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課時(shí)授課計(jì)劃副頁年月日 課課時(shí)授課計(jì)劃副頁頁年月日教學(xué)過程及授課內(nèi)容附注教學(xué)過程 一、本章提要1.基本概念瞬時(shí)速度，切線，導(dǎo)數(shù)，變化率，加速度，高階導(dǎo)數(shù)，線性主部，微分未定型,極值點(diǎn),駐點(diǎn),尖點(diǎn),可能極值點(diǎn),極值,最值,曲率,上凹,下凹,拐點(diǎn),漸近線,水平漸近線,鉛直漸近線2.基本公式基本導(dǎo)數(shù)表，求導(dǎo)法則，微分公式，微分法則，微分近似公式3.基本方法利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)；利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)；隱含數(shù)微分法；參數(shù)方程微分法；對(duì)數(shù)求導(dǎo)法；利用微分運(yùn)算法則求微分或?qū)?shù) （8）.用洛必達(dá)法則求未定型的極限； （9）.函數(shù)單調(diào)性的判定； （10）.單調(diào)區(qū)間的求法； （11）可能極值點(diǎn)的求法與極大值（或極小值）的求法； （12）連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值及最小值的求法； （13）求實(shí)際問題的最大（或最小）值的方法； （14）曲線的凹向及拐點(diǎn)的求法； （15）曲線的漸近線的求法； （16）一元函數(shù)圖像的描繪方法 二、要點(diǎn)解析問題1從瞬時(shí)速度出發(fā)論述導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義，并列舉一些常見變化率.解析對(duì)于作變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，若位移變量s與時(shí)間變量t之間的函數(shù)關(guān)系為)(t ss=，當(dāng)t從t變化到t t+時(shí)，在間隔t內(nèi)的平均速課課時(shí)授課計(jì)劃副頁頁年月日教學(xué)過程及授課內(nèi)容附注度為tt st t s?+)()(，此式只反映了在t點(diǎn)附近速度變化的快慢程度，即為t時(shí)刻速度的近似代替量，欲使其過渡到精確值，必須使0t，即t時(shí)刻瞬時(shí)速度為tt st tst vt?+=)()(lim)(0，也即瞬時(shí)速度反映函數(shù))(tss=在t時(shí)刻函數(shù)的變化率（導(dǎo)數(shù)），所以導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義表示函數(shù)在此點(diǎn)變化的快慢程度常見的變化率曲線)(x fy=的切線斜率xydd是縱坐標(biāo)y對(duì)橫坐標(biāo)x的變化率，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義；電流強(qiáng)度tQdd是電荷Q對(duì)時(shí)間t的變化率；線密度lmdd是質(zhì)量m對(duì)長度l的變化率；比熱容Qdd是熱量Q對(duì)溫度的變化率，以及人口出生率，經(jīng)濟(jì)增長率，化學(xué)反應(yīng)速度等等問題2討論函數(shù)的可導(dǎo)性及如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？解析1.我們知道，函數(shù)的連續(xù)性只是可導(dǎo)性的必要條件函數(shù))(x f在點(diǎn)0x處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù))(0x f?與右導(dǎo)數(shù))(0x f+存在并且相等，即)()()(000x f x f x f+?=因此，要判定一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)是否可導(dǎo)，可先檢查函數(shù)在該點(diǎn)是否連續(xù)，如果不連續(xù)，就一定不可導(dǎo)，如果連續(xù)，再用下面兩種方法判定直接用定義；求左、右導(dǎo)數(shù)看其是否存在而且相等當(dāng)然，也可以不先檢查連續(xù)性而直接用兩種方法判定，但對(duì)于不連續(xù)函數(shù)，先檢查連續(xù)性往往比較方便2.由于在科學(xué)技術(shù)和工程中所遇到的函數(shù)大多是初等函數(shù)因此，我們把求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作為求導(dǎo)的重點(diǎn)先是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求出課課時(shí)授課計(jì)劃副頁頁年月日教學(xué)過程及授課內(nèi)容附注了幾個(gè)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)然后再用定義推出了幾個(gè)主要的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與反函數(shù)的求導(dǎo)法則借助于這些法則和上述的幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求出了其余的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式在此基礎(chǔ)上解決了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)問題下面是我們解決這個(gè)問題的思路導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式還需指出的是關(guān)于分段函數(shù)在分界點(diǎn)的求導(dǎo)問題例如，有一定義于),(+?