2005年湖南省數學競賽試卷.doc

2005年湖南省數學競賽試卷考生注意：1.本試卷共三大題（19個小題），全卷滿分150分。2.用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答。3.解題書寫不要超出裝訂線。4.不能使用計算器。一、 選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1命題甲：；命題乙：，則命題甲是命題乙的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件2，如果圓至少覆蓋函數的一個最大點和一個最小點，則正整數的最小值為（ ） A B C D 3如果橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數列，則其離心率為（ ）A B C D 4對于 函數，則它是周期函數，這類函數的最小正周期是（ ）A B C D5函數的圖象為，而關于直線對稱的圖象為，將向左平移1個單后得到的圖象為，則所對應的函數為（ ）A B C D6當是兩個不相等的正數時，下列不等式中不成立的是（ ） A B C D 7記，若，則的值為（ ） A B C D 8某個貨場有2005輛車排隊等待裝貨，要求第一輛車必須裝9箱貨物，每相鄰的4輛車裝的貨物總數為34箱，為滿足上述要求，至少應該有貨物的箱數是（ ）A B C D 9若干個棱長為2、3、5的長方體，依相同方向拼成棱長為90的正方體，則正方體的一條對角線貫穿的小長方體的個數是（ ）A B C D10一套重要資料鎖在一個保險柜中，現有把鑰匙依次分給名學生依次開柜，但其中只有一把真的可以打開柜門，平均來說打開柜門需要試開的次數為（ ）A B C D 二、填空題：(本小題共4小題，每小題6分，共24分，把答案填在題中橫線上)11設，對于函數滿足條件，那么對所有的，_;12一張坐標紙對折一次后，點與點重疊，若點與點重疊，則_;13一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為，則這個球的體積為_;14集合中的元素是正整數，且有性質：若，這樣的集合共有_個。三、解答題：（本大題5小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）15（本小題滿分12分）數列滿足，試求的值。16（本小題滿分12分）已知是面積為1的三角形的 邊上的任意一點，是邊上任意一點，連結，是線段上的任意一點，設且，試求三角形的面積的最大值。17（本小題滿分12分）過點作一條直線和分別相交于兩點，試求的最大值。（其中為坐標原點）18（本小題滿分16分）若正數滿足求證19（本小題滿分14分）從岳陽到郴州的快速列車包括起始和終點共有六站，將這六站分別記為A,B,C,D,E,F,有一天張兵和其他18位旅客乘同一車廂離開岳陽，這些人中有些是湖北人，其他的是湖南人，認識所有同車廂旅客的張兵觀測到：除了終點站，在每一站，當火車到達時這節(jié)車廂上的湖南人的數目與下車旅客的數目相同，且這次行程中沒有新的旅客進入這節(jié)車廂。張兵又進一步觀測到，當火車離開車站時，車廂內有12名旅客；當火車離開車站時，還有7名旅客在這一車廂內；當他準備在站下車時，還有5名旅客在這一車廂內。試問開始時火車的這一節(jié)車廂有多少湖北人，有多少湖南人？且在旅途中這些數目如何變化？2005年湖南省數學競賽試卷（參考答案）一：選擇題1 B 提示：從原命題的等價命題逆否命題來考慮2 B 提示：因為為奇函數，圖象關于原點對稱，所以圓只要覆蓋的一個最值點即可，令，解得距原點最近的一個最大點，由題意得正整數的最小值為23C 提示：由，消去得，所以4. D 提示：將代替式中的，則有于是，可得，所以5B 提示：,6. B 提示：當時，而7C 提示：令，則答案為48A 提示：設第輛車裝貨物箱，由題意得：，實際象以4為周期的數列，答案為9B 提示：由2，3，5的最小公倍數為30，由2，3，5組成的棱長為30的正方體的一條對角線穿過的長方體為整數個，所以由2。3。5組成棱長為90的正方體的一條對角線穿國的小長方體的個數應為3的倍數，故答案為B10C 提示：當=2時，打開柜門需要的次數為，故答案為C 或已知每一位學生打開柜門的概率為，所以打開柜門次數的平均數（即數學期望）為，故答案為C 二、 填空題：11用換元法可得12可解得對稱軸方程為，由得，所以13，提示：可把正四面體變?yōu)檎襟w的內接正四面體，此時正方體的棱長為于是球的半徑為，1463個 提示：記，故滿足條件的集合為個三、 解答題：15解：因為，所以所以，故16解：連結，則三角形的面積為由均值不等式，得，當且僅當即時等號成立，所以三角形的面積的最大值為。17解：過點作一圓與軸、軸分別相切于點A、B，且使點在優(yōu)弧AB上，則圓的方程為，于是過點作圓的切線和軸、軸分別相交于兩點，圓為的內切圓，故若過點的直線不和圓相切，則作圓的平行于的切線和軸、軸分別相交于兩點，則由折線的長大于的長及切線長定理，得所以，的最大值為6。18證明：由條件，有，令；則，從而原條件可化為： 令則，解得，故19解：由條件得在B站有7人下車，即19個旅客中有7個湖南人，在E站有2人下車，即在DE途中有2位湖南人，CD中至少有2位湖南人，在D站至少有2人下車，所以C站后車廂內至少有9個人，又因為，所以BC途