高三數(shù)列知識點(diǎn)與題型總結(jié)(文科).doc

數(shù)列考點(diǎn)總結(jié)第一部分 求數(shù)列的通項(xiàng)公式一、數(shù)列的相關(guān)概念與表示方法（見輔導(dǎo)書）二、求數(shù)列的通項(xiàng)公式四種基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列、等和數(shù)列、等積數(shù)列及其廣義形式。等差數(shù)列、等比數(shù)列的求通項(xiàng)公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的最基本方法。求數(shù)列通項(xiàng)的方法的基本思路是：把所求數(shù)列通過變形，代換轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列。 求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法是：累加法和累乘法。 一、累加法 1適用于： -這是廣義的等差數(shù)列 累加法是最基本的二個(gè)方法之一。若，則 兩邊分別相加得 例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)1.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：練習(xí)2.已知數(shù)列滿足，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：裂項(xiàng)求和 評注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。例3.已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.練習(xí)3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。二、累乘法 1、適用于： 累乘法是最基本的二個(gè)方法之二。若，則兩邊分別相乘得，例4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例5.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2， 3，），則它的通項(xiàng)公式是=_.三、待定系數(shù)法 適用于 基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。1形如,其中)型（1）若c=1時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列;（2）若d=0時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若時(shí)，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.待定系數(shù)法：設(shè),得,與題設(shè)比較系數(shù)得,所以所以有：因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列，所以 即：.規(guī)律：將遞推關(guān)系化為,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列從而求得通項(xiàng)公式逐項(xiàng)相減法（階差法）：有時(shí)我們從遞推關(guān)系中把n換成n-1有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式. ,再利用類型(1)即可求得通項(xiàng)公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.例6、已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2形如： (其中q是常數(shù)，且n0,1) 若p=1時(shí)，即：，累加即可.若時(shí)，即：，求通項(xiàng)方法有以下三種方向：i. 兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列即： ,令，則,然后類型1，累加求通項(xiàng).ii.兩邊同除以 . 目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。 即： ,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，iii.待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列設(shè).通過比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求pq，否則待定系數(shù)法會失效。例7、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 練習(xí)3.（2009陜西卷文）已知數(shù)列滿足， .令，證明：是等比數(shù)列；()求的通項(xiàng)公式。答案：（1）是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。（2）。總結(jié)：四種基本數(shù)列1形如型 等差數(shù)列的廣義形式，見累加法。2.形如型 等比數(shù)列的廣義形式，見累乘法。3.形如型（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過累加來求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減)得，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).4.形如型（1）若(p為常數(shù))，則數(shù)列為“等積數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過逐差法得，兩式相除后，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).例8. 數(shù)列滿足,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.例9. 已知數(shù)列,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.第二部分 數(shù)列求和一、公式法1如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，注意等比數(shù)列公比q的取值情況要分q1或q1.2一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(1)1234n；(2)13572n1n2；(3)24682nn2n.二、非等差、等比數(shù)列求和的常用方法1倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an，首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的2分組轉(zhuǎn)化求和法若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減3錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的4裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和小題能否全取1(2012沈陽六校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列(1)n的前n項(xiàng)和為Sn，則對任意正整數(shù)n，Sn()A.B.C. D.2等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1，其前n項(xiàng)的和為Sn，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為()A120 B70C75 D1003數(shù)列a12，ak2k，a1020共有十項(xiàng)，且其和為240，則a1aka10的值為()A31 B120C130 D1854若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為_5數(shù)列，的前n項(xiàng)和為_分組轉(zhuǎn)化法求和 例1等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和S2n.錯(cuò)位相減法求和 例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snkcnk(其中c，k為常數(shù))，且a24，a68a3.(1)求an；(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn.2已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn3nk.(1)求k的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足(4k)anbn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.Tn.裂項(xiàng)相消法求和 例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Snnann(n1)(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.3在等比數(shù)列an中，a10，nN*，且a3a28，又a1、a5的等比中項(xiàng)為16.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog4an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，是否存在正整數(shù)k，使得k對任意nN*恒成立若存在，求出正整數(shù)k的最小值；不存在，請說明理由【課后練習(xí)題】1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn26n，則|an|的前n項(xiàng)和Tn()A6nn2Bn26n18C. D.2若數(shù)列an滿足a12且anan12n2n1，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則log2(S2 0122)_.3已知遞增的等比數(shù)列an滿足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求Sn.4已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且a1，a3，a9成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列2an的前n項(xiàng)和Sn.Sn2n12.2設(shè)函數(shù)f(x)x3，在等差數(shù)列an中，a37，a1a2a312