂準(zhǔn)則求極限 定理 柯西收斂準(zhǔn)則 數(shù)列收斂的充要條件是 對(duì)任給的 存在正整數(shù) n a0 使得當(dāng)時(shí)有NNmn mn aa 以上定理從理論上可以完全地解決數(shù)列極限其存在性問(wèn)題 我們稱(chēng)柯西收斂準(zhǔn)則的條件其為柯西條件 它同時(shí)反映了這樣一個(gè)事實(shí) 收斂數(shù) 列各項(xiàng)的值越是到后面 彼此就越是接近 以至于充分后面的任意兩項(xiàng)差的絕對(duì)值可 小于預(yù)先所給定的任意小的正數(shù) 另外 柯西收斂準(zhǔn)則把定義中的與的關(guān)系N n aa 轉(zhuǎn)換成了與的關(guān)系 這樣的好處在于不需要借助數(shù)列以外的數(shù) 僅僅需要根據(jù) n a m aa 這個(gè)數(shù)列本身的特征便能夠鑒別其斂散性 例 取數(shù)列 并且設(shè) 證明存在 并 n x0 0 x n n x x 2 1 1 2 1 0n n n x lim 求出其極限值 證 因?yàn)?由數(shù)學(xué)歸納法我們可知0 0 x 2 1 2 1 0 1 1 x x 2 1 0 n x 2 1 0 n 對(duì)于任意的 有p 11 2 1 2 1 npn npn xx xx 11 11 11 4 1 2 2 npn npn npn xx xx xx 5 33 3 22 2 4 1 4 1 npnnpn xxxx 0 4 1 xxp n 00 2 1 4 1 4 1 xxx n p n 因?yàn)? 2 1 4 1 lim 0 x n n 所以對(duì)于任給的 存在一個(gè)正整數(shù) 使得當(dāng)時(shí) 對(duì)任意的 有0 NNn p 0 2 1 4 1 xxx n npn 由以上定理可知數(shù)列收斂 n x 再設(shè) 對(duì)等式的兩邊取極限可得 且解得 xxn n lim n n x x 2 1 1 x x 2 1 21 x 由保不等式性可取 21 x 故 21lim n n x 3 4 利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 定理 四則運(yùn)算法則 若與為收斂數(shù)列 則也都 n a n b nnnnnn bababa 是收斂數(shù)列 且有 n n n n nn n baba limlimlim n n n n nn n baba limlimlim 特別當(dāng)為常數(shù) 時(shí)有 n bc n n n n n n n n accacaca limlim lim lim 若再假設(shè)及 則也是收斂數(shù)列 且有0 n b0lim n n b nn ba 6 n n n n n n n b a b a lim lim lim 例 1 求 lim 01 1 1 01 1 1 bnbnbnb ananana k k k k m m m m n 其中 0 0 km bakm 解 用同時(shí)乘以到分子分母后 所求的極限式可化為 k n lim 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 kk kk kkkm m km m n nbnbnbb nananana 當(dāng)時(shí) 我們有 那么 當(dāng)時(shí) 上式除了分子分母的首項(xiàng)分別為0 a0lim n n km 和外 其余的各項(xiàng)極限都是 0 因此所求的極限就等于 而當(dāng)時(shí) 又由 m a k b m m b a km 于 因此所求的極限等于 0 綜上可得 km n 0 0 n mk mk b a bnbnbnb ananana m m k k k k m m m m n 0 lim 01 1 1 01 1 1 例 2 求下列極限 1 2 12 1 lim 2 2 1 xx x x 2 321 lim 4 x x x 解 1 12 1 1 1 lim 12 1 lim 1 2 2 1 xx xx xx x xx 12 1 lim 1 x x x 3 2 2 4 4 2 321 2 lim 2 321 lim 44 x x x x x x xx 321 2 2 lim 4 x x x 7 3 4 3 5 利用兩個(gè)重要極限公式求極限 3 5 1 極限公式 1 sin lim 0 x x x 例 1 求 2 0 cos1 lim x x x 解 2 0 2 0 2 2 sin 2 1 lim cos1 lim x x x x xx 2 1 3 5 2 極限公式 e x x x 1 1lim 例 2 求 x x x 1 0 21lim 解 2 2 1 2 1 0 1 0 2121lim21limexxx xx x x x 注 在這一類(lèi)型的習(xí)題中 一般是不能直接應(yīng)用以上公式的 而是需要通過(guò)恒等 變形做出化簡(jiǎn)后才可再利用公式進(jìn)行運(yùn)算 3 6 利用單側(cè)極限求極限 這種方法常常用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限 首先要考慮分段點(diǎn)的左 右極 限 若左 右極限都存在并且相等 則該函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限就存在 否則極限不 存在 例 已知函數(shù) 求其在點(diǎn)處的左右極限 0 1 sin 0 1 2 x x x xx xf 0 解 在的右極限為 0 x1 1 sinlim 0 x x x 8 在的左極限為 0 x1 1 sinlim 0 x x x 因此 1 lim lim 00 xfxf xx 故有 1 lim 0 xf x 3 7 利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限 無(wú)窮小量的性質(zhì) 無(wú)窮小量與有界量的乘積還是無(wú)窮小量 即如果 g x 在某區(qū)間有界 那么 0 lim 0 xf xx 0000 xxxx 0 lim 0 xgxf xx 這種方法可以解決一個(gè)函數(shù)不存在但是有界 和另一個(gè)極限為零的函數(shù)的極限的 乘積的問(wèn)題 例 求 x x x 1 sinlim 2 0 解 因?yàn)楫?dāng)時(shí) 是無(wú)窮小量 為有界量 0 x 2 x x 1 sin 所以由以上性質(zhì)可得 0 1 sinlim 2 0 x x x 3 8 