2019-2020學年泰州市泰州中學高一上學期第二次檢測數學試題（解析版）

2019-2020學年江蘇省泰州市泰州中學高一上學期第二次檢測數學試題一、單選題1集合的真子集個數為A3B4C7D8【答案】C【解析】，集合有3個元素，所以集合的真子集個數為，故填：C.2設，則使冪函數為奇函數且在上單調遞增的a值的個數為( )A0B1C2D3【答案】D【解析】本試題主要是考查了冪函數的性質的簡單運用。因為=時，函數，以-x代x解析式不變，那么就是偶函數，=-1時，函數為反比列函數，因為f(-x)=-f(x)=-故為奇函數，且在（0，+）單調遞減；=2時，函數是二次函數，對稱軸為y軸故為偶函數；根據冪函數的性質可知，冪指數為正奇數時，則在第一象限遞增，故=1，3，不僅函數為奇函數，且在（0，+）單調遞增，滿足題意，故選D.解決該試題關鍵是對于各個取值意義驗證，判定是否滿足冪函數的性質。3已知角的終邊經過點(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，則實數a的取值范圍是()A(2,3B(2,3)C2,3)D2,3【答案】A【解析】根據題意可得 且 ，解不等式組求得的取值范圍【詳解】cos 0，sin 0，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上2a3.故選A.【點睛】本題考查任意角的三角函數的定義，根據三角函數值的符號判斷角所在的象限，得到 且，是解題的關鍵，屬于基礎題4函數的一個零點所在的區(qū)間是( )ABCD【答案】B【解析】先求出根據零點存在性定理得解.【詳解】由題得，所以所以函數的一個零點所在的區(qū)間是.故選：B【點睛】本題主要考查零點存在性定理，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.5設a=20.5，b=log20152016，c=sin1830，則a，b，c的大小關系是（ ）Aabc Bacb Cbca Dbac【答案】D【解析】試題分析：利用指數函數與對數函數的單調性即可得出解：1a=20.5=，b=log201520161，c=sin1830=sin30=，bac，故選：D【考點】對數值大小的比較6已知是定義在上的函數，且恒成立，當時，則當時，函數的解析式為（ ）ABCD【答案】D【解析】，推導出函數的周期性，得到，然后令，利用，即可求出時的函數解析式，【詳解】，所以是以2為周期的函數，設，可得，此時， 根據，得，因此，當時，答案選D【點睛】本題考查函數的周期性問題，屬于基礎題7已知函數，則下列關于該函數圖象對稱性的描述正確的是（ ）A關于點對稱B關于點對稱C關于直線對稱D關于直線對稱【答案】D【解析】令即可解出對稱軸的方程，從而得到C錯誤，D正確. 令可得對稱中心的橫坐標，從而可判斷A、B是錯誤的.【詳解】令，其中，所以，當時，故的圖像關于直線對稱，因為無整數解，故直線不是函數圖像的對稱軸.令，其中，所以，因為無整數解，故點不是函數圖像的對稱中心，同理也不是函數圖像的對稱中心.故選D.【點睛】本題考查三角函數的圖像和性質，屬于基礎題.8已知，則（ ）ABCD【答案】B【解析】利用兩角和的正弦函數化簡求得，再利用誘導公式，即可求解，得到答案.【詳解】因為，所以，整理得，即，所以，故選B.【點睛】本題主要考查了三角函數的化簡求值問題，其中解答中熟記三角恒等變換的公式，合理、準確運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.9給出如下四個函數：；，b，c為常數；其中最小正周期一定為的函數個數為（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】將表達式化簡，周期.【詳解】周期為周期為；對，當時，易知不恒成立，周期為；因此僅有滿足故選：B【點睛】此題考查三角函數的化簡，熟記和差公式和兩個基本公式即可，另外求最小正周期的前提是函數是周期函數，屬于較易題目。