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文檔簡介
第二十四講 代數(shù)與幾何綜合題一、選擇題1如圖241,拋物線yx2bxc與x軸交于點A、點B,與y軸交于點C,若AOC為等腰三角形,則下列各式成立的是( )資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途圖241Acb10Bcb10Ccb10Dcb102如圖242,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)yax2c(a0)的圖象經(jīng)過正方形ABOC的三個頂點A、B、C,則ac的值是( )資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途圖242A1B1C2D23(2009蘭州)如圖243,點A、B、C、D為圓O的四等分點,動點P從圓心O出發(fā),沿OCDO的路線做勻速運動設運動時間為t(秒),APB的度數(shù)為y(度),則下列圖象中,表示y與t之間函數(shù)關系最恰當?shù)氖? )資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途圖243二、填空題4(2009福州)如圖244,已知A、B、C、D、E是反比例函數(shù)(x0)圖象上五個整數(shù)點(橫、縱坐標均為整數(shù)),分別以這些點向橫軸或縱軸作垂線段,由垂線段所在的正方形邊長為半徑作四分之一圓周的兩條弧,組成如圖所示的五個橄欖形(陰影部分),則這個五個橄欖形的面積總和是_(用含p的代數(shù)式表示)資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途圖2445如圖245,矩形ABCD中,AB12cm,BC24cm;直線PQ從AB出發(fā),以1cm/s的速度向DC作勻速運動,PQ與AD、BC分別交于P、Q;點M從點C出發(fā),沿CDABC方向逆時針運動,點M與PQ同時出發(fā),當點M運動到D后改變速度;當點M與Q相遇后,點M與直線PQ均停止運動圖245是點M運動的路線長y(cm)與運動時間t(s)的函數(shù)關系圖象資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途圖245(1)點M在CD上運動的速度為_cm/s,M點改變速度后的速度為_cm/s;(2)y關于運動時間t的函數(shù)關系式為_,P、M的相遇時間是_(s),M、Q相遇的時間是_(s);資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途(3)當0t8時,PQM的面積S關于運動時間t的函數(shù)關系式為_,當S60cm2時,t的值為_;資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途(4)當PMQM時,此時的時間為_s二、解答題6如圖246,在平面直角坐標系中,RtAOBRtCDA,且A(1,0)、B(0,2),拋物線yax2ax2經(jīng)過點C資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途圖246(1)求拋物線的解析式;(2)在拋物線(對稱軸右側)上是否存在兩點P,Q,使四邊形ABPQ是正方形?若存在,求點P,Q的坐標,若不存在,請說明理由資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途7已知:二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(3,6),并與x軸交于點B(1,0)和點C,頂點為P(1)求這個二次函數(shù)的解析式;(2)設D為線段OC上的點,滿足DPCBAC,求點D的坐標8已知:拋物線yx2(2n1)xn21(n為常數(shù))(1)當該拋物線經(jīng)過坐標原點,并且頂點在第四象限時,求它所對應的函數(shù)關系式;(2)設A是(1)所確定的拋物線上,位于x軸下方且在對稱軸左側的一個動點,過A作x軸的平行線,交拋物線于另一點D,再作ABx軸于B,DCx軸于C資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途當BC1時,求矩形ABCD的周長;矩形ABCD的周長是否存在最大值?如果存在,請求出這個最大值,并指出此時A點的坐標;如果不存在,請說明理由資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途9如圖247,對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點A(6,0)和B(0,4)圖247(1)求拋物線的解析式及頂點坐標;(2)設點E(x,y)是拋物線上一動點,且位于第四象限,四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形求OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關系式,并求變量x的取值范圍;資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途當OEAF的面積為24時,請判斷OEAF是否為菱形?并說明理由;是否存在點E,使OEAF為正方形?若存在,求出點E的坐標;若不存在請說明理由10如圖248,直線AB交x軸于點A(2,0),交拋物線yax2于點B(1,),點C到OAB各頂點的距離相等,直線AC交y軸于點D圖248(1)求直線OC及拋物線的解析式;(2)當x0時,在直線OC和拋物線yax2上是否分別存在點P和點Q,使四邊形DOPQ為特殊的梯形?若存在,求點P、Q的坐標;若不存在,說明理由資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途11(2009上海)已知:如圖,249ABC90,AB2,BC3,ADBC,P為線段BD上的動點,點Q在射線AB上,且滿足資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途 圖249(1)當AD2,且點Q與點B重合時(如圖249所示),求線段PC的長;(2)在圖249中,連結AP,當,且點Q在線段AB上時,設點B,Q之間的距離為x,其中SAPQ、SPBC分別表示APQ和PBC的面積,求y關于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍;資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途(3)當ADAB,且點Q在線段AB的延長線上時(如圖249所示),求QPC的大小12(2009哈爾濱)如圖2410,在平面直角坐標系中,點O是坐標原點,四邊形ABCO是菱形,點A的坐標為(3,4),點C在x軸的正半軸上,直線AC交y軸于點M,AB邊交y軸于點H資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途圖2410(1)求直線AC的解析式;(2)連結BM,如圖2410,動點P從點A出發(fā),沿折線ABC方向以2個單位/秒的速度向終點C勻速運動,設PMB的面積為S(S0),點P的運動時間為t秒,求S與t之間的函數(shù)關系式及自變量t的取值范圍;資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途(3)在(2)的條件下,當t為何值時,MPB與BCO互為余角?