的函數(shù)?+=1,1,1)(2x xxxx f，在1=x處的導(dǎo)數(shù)不存在因?yàn)?)2(lim1)1(lim)1()1(lim)1(0200=+=?+=?+=?xxxxf x ffx x x，1)11(lim111lim)1()1(lim)1(000?=+?=?+=?+=+x xxxf x ffx x x，所以)1(f不存在問題3為什么說復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法是函數(shù)求導(dǎo)的核心？復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的關(guān)鍵是什么？解析復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法是函數(shù)求導(dǎo)的核心在于利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可以解決復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題，而且還是隱含數(shù)求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程求導(dǎo)法等的基礎(chǔ)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的關(guān)鍵是將一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù)分解成幾個(gè)比較課課時(shí)授課計(jì)劃副頁頁年月日教學(xué)過程及授課內(nèi)容附注簡單的函數(shù)的復(fù)合形式.在分解過程中關(guān)鍵是正確的設(shè)置中間變量，就是由表及里一步步地設(shè)置中間變量，使分解后的函數(shù)成為基本初等函數(shù)或易于求導(dǎo)的初等函數(shù)，最后逐一求導(dǎo)求導(dǎo)時(shí)要分清是對(duì)中間變量還是對(duì)自變量求導(dǎo)，對(duì)中間變量求導(dǎo)后，切記要乘以該中間變量對(duì)下一個(gè)中間變量（或自變量）的導(dǎo)數(shù)當(dāng)熟練掌握該方法后，函數(shù)分解過程可不必寫出問題4如何根據(jù)曲線的幾何形狀及導(dǎo)數(shù)的幾何意義記憶曲線凹向的判別法則？解析掌握曲線的凹向判定準(zhǔn)則關(guān)鍵是要掌握二階導(dǎo)數(shù)f x()的符號(hào)與曲線凹向的具體聯(lián)系為此,可先在紙上畫一條有確定凹向的曲線弧,比如下凹曲線?。ㄈ缬覉D），然后,在其上作兩條切線當(dāng)x逐漸增大時(shí),觀察其上各點(diǎn)切線斜率f x()的變化規(guī)律不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)21x x=,即一階導(dǎo)數(shù)f x()單減,所以,()0ddxx f,即0)(x f這就是說,若曲線弧是下凹曲線弧,則有0)(+=,0,0,e)(x bx axx fx當(dāng)b a,為何值時(shí)，)(x f在0=x處連續(xù)且可導(dǎo).解解因?yàn)閍 bxa x fx fx xxx x=+=+?)(lim)(lim,1e lim)(lim0000，所以欲使)(x f在0=x處連續(xù)，須有)0()(lim)(lim00fx fx fx x=+?，由此解得1=a，又11elim)0()(lim)0(00=?=?=?x xfx ffxx x，bxbxxf x ffx x=?+=?=+1)1(lim)0()(lim)0(00，要使)0(f存在，則1=b故當(dāng)1=b a時(shí)，)(xf在0=x處連續(xù)且可導(dǎo)例3設(shè)函數(shù))(u?可微，求函數(shù))(sin ln2x y?=的微分y d解一解一因?yàn)閤 x xxy cos)(sin)(sin2)(sin12?=，所以xxx x xy d)(sincos)(sin)(sin2d2?=解二由一階微分形式不變性得)(sin d)(sin2)(sin1)(sin d)(sin1d222x xxxxy?=?=xxx x xx xxxd)(sincos)(sin)(sin2)(sin d)(sin)(sin)(sin222?=?=課課時(shí)授課計(jì)劃副頁頁年月日教學(xué)過程及授課內(nèi)容附注例4設(shè)x x x xf5sin3sin sin)(=，求)0(f.解一利用乘積求導(dǎo)法則x x x x x x x x x xf5cos3sin sin55sin3cos sin35sin3sin cos)(+=.繼續(xù)用乘積求導(dǎo)法則求導(dǎo)得+?=x x x x x x xf5sin3cos sin305sin3sin sin35)(x x x x x x5sin3cos cos65cos3sin cos10+，所以0)0(=f解二對(duì)函數(shù)先用和差化積公式得)8cos2(cos sin)21(5sin3sin sin)(x x xxxxxf?=)9sin7sin3sin sin)(41(xxxx?+?