第3章隨機(jī)信號(hào)

第三章隨機(jī)過(guò)程 review 提要 隨機(jī)過(guò)程的一般概念通信系統(tǒng)中涉及的隨機(jī)信號(hào)與噪聲的特征表述平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 相關(guān)函數(shù) 功率譜密度 Gauss過(guò)程窄帶過(guò)程正弦波加窄帶Gauss過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)的基本分析法 1 引言 通信 保證消息的傳遞 消息 信號(hào) 消息中的有用部分 噪聲 無(wú)用部分 信號(hào) 隨機(jī)性 某個(gè)或某幾個(gè)參數(shù)不能或不能完全預(yù)知 隨機(jī)信號(hào)噪聲 隨機(jī)性隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)信號(hào)與噪聲的統(tǒng)稱分析工具 概率論與隨機(jī)過(guò)程為了方便 人為地對(duì)通信系統(tǒng)所涉及的隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行了限制 平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程窄帶Gauss過(guò)程對(duì)噪聲的描述十分理想 2 隨機(jī)過(guò)程的一般表述 隨機(jī)過(guò)程 時(shí)間t的函數(shù) 在任一時(shí)刻上觀察到的值是不確定的 即一隨機(jī)變量 隨機(jī)過(guò)程就是由全部可能實(shí)現(xiàn)構(gòu)成的總體 每個(gè)實(shí)現(xiàn)都是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù) 隨機(jī)性就體現(xiàn)在出現(xiàn)哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)是不確定的 t n t t n t t n t 實(shí)現(xiàn)1 實(shí)現(xiàn)2 實(shí)現(xiàn)n t1 隨機(jī)變量 n臺(tái)相同的收音機(jī) 用n臺(tái)相同的記錄儀記錄各自在同一頻道的輸出 噪聲 波形 結(jié)果 N條不同的曲線 噪聲隨機(jī)過(guò)程記錄隨機(jī)過(guò)程的實(shí)現(xiàn)所有記錄的集合隨機(jī)過(guò)程的描述隨機(jī)過(guò)程的規(guī)律性 統(tǒng)計(jì)特性概率分布函數(shù)或數(shù)字特征確定設(shè) t 為一隨機(jī)過(guò)程 則在任一時(shí)刻t1上 t1 是一隨機(jī)變量 那么隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性可用概率分布密度或概率密度函數(shù)來(lái)描述 F1 x1 t1 P t1 x1 t 的一維分布函數(shù)如果F1 x1 t1 對(duì)x1的偏導(dǎo)數(shù)f1 x1 t1 存在一維概率密度函數(shù) 示例 一般情況下 t 的一維分布函數(shù)不能充分地描述隨機(jī)過(guò)程的完整統(tǒng)計(jì)特性 通常需要在足夠多的時(shí)刻上考慮隨機(jī)過(guò)程的多維分布函數(shù) t 的n維分布函數(shù) Fn x1 x2 xn t1 t2 tn P t1 x1 t2 x2 tn xn 及n維概率密度函數(shù)fn x1 x2 xn t1 t2 tn 因此 n越大 用分布函數(shù)描述的 t 的統(tǒng)計(jì)特性就越充分可以說(shuō)分布函數(shù)完全描述了隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征 而 t 的數(shù)字特征則簡(jiǎn)化了我們對(duì)隨機(jī)過(guò)程的分析 通過(guò)數(shù)字特征我們能較好地理解和掌握隨機(jī)過(guò)程的規(guī)律 多維分布函數(shù) 我們所關(guān)心的是隨機(jī)過(guò)程的低階數(shù)字特征 如數(shù)學(xué)期望 方差 相關(guān)函數(shù)等 t 的數(shù)學(xué)期望 E t xf1 x1 t dx a t 或E X XkPka t t 的統(tǒng)計(jì)平均值 時(shí)間的函數(shù) t 在t時(shí)刻的平均值 t 的方差 D t E t E t 2 2 t x2f1 x1 t dx a t 2 t 在t時(shí)刻與平均值a t 之間的絕對(duì)偏差的大小 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征 兩個(gè)時(shí)刻上 t 的統(tǒng)計(jì)相關(guān)特性協(xié)方差函數(shù) B t1 t2 E t1 a t1 t2 a t2 x1 a t1 x2 a t2 f2 x1 t1 x2 t2 dx1dx2相關(guān)函數(shù) R t1 t2 E t1 t2 x1x2f2 x1 t1 x2 t2 dx1dx2因此 B t1 t2 R t1 t2 E t1 E t2 一般情況下 協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)有關(guān) 歸一化協(xié)方差函數(shù) 相關(guān)系數(shù) 協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù) 通信中涉及的隨機(jī)過(guò)程 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程 n維分布函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān) 即給定n和 t 的n維分布函數(shù)滿足 狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 fn x1 x2 xn t1 t2 tn fn x1 x2 xn t1 t2 tn 