10要得到函數的圖象，可由函數（ ）A向左平移個長度單位B向右平移個長度單位C向左平移個長度單位D向右平移個長度單位【答案】A【解析】利用誘導公式將函數化成余弦形式，再根據“左加右減”原則，即可得到答案.【詳解】函數，函數，所以函數向左平移個長度單位可得.故選：A.【點睛】本題考查三角函數誘導公式、平移變換，考查轉化與化歸思想的運用，求解時要注意先將函數名化成相同，再利用“左加右減”的變換原則.二、多選題11關于函數有下述四個結論中的正確結論是（ ）A函數是偶函數B函數在區(qū)間單調遞增C函數在區(qū)間上有4個零點D函數的最大值為2【答案】ABD【解析】對A，利用偶函數的定義；對B，當時，對函數進行化簡得，再判斷單調性；對C，對進行討論，將函數寫成分段函數的形式，再求方程的根，從而得到函數的零點；對D，當時，與同時取到最大值1.【詳解】對A，因為函數的定義域為，關于原點對稱，且，故函數為偶函數，故A正確；對B，當時，對函數等價于，顯然函數在遞增，故B正確；對C，函數當時，解得：或或，只有3個零點，故C錯誤；對D，當時，與同時取到最大值1，即函數的最大值為2，故D正確；故選：ABD【點睛】本題考查分段函數的奇偶性、單調性和最值，考查數形結合思想的應用，考查邏輯推理能力和運算求解能力.三、填空題12若定義在上的函數，其圖像是連續(xù)不斷的，且存在常數使得對任意實數都成立，則稱是一個“特征函數”則下列結論中正確命題序號為_是常數函數中唯一的“特征函數”；不是“特征函數”；“特征函數”至少有一個零點；是一個“特征函數”【答案】【解析】當時，任何常函數都是“特征函數”，所以錯誤；對任意的不能恒成立，不是“特征函數”，所以正確；成立，則與異號，由又函數是連續(xù)的，所以在至少存在一個零點，所以正確；，則滿足時，對任意恒成立滿足，所以正確。所以正確的是。點睛：本題考查函數性質的應用。本題中需要學生理解“特征函數”的定義，并能在選項的判斷中利用定義進行判斷，對學生的數學能力要求極高，并在判斷過程中能夠聯系學過的函數性質，加以應用。13函數的定義域為_.【答案】【解析】根據對數的真數大于0，開偶次方根的被開方數大于等于0，解不等式即可得到答案.【詳解】由題意得：解得，所以函數的定義域為：.故答案為：.【點睛】本題考查具體函數的定義域求解，考查不等式的求解，注意定義域要寫成集合或區(qū)間的形式.14在平面直角坐標系中，角的終邊經過點，則_【答案】【解析】15已知，則_.【答案】【解析】，16已知函數，若對任意恒成立，則實數的取值范圍是 _【答案】【解析】在同一坐標系中作出函數和的圖象，題意說明函數的圖象在函數的圖象的下方，即恒成立，整理后為二次不等式，由可得的范圍【詳解】由題意，對任意的恒成立，在同一坐標系中作出滿足題意函數和的圖象，如圖所示，恒成立，恒成立，解得（舍去），故答案為：【點睛】本題考查函數不等式恒成立問題，由于函數中含有絕對值符號，較為復雜，因此解題時利用函數的圖象，把問題轉化為一般的二次不等式恒成立，使得問題輕松解決數形結合思想是中學數學中的重要的思想方法，平常學習必須注意掌握四、解答題17（1）計算的值；（2）已知，求和的值【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）利用公式計算；（2）利用齊次的弦化切技巧計算。試題解析：(1)原式=2+= - （2）， .18已知函數，且.（1）求的值；（2）判斷函數的奇偶性并證明；（3）判斷在上的單調性并加以證明.【答案】（1）1；（2）是奇函數，證明見解析；（3）在上是增函數，證明見解析.【解析】（1）利用列方程，求得的值.（2）先求得函數定義域，然后利用奇偶性的定義，判斷出函數為奇函數.（3）根據函數單調性的定義，計算，由此證得函數在上的是增函數.【詳解】（1）由已知有，解得，所以的值為1.（2）奇函數，證明如下：函數的定義域為,是奇函數.（3）在上是增函數，證明如下：任取兩數且,則，,，即，即，在上是增函數.【點睛】本小題主要考查待定系數法求函數解析式，考查函數奇偶性的判斷和證明，考查函數單調性的判斷和證明，屬于中檔題.19設.