利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限 定義 等價(jià)無(wú)窮小量 若 則稱(chēng)是當(dāng)時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小量 1 lim 0 xg xf xx g與f 0 xx 記作 0 xxxgxf 例 利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求以下極限 3 0 sin sintan lim x xx x 解 因?yàn)?cos1 tan sin sintanx x x xx 從而 0 sin 0 2 cos1 0 sin 33 2 xxxx x xxxx 故有 9 2 1 cos 1 lim sin sintan lim 3 2 0 3 0 2 x x xx xx x xx 注 在應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小量的代換求極限時(shí) 我們應(yīng)注意 只有對(duì)所求的極限式中 相乘或者相除的因式 才能夠應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換 而對(duì)極限式中的相加或相減 的部分 則不能夠隨便替換 3 9 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 定理 若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù) 在點(diǎn)連續(xù) 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)f 0 xg 0 u 00 xfu gf 連續(xù) 0 x 注 根據(jù)連續(xù)性定義 上述定理的結(jié)論又可表為 1 1 lim lim 0 00 xfgxfgxfg xxxx 例 1 求 1sin lim 2 1 x x 解 我們將看作是函數(shù)的復(fù)合 1sin 2 x 2 1 sin xxfuug 與 由 1 1 式得 00sin 1 limsin 1sin lim 2 1 2 1 xx xx 注 如果復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)在當(dāng)時(shí)其極限為 而或是函gf f 0 xx a 0 xfa 數(shù)在點(diǎn)處無(wú)定義 即為的可去間斷點(diǎn) 又知外函數(shù)在連續(xù) 那么我們f 0 x 0 xfgau 仍舊可以應(yīng)用上述的定理來(lái)求解復(fù)合函數(shù)的極限 即有 1 2 lim lim 00 xfgxfg xxxx 1 2 式不僅對(duì)這種類(lèi)型的極限成立 而且對(duì)于等類(lèi)型 0 xx 0 xxxx或 的極限也是成立的 例 2 求極限 1 2 x x x sin 2lim 0 x x x sin 2lim 解 1 112 sin lim2 sin 2lim 00 x x x x xx 2 202 sin lim2 sin 2lim x x x x xx 10 例 3 函數(shù)在區(qū)間上是一致連續(xù)的 又對(duì)于 f 0 1 0 x0 lim nxf n 為正整數(shù) 證明 n0 lim xf x 證 函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù) 指的是對(duì)于任意給出的 都存在 f 00 0 且當(dāng)時(shí) 0 21 xx 21 xx 1 1 21 xfxf 我們需要證明的是 存在 當(dāng)時(shí) MMx 1 2 Cxf 可以是某一個(gè)常數(shù) C 又由題設(shè)知對(duì)于任意的 都有 這表明了 1 0 x0 lim nxf n 存在使得當(dāng)時(shí) xN xNn 1 3 nxf 而問(wèn)題是是依賴(lài)于的 盡管當(dāng)時(shí) 而又能取遍 xNx 1 0 xNn nx 但不同的又存在不同的 還不能找到公共的 使不等式 1 2 成立 0 x xNM 不過(guò)式 1 1 表明 只要與的距離小于 式 1 1 便成立 可將等分成 1 x 2 x 1 0 使得 0 21n xxx 1kk xx 則在分別存在時(shí) 2 1 021 0 nkNnNNN kn 4 nxf k 取 則當(dāng)時(shí) 式 1 4 對(duì)于成立 max 0 21n NNNN Nn 0 2 1nk 如此 對(duì)任意時(shí) 存在使 x 1 0 Nx 1 0 r rxx 及 0100 0 kkk xrxrxk 11 0 k xxfrxfrxfxf 1 5 2 0 k xxf 整理上述便可得 0 lim xf x 3 10 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義 若極限 xfy 0 x 1 1 0 0 lim 0 xx xfxf xx 存在 則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo) 并稱(chēng)該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 記作 f 0 xf 0 x 0 xf 令 則 1 式可改寫(xiě)為 000 xfxxfyxxx 1 2 limlim 0 00 00 xf x xfxxf x y xx 在這種方法的運(yùn)用過(guò)程中 首先要選好 然后把所求極限表示成在定點(diǎn)的ff 0 x 導(dǎo)數(shù) 例 求 xx x 2cot 2 lim 2 解 取 則xxf2tan 2 2 2tan 2tan lim 1 2 2tan lim 1 2cot 2 lim 2 2 2 x x x x xx x x x 2 2 2 2sec2 1 2 1 2 2 lim x xx fx fxf 2 1 3 11 利用中值定理求極限 3 11 1 微分中值定理 包括羅爾定理 拉格朗日定理 柯西定理 泰勒定理 12 1 羅爾 Rolle 定理 若函數(shù)滿足如下條件 f 1 在閉區(qū)間上連續(xù) f ba 2 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) f ba 3 bfaf 則在內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得 ba 1 1 0 f 2 拉格朗日 L