因此 當(dāng)n 1時(shí) F1 x1 t1 與時(shí)間t無(wú)關(guān)當(dāng)n 2時(shí) F2 x1 x2 t1 t2 只與時(shí)間間隔 t2 t1有關(guān)數(shù)字特征 平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望及方差與t無(wú)關(guān) 自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 有關(guān) 即 E t xf1 x1 t dx aD t E t E t 2 2R t1 t2 E t1 t2 R 3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 若一 t 的數(shù)學(xué)期望 方差與t無(wú)關(guān) 自相關(guān)函數(shù)只與 有關(guān) 則 t 為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的特性 各態(tài)歷經(jīng)性 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 數(shù)字特征完全由隨機(jī)過(guò)程中任一實(shí)現(xiàn)的數(shù)字特征來(lái)決定 即 t t為任意時(shí)刻 的數(shù)字特征 t1 的數(shù)字特征 t 的數(shù)學(xué)期望 統(tǒng)計(jì)平均值 任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值 方差 自相關(guān)函數(shù)也可以用 時(shí)間平均 來(lái)代替 統(tǒng)計(jì)平均 也就是說(shuō) 從隨機(jī)過(guò)程中得到的任一實(shí)現(xiàn) 好象它經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀態(tài) 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 x t 是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn) 則 時(shí)間平均 為 a lim1 T T 2 T 2x t dt 2 lim1 T T 2 T 2 x t a 2dtR lim1 T T 2 T 2x t x t dt往往有 a a 2 2 R R 滿足以上三個(gè)條件的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程稱為具有 各態(tài)歷經(jīng)性 結(jié)論 只有平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程才可能具有各態(tài)歷經(jīng)性 判斷方法 當(dāng) 時(shí) a和R 的均方差0 則認(rèn)為該隨機(jī)過(guò)程是各態(tài)歷經(jīng)的 統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均 相關(guān)函數(shù)可以描述 1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的頻譜特性相關(guān)函數(shù) R 性質(zhì) t 為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 則 R 0 E 2 t S t 的歸一化平均功率 R R 偶函數(shù) R R 0 R E2 t t 的直流功率 R 0 R 2方差 t 的交流功率以上性質(zhì)表明 利用R 可表示 t 幾乎所有的數(shù)字特征 4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度 功率譜密度的定義 任意確知功率函數(shù)f t 的功率譜定義為 ps f lim FT f 2 TFT f 是f t 的截短函數(shù)fT t 的Fourier變換功率型平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的每一實(shí)現(xiàn)也是功率信號(hào) 但一個(gè)實(shí)現(xiàn)的功率譜不能代表整個(gè)隨機(jī)過(guò)程的功率譜 而過(guò)程的功率譜是每一可能實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均 頻譜特性 T 2 T 2 f t fT t 設(shè) t 的功率譜密度為p f T t FT f 則 p f E ps f limE FT f 2 T t 的平均功率S為 S p f df limE FT f 2 Tdf而 E FT f 2 T E 1 T T 2 T 2 T t e j tdt T 2 T 2 T t ej t dt E 1 T T 2 T 2 t e j tdt T 2 T 2 t ej t dt 1 T T 2 T 2 T 2 T 2R t t e j t t dtdt 令 t t k t t 則有 E FT f 2 T T T 1 T R e j d 因此 p f limE FT f 2 Tdf R e j2 f d t 的功率譜 FT p f R ex 隨機(jī)過(guò)程 t sin 0t 0 2 的隨機(jī)變量 并滿足均勻分布 計(jì)算 t 的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù) 解 t 是否廣義平穩(wěn) a t 0 R t1 t2 1 2cos 0t R 因此 t 廣義平穩(wěn) 則 p f R e j d 1 4 f f0 f f0 t 的平均功率S 1 2 FT Gauss過(guò)程 正態(tài)隨機(jī)過(guò)程信道噪聲的數(shù)學(xué)模型n維概率密度函數(shù)為 見書p44特性 n維概率密度函數(shù)由數(shù)學(xué)期望 方差和歸一化協(xié)方差函數(shù)確定重要結(jié)論 1 Gauss過(guò)程若是廣義平穩(wěn) 則它也是狹義平穩(wěn) 2 