=，)9cos97cos73cos3cos)(41()(xxxxxf?+?=，)9sin817sin493sin9)(sin41()(xxxxxf+?=，所以0)0(=f解三利用“可導(dǎo)的奇（偶）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為偶（奇）函數(shù)”.由)(xf為奇函數(shù)知)(xf為偶函數(shù)，)(xf為奇函數(shù)，又因?yàn)槠婧瘮?shù)在0=x處函數(shù)值為零，知0)0(=f.比較上述方法知解三較優(yōu).6例6已知擺線的參數(shù)方程?=?=,)cos1(,)sin(t ayt t ax求22ddxy解一利用參數(shù)方程求導(dǎo)法求導(dǎo)課課時(shí)授課計(jì)劃副頁頁年月日教學(xué)過程及授課內(nèi)容附注ttt t at axycos1sin)sin()cos1(dd?=?=，)cos1 (1)cos1(sin sin)cos1(cosdd)cos1sin(dd)dd(dddd222tatt t t ttxtttxyxxy?=?=2)cos1(1ta?=解二利用導(dǎo)數(shù)為微分之商求得ttt tat taxycos1sind)cos1(d sindd?=?=，22222)cos1(1d)cos1()cos1(d sinsin)cos1(d cos)cos1(d)dd(dddt attatt tttt ttxxyxy?=?=例7求由xyy x=確定的)(xfy=在()1,1處的切線方程.解解方程兩邊取對(duì)數(shù)，得yxxyln1ln1=，即y y xxln ln=，方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得1ln1ln yyyy yxxx?+=?+，于是，yxyln1ln1+=，1)1,1(=y所以，切線方程為11?=?x y，即0=?x y課課時(shí)授課計(jì)劃副頁頁年月日教學(xué)過程及授課內(nèi)容附注例8設(shè)有一深為18cm，頂部直徑為12cm的正圓錐形漏斗裝滿水，下面接一直徑為10cm的圓柱形水桶（如圖所示），水由漏斗流入桶內(nèi)，當(dāng)漏斗中水深為12cm，水面下降速度為1cm/s時(shí)，求桶中水面上升的速度.解設(shè)在時(shí)刻t漏斗中水面的高度)(t hh=，漏斗在高為)(t h處的截面半徑為)(t r，桶中水面高度)(t HH=.建立變量h與H的關(guān)系，由于在任意時(shí)刻t，漏斗中的水與水桶中的水量之和應(yīng)等于開始時(shí)裝滿漏斗的總水量，則6)(5)()()3(322=+t Ht ht r，又因18) (6)(t ht r=，所以)()31()(t ht r=，代入上式得6)(25)()27(33=+t Ht h)(t h與)(t H之間的關(guān)系將上式兩邊對(duì)t求導(dǎo)得0)(25)()()9(2=+t Ht ht h，所以)(259)()(2t ht ht H?=，由已知，當(dāng)cm12)(=t h時(shí)，s cm1)(?=t h，代入上式得) (2516)1 (25912)(2s cm=?=t H，因此，當(dāng)漏斗中水深為cm12，水面下降速度為s cm1時(shí)，)(t H)(th課課時(shí)授課計(jì)劃副頁頁年月日教學(xué)過程及授課內(nèi)容附注桶中水面上升速度為s cm2516.例9求出函數(shù)22ln)(xxxf?=的單調(diào)區(qū)間解因?yàn)?2ln)(xxxf?=在其定義域()()?+,00?內(nèi)連續(xù)又因?yàn)楫?dāng)()()+?,00,?x時(shí),有()xx xxxxxxxf)1)(1 (2)1(221222+?=?=?=令fx()=0,得)(xf的單調(diào)區(qū)間的可能分界點(diǎn):11?=x,12=x,用它們將)(xf的定義域分為幾個(gè)小區(qū)間)1,(?,)0,1(?,)1,0(,),1(+列表討論fx()在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)的符號(hào),并判定函數(shù))(xf在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的增減性如下x)1,(?)0,1(?)1,0()xf+)(xf注表中用“”表示單減,用“”表示單增.因此)(xf的單增區(qū)間有)0,1(?和),1(+,)(xf的單減區(qū)間有)1,(?和)1,0(課課時(shí)授課計(jì)劃副頁頁年月日教學(xué)過程及授課內(nèi)容附注例10已知bx axxxf+=23)(在x處有極值12,試確定常系數(shù)a與b解因?yàn)閎xaxxxf+=23)(,所以b axxxf+=23)(2，因?yàn)?2)1(?=f為極值點(diǎn),所以0)1(=f,即023=+b a，由12)1(?=f,得121?=+b a，解由與組成的方程組，得23,10?=b a例11由曲線2x y=,x軸和直線16=x圍成一曲邊三角形OAB，在曲邊OB上求一點(diǎn),使過此點(diǎn)的切線與x軸和直線16=x圍成的三角形MAN面積最大,并求出其最大面積解曲線2x y=上點(diǎn)),(y x處的切線斜率x y2=，設(shè)),(Y X為曲線2x y=上點(diǎn)),(y x處的切線上任一點(diǎn)之坐標(biāo)，于是曲線2x y=上點(diǎn)),(yx處的切線方程為)(2x XxyY?=?，即)(22x Xxx Y?=?將16=X代入式,得切線與直線AB的交點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2232)16(2xxxxxY?=