小學(xué)奧數(shù)—抽屜原理講解.doc

小學(xué)奧數(shù)抽屜原理（一）抽屜原理1將多于n件物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于2件。抽屜原理2將多于mn件物品任意放到到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于（m+1）件。例1 五年級(jí)有47名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)都是整數(shù)，滿分是100分。已知3名學(xué)生的成績(jī)?cè)?0分以下，其余學(xué)生的成績(jī)均在7595分之間。問：至少有幾名學(xué)生的成績(jī)相同？【分析與解答】 關(guān)鍵是構(gòu)造合適的抽屜。既然是問“至少有幾名學(xué)生的成績(jī)相同”，說明應(yīng)以成績(jī)?yōu)槌閷?，學(xué)生為物品。除3名成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生外，其余成績(jī)均在7595分之間，7595共有21個(gè)不同分?jǐn)?shù)，將這21個(gè)分?jǐn)?shù)作為21個(gè)抽屜，把47-3=44（個(gè)）學(xué)生作為物品。4421= 22，根據(jù)抽屜原理2，至少有1個(gè)抽屜至少有3件物品，即這47名學(xué)生中至少有3名學(xué)生的成績(jī)是相同的。例2 夏令營組織2000名營員活動(dòng)，其中有爬山、參觀博物館和到海灘游玩三個(gè)項(xiàng)目。規(guī)定每人必須參加一項(xiàng)或兩項(xiàng)活動(dòng)。那么至少有幾名營員參加的活動(dòng)項(xiàng)目完全相同？【分析與解答】 本題的抽屜不是那么明顯，因?yàn)閱柕氖恰爸辽儆袔酌麪I員參加的活動(dòng)項(xiàng)目完全相同”，所以應(yīng)該把活動(dòng)項(xiàng)目當(dāng)成抽屜，營員當(dāng)成物品。營員數(shù)已經(jīng)有了，現(xiàn)在的問題是應(yīng)當(dāng)搞清有多少個(gè)抽屜。因?yàn)椤懊咳吮仨殔⒓右豁?xiàng)或兩項(xiàng)活動(dòng)”，共有3項(xiàng)活動(dòng)，所以只參加一項(xiàng)活動(dòng)的有3種情況，參加兩項(xiàng)活動(dòng)的有爬山與參觀、爬山與海灘游玩、參觀與海灘游玩3種情況，所以共有3+3=6（個(gè)）抽屜。20006=3332，根據(jù)抽屜原理2，至少有一個(gè)抽屜中有333+1=334（件）物品，即至少有334名營員參加的活動(dòng)項(xiàng)目是相同的。例3把125本書分給五（2）班學(xué)生，如果其中至少有1人分到至少4本書，那么，這個(gè)班最多有多少人？【分析與解答】 這道題一下子不容易理解，我們將它變變形式。因?yàn)槭前褧纸o學(xué)生，所以學(xué)生是抽屜，書是物品。本題可以變?yōu)椋?25件物品放入若干個(gè)抽屜，無論怎樣放，至少有一個(gè)抽屜中放有4件物品，求最多有幾個(gè)抽屜。這個(gè)問題的條件與結(jié)論與抽屜原理2正好相反，所以反著用抽屜原理2即可。由1255（4-1）412知，125件物品放入41個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜有不少于4件物品。也就是說這個(gè)班最多有41人。同學(xué)們想一想，如果有42個(gè)人，還能保證至少有一人分到至少4本書嗎？例4五（1）班張老師在一次數(shù)學(xué)課上出了兩道題，規(guī)定每道題做對(duì)得2分，沒做得1分，做錯(cuò)得0分。張老師說：可以肯定全班同學(xué)中至少有6名學(xué)生各題的得分都相同。那么，這個(gè)班最少有多少人？【分析與解答】 由“至少有6名學(xué)生各題的得分都相同”看出，應(yīng)該以各題得分情況為抽屜，學(xué)生為物品。如果用（a，b）表示各題的得分情況，其中a，b分別表示第一、二題的得分，那么有（2，2），（2，1），（2，0），（1，2），（1，1），（1，0），（0，2），（0，1），（0，0）9種情況，即有9個(gè)抽屜。本題變?yōu)椋阂阎?個(gè)抽屜中至少有一個(gè)抽屜至少有6件物品，求至少有多少件物品。反著用抽屜原理2，得到至少有9（61）+1=46(人)。例5任意將若干個(gè)小朋友分為五組。證明：一定有這樣的兩組，兩組中的男孩總數(shù)與女孩總數(shù)都是偶數(shù)?！痉治雠c解答】 因?yàn)橐唤M中的男孩人數(shù)與女孩人數(shù)的奇偶性只有下面四種情況：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）。將這四種情況作為4個(gè)抽屜，五組作為5件物品，由抽屜原理1知，至少有一個(gè)抽屜中有兩件物品。即這五組中至少有兩組的情況相同，將這兩組人數(shù)相加，男孩人數(shù)與女孩人數(shù)都是偶數(shù)。小學(xué)奧數(shù)抽屜原理（二）例1 從1，3，5，7，47，49這25個(gè)奇數(shù)中至少任意取出多少個(gè)數(shù)，才能保證有兩個(gè)數(shù)的和是52。【分析與解答】 首先要根據(jù)題意構(gòu)造合適的抽屜。在這25個(gè)奇數(shù)中，兩兩之和是52的有12種搭配：3，49，5，47，7，45，9，43，11,41，13，39，15，37，17，35，19，33，21，31，23，29，25，27。將這12種搭配看成12個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜中有兩個(gè)數(shù)，還剩下一個(gè)數(shù)1，單獨(dú)作為一個(gè)抽屜。