Gauss過(guò)程中的隨機(jī)變量互不相關(guān) 則它們又是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 即 fn x1 x2 xn t1 t2 tn f1 x1 t1 f2 x2 t2 fn xn tn 一維Gauss過(guò)程 分布函數(shù)f x 1 2 2 1 2exp x a 2 2 2 a為數(shù)學(xué)期望 或隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均值 2為方差 5 Gauss過(guò)程 f x 對(duì)稱于x a f a x f a x f x 遞增for a anddecreasedfor a f a maximumvaluex f x 0 f x dx 1 且 af x dx a f x dx 1 2 af x 在x方向的移動(dòng) f x 的高窄a 0 1 一維Gauss分布概率密度函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式f x 1 2 1 2exp x2 2 分布函數(shù) F x P t x x a 數(shù)學(xué)手冊(cè) 一維Gauss過(guò)程的特性 a x f x 1 2 2 1 2 x 概率積分函數(shù)erf x 誤差函數(shù)erfc x 互補(bǔ)誤差函數(shù)F x 可用誤差函數(shù)或互補(bǔ)誤差函數(shù)表示 見P46 特殊函數(shù) 通信系統(tǒng)中大多數(shù)信號(hào)和噪聲是所謂 窄帶 的 窄帶波形 帶通信號(hào)包絡(luò)和相位相對(duì)載波fc緩慢變化 t a t cos ct t a t 0a t t 窄帶隨機(jī)過(guò)程 t c t cos ct s t sin ct c t a t cos t s t a t sin t 6 窄帶隨機(jī)過(guò)程 fc f f fc 同相分量 正交分量 窄帶過(guò)程 t 的統(tǒng)計(jì)特性是由 c t s t 確定的 問(wèn)題 已知 t 的統(tǒng)計(jì)特性 則 c t s t a t t 統(tǒng)計(jì)特性 Ex 平穩(wěn)窄帶Gauss過(guò)程 均值為0 的 c t s t a t t E t E c t cos ct E s t sin ct 0則 E c t E s t 0 t 的自相關(guān)函數(shù) R t t R c t t cos ctcos c t R s t t sin ctsin c t t 平穩(wěn)過(guò)程 故自相關(guān)函數(shù)與t無(wú)關(guān) 結(jié)論 c t s t 廣義平穩(wěn) 窄帶過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性 經(jīng)計(jì)算 我們有 R 0 R c 0 R s 0 即 2 c2 s2推導(dǎo)可知 t Gauss過(guò)程 c t s t 也是Gauss過(guò)程結(jié)論 一個(gè)均值為0的窄帶Gauss過(guò)程 其同相和正交分量也為平穩(wěn)Gauss過(guò)程 且均值為0 方差相同 此外 在同一時(shí)刻得到的 c和 s互不相關(guān) a t t 的統(tǒng)計(jì)特性 經(jīng)計(jì)算 有 a t 服從Rayleigh分布 t 服從均勻分布 f a a 2exp a 2 2 2 a 0f 1 2 0 2 就一維分布而言a t t 是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 即 f a f a f 統(tǒng)計(jì)特性 續(xù) 白噪聲 功率譜密度函數(shù)在整個(gè)頻域內(nèi)為常數(shù)的噪聲 即 p f n0 2Watt Hz則自相關(guān)函數(shù) R n0 2 白噪聲只有在 0時(shí)才相關(guān) 而在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是相互獨(dú)立的 理想寬帶過(guò)程 白噪聲 R n0 2 n0 2 p f f 限制在 f0 f0 內(nèi)的白噪聲R f0n0sin 0 0 因此 只有在 k 2f0 k 1 2 3 上得到的隨機(jī)變量才是不相關(guān)的 推理 在這些點(diǎn)上進(jìn)行抽樣而得到的隨機(jī)變量是獨(dú)立的 帶限白噪聲 n0 2 p f f f0 f0 R f0n0 1 2f0 通信系統(tǒng)中常見的信號(hào) 正弦波加窄帶Gauss過(guò)程r t Acos ct n t n t x t cos ct y t sin ct 窄帶Gauss過(guò)程 均值為0 在 0 2 上服從均勻分布 a與 c是已知常數(shù) r t 的包絡(luò)z t 及相應(yīng)的概率密度函數(shù) f z z 2exp 1 2 2 z2 A2 I0 Az 2 z 0f z 廣義Rayleigh分布 或Rice密度函數(shù) r t 的相位 的概率密度函數(shù) f 0 2 f f d 7 正弦波加窄帶Gauss過(guò)程 原理 信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的分析原理v0 t vi h t d V0 f H f Vi f 因果關(guān)系 v0 t tvi h t d 隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng) 0 t t i h t d 0 h i t d i 是平穩(wěn)的 0 t 統(tǒng)計(jì)特性 8 隨機(jī)過(guò)程與線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng)h t vi t vo t 0 t 的數(shù)學(xué)期望E 0 t E 0 h i t d 0 h E i t d E i t 0 h d 既 E 0 t E i t H 0 0 t 的自相關(guān)函數(shù)R0 t t R0 t t R0 廣義平穩(wěn) 0 t 的功率譜密度p 0 f p