（1）求的單調遞減區(qū)間；（2）把的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移 個單位，得到函數的圖象，求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（）化簡,根據正弦函數的單調性可得的單調遞增區(qū)間；（）由 平移后得進一步可得試題解析：（）由由得所以， 的單調遞增區(qū)間是（或）.（）由（）知 把的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得到 的圖象，再把得到的圖象向左平移個單位，得到 的圖象，即所以【考點】和差倍半的三角函數，三角函數的圖象和性質【名師點睛】本題主要考查和差倍半的三角函數、三角函數的圖象和性質、三角函數圖象的變換.此類題目是三角函數問題中的典型題目，可謂相當經典.解答本題，關鍵在于能利用三角公式化簡三角函數，進一步討論函數的性質，利用“左加右減、上加下減”的變換原則，得出新的函數解析式并求值.本題較易，能較好地考查考生的基本運算求解能力及對復雜式子的變形能力等.20設函數，函數，且，的圖象過點及（1）求和的解析式；（2）求函數的定義域和值域【答案】（1），；（2）,.【解析】(1)根據得出關于方程，求解方程即可；（2）根據的圖象過點及，列方程組求得的解析式，可得，解不等式可求得定義域，根據二次函數的性質，配方可得，利用對數函數的單調性求解即可.【詳解】（1）因為 ， ；因為的圖象過點及，所以， ；（2）由，得函數的定義域為 ，即的值域為.【點睛】本題主要考查函數的解析式、定義域與值域，屬于中檔題. 求函數值域的常見方法有配方法：若函數為一元二次函數，常采用配方法求函數求值域，其關鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域；換元法；不等式法；單調性法：首先確定函數的定義域，然后準確地找出其單調區(qū)間 ，最后再根據其單調性求凼數的值域，圖象法：畫出函數圖象，根據圖象的最高和最低點求最值.21某企業(yè)為打入國際市場，決定從兩種產品中只選擇一種進行投資生產.已知投資生產這兩種產品的有關數據如下表：（單位：萬美元）其中年固定成本與年生產的件數無關，為待定常數，其值由生產產品的原材料價格決定，預計.另外，年銷售件產品時需上交萬美元的特別關稅.假設生產出來的產品都能在當年銷售出去.（1）寫出該廠分別投資生產兩種產品的年利潤與生產相應產品的件數之間的函數關系，并指明其定義域；（2）如何投資才可獲得最大年利潤？請你做出規(guī)劃.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】試題分析：(1)生產產品的年利潤每件產品銷售價銷售量 (年固定成本每件產品成本銷售量);同理,生產產品的年利潤也可求得.(2)由,得,所以是增函數,且，易知時,有最大值;二次函數,易求得當時,有最大值.將的最大值和的最大值作差,比較可得何時投資哪種產品獲得年利潤最大.試題解析：（1）設年銷售量為件，按利潤的計算公式，得生產、兩產品的年利潤分別為： ,且;, ，且.（2）因為，所以，所以為增函數,又且，所以時，生產產品有最大利潤為:(萬美元).又, 且,所以時，生產產品有最大利潤為(萬美元) ,作差比較：,令，得；令，得；令，得.所以當時，投資生產產品件獲得最大年利潤；當時，投資生產產品件獲得最大年利潤；當時，投資生產產品和產品獲得的最大利潤一樣.點睛：本題主要考查了二次函數的實際應用.(1)根據產品的年利潤每件產品銷售價銷售量 (年固定成本每件產品成本銷售量)，產品的年利潤=每件產品銷售價銷售量(年固定成本每件產品成本銷售量)特別關稅，分別求出，與的函數關系式，根據表格寫出自變量的取值范圍即定義域；(2)根據，與的函數關系式，由一次函數、二次函數的性質求最大值，利用作差法求兩個最大值的差，根據的取值范圍，分類討論.22已知為奇函數，為偶函數，且（1）求及的解析式及定義域；（2）若關于的不等式恒成立，求實數的取值范