這樣就把25個(gè)奇數(shù)分別放在13個(gè)抽屜中了。因?yàn)橐还灿?3個(gè)抽屜，所以任意取出14個(gè)數(shù)，無論怎樣取，至少有一個(gè)抽屜被取出2個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和是52。所以本題的答案是取出14個(gè)數(shù)。例2在下圖所示的8行8列的方格表中，每個(gè)空格分別填上1，2，3這三個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，使得每行、每列及兩條對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)字的和互不相等，能不能做到？【分析與解答】 在8行8列的方格表中，8行有8個(gè)和，8列也有8個(gè)和，2條對(duì)角線有2個(gè)和，所以一共有8+8+2=18（個(gè)）和。因?yàn)轭}目問的是，這18個(gè)和能否互不相等，所以這18個(gè)和是物品，而和的不同數(shù)值是抽屜。按題目要求，每個(gè)和都是由1，2，3三個(gè)數(shù)中任意選8個(gè)相加而得到的。這些和中最小的是8個(gè)都是1的數(shù)相加，和是8；最大的是8個(gè)都是3的數(shù)相加，和是24。在8至24之間，不同的和只有24-8+1=17(個(gè))。將這17個(gè)不同的和的數(shù)值作為抽屜，把各行、列、對(duì)角線的18個(gè)和作為物品。把18件物品放入17個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜中的物品數(shù)不少于2件。也就是說，這18個(gè)和不可能互不相等。例3用1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字任意寫出一個(gè)10000位數(shù)，從這個(gè)10000位數(shù)中任意截取相鄰的4個(gè)數(shù)字，可以組成許許多多的四位數(shù)。這些四位數(shù)中至少有多少個(gè)是相同的？【分析與解答】 猛一看，誰是物品，誰是抽屜，都不清楚。因?yàn)閱栴}是求相鄰的4個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)有多少個(gè)是相同的，所以物品應(yīng)是截取出的所有四位數(shù)，而將不同的四位數(shù)作為抽屜。在10000位數(shù)中，共能截取出相鄰的四位數(shù)10000-3=9997（個(gè)），即物品數(shù)是9997個(gè)。用1，2，3，4這四種數(shù)字可以組成的不同四位數(shù)，根據(jù)乘法原理有4444=256（種），這就是說有256個(gè)抽屜。9997256=3913，所以這些四位數(shù)中，至少有40個(gè)是相同的。練習(xí)1.紅光小學(xué)每周星期一、三、五、六各舉辦一種課外活動(dòng)，問：至少要有多少學(xué)生報(bào)名參加，才能保證其中至少有3位學(xué)生所參加的課外活動(dòng)完全一樣？2.任意取多少個(gè)自然數(shù)，才能保證至少有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)？3.在前10個(gè)自然數(shù)中，至少取多少個(gè)數(shù)，才能保證其中有兩個(gè)數(shù)的和是10？4.右圖是一個(gè)5行5列的方格表，能否在每個(gè)方格中分別填上1，2，3中的一個(gè)數(shù)，使得每行、每列及兩條對(duì)角線上的五個(gè)方格中的數(shù)字之和互不相同？5.要把85個(gè)球放入若干個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中最多放7個(gè)。問：至少有幾個(gè)盒子中放球的數(shù)目相同？習(xí)題答案1.4箱。提示：92（138-110+1）=35。2.28人。提示：200（8-1）=284。3.8堆。提示：每堆只有一枚分幣的有1分、2分、5分三種情況，每堆有兩枚分幣的有1分與2分，1分與5分，2分與5分三種情況，每堆有三枚分幣的只有一種情況。將這3+3+1=7（種）情況作為7個(gè)抽屜。4.11人。提示：四類書至多借2本的借法有：甲，乙，丙，丁，甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共10種。將這10種借法看成10個(gè)抽屜。5.正確。提示：75年約有6060243667523.72（億秒），以每2秒為一個(gè)抽屜，共有23.722=11.86億（個(gè)）抽屜，將12億件物品放入11.86億個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜有不少于2件物品，即至少有兩人的出生時(shí)間在兩秒之內(nèi)。6.43人。提示：從4名候選人中選出2名，共有3+2+1=6（種）不同的選法。將這6種選法作為抽屜，全班學(xué)生作為物品，至少應(yīng)有6（8-1）+1=43（件）物品。7.提示：假設(shè)16個(gè)小朋友每人分到的餅干數(shù)目都不相同，則至少有1+2+3+16=136（塊）餅干，現(xiàn)在只有135塊餅干，所以假設(shè)不成立。1.31名。提示：只參加一次活動(dòng)的有4種選擇；參加兩次活動(dòng)的有下面6種選擇：星期一、三，星期一、五，星期一、六，星期三、五，星期三、六，星期五、六；參加三次活動(dòng)的有下面4種選擇，星期一、三、五，星期一、三、六，星期一、五、六，星期三、五、六；參加四次活動(dòng)的有1種選擇。共有4+6+4+1=15（種）選擇。2.8。提示