并求此時直線OP與直線AC所夾銳角的正切值資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途13(2009溫州)如圖2411,在平面直角坐標系中,點動點D以每秒1個單位長度的速度從點O出發(fā),沿OC向終點C運動,同時動點E以每秒2個單位長度的速度從點A出發(fā),沿AB向終點B運動過點E作EFAB,交BC于點F,連結DA、DF設運動時間為t秒資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途圖2411(1)求ABC的度數(shù);(2)當t為何值時,ABDF?(3)設四邊形AEFD的面積為S,求S關于t的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍14把一張寬AD2的矩形紙片ABCD,如圖2412那樣折疊,折疊后的點A落在CD邊上現(xiàn)將矩形紙片放在如圖2412所示的平面直角坐標系中,設折疊后A的落點A,與AD、AB的交點分別為E、F,EF交x軸于點G,過點A作x軸的垂線,交x軸于點H,交EF于點T設DAx,點T的縱坐標為y,求y與x之間的函數(shù)關系式資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途 圖241215(2007福州)如圖2413,以矩形ABCD的頂點A為原點,AD所在的直線為x軸,AB所在的直線為y軸,建立平面直角坐標系點D的坐標為(8,0),點B的標為(0,6)點F在對角線AC上運動(點F不與點A、C重合),過點F分別作x軸、y軸的垂線,垂足為G、E設四邊形BCFE的面積為S1,四邊形CDGF的面積為S2,AFG的面積為S3資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途圖2413(1)試判斷S1、S2的關系,并加以證明;(2)當S3S213時,求點F的坐標;(3)如圖2413,在(2)的條件下,把AEF沿對角線AC所在的直線平移,得到AEF且A、F兩點始終在直線AC上是否存在這樣的點E,使點E到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離比是54?若存在,請求出點E的坐標;若不存在,請說明理由資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途16(2008武漢)如圖2414,拋物線yax23axb經(jīng)過A(1,0),C(3,2)兩點,與y軸交于點D,與x軸交于另一點B資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途 圖2414(1)求此拋物線的解析式;(2)若直線ykx1(k0)將四邊形ABCD面積二等分,求k的值;(3)如圖2414,過點E(1,1)作EFx軸于點F將AEF繞平面內(nèi)某點旋轉180后得MNQ(點M、N、Q分別與點A、E、F對應),使點M、N在拋物線上,求點M、N的坐標17(2009重慶)已知:如圖2415,在平面直角坐標系xOy中,矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上,OC在x軸的正半軸上,OA2,OC3過原點O作AOC的平分線交AB于點D,連結DC,過點D作DEDC,交OA于點E資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途圖2415(1)求過點E、D、C的拋物線的解析式;(2)將EDC繞點D按順時針方向旋轉后,角的一邊與y軸的正半軸交于點F,另一邊與線段OC交于點G如果DF與(1)中的拋物線交于另一點M,點M的橫坐標為,那么EF2GO是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由;資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途(3)對于(2)中的點G,在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點Q,使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的PCG是等腰三角形?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途參考答案第二十四講 代數(shù)與幾何綜合題1D 2D 3C413p26提示:觀察圖象結合A、B、C、D、E為的五個整數(shù)點可推斷:A(1,16),B(2,8),C(4,4),D(8,2),E(16,1)如答圖241所示,在正方形HOGC中半個橄欖形資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途答圖241所以S大橄欖形同理,D處橄欖形所在正方形邊長為2,所以SD橄欖形SE橄欖形1而同圖可知SB橄欖形SD橄欖形,SA橄欖形SE橄欖形,所以S總面積8p162(2 p4)2(1)13p265(1)3,4(2)y 當P、M相遇時,APt,DMy124t16,由APDM24可得t(4t16)24解得t8當M、Q相遇時,BQt,BMy2ABAD4t52由BMBQ得4t52t解得(3)當S60時,若6t14460,解得t14,因為 此時0t4,所以t14(舍去)若30t24060,解得t6(符合題意)所以當S60時,t的值為6(4)2或11.5提示:當M點運動到CD或AB中點時,有PMQM分別計算時間就可以了6解:(1)由RtAOBRtCDA,得OD213,CD1,C點坐標為(3,1)可得拋物線的解析式為(2)在拋物線(對稱軸的右側)上存在點P、Q,使四邊形ABPQ是正方形以AB為邊在AB的右側作正方形ABPQ過P作PEOB于E,QGx軸于G(見答圖242),資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途答圖242可證PBEAQGBAOPEAGBO2,BEQGAO1P點坐標為(2,1),Q點坐標為(1,1)由(1)拋物線,當x2時,y1,當x1時,y1P、Q在拋物線上故在拋物線(對稱軸的右側)上存在點P(2,1)、Q(1,1),使四邊形ABPQ是正方形7(1)(2)C(3,0)可證ACBPCD45(見答圖243)答圖243DPCBAC,DPCBAC易求得AC6,PC2,BC4,DC,OD3D(,0)8(1)yx23x(2)拋物線與x軸的另一個交點為(3,0),頂點為(,),對稱軸為直線x,其大致位置如答圖244所示答圖244BC1,由拋物線和矩形的對稱性可知OB(31)1,B(1,0),A(1,2),AB2矩形ABCD的周長為6可設A點的坐標為(x,x23x),B點的坐標為(x,0)(0x),BC32xA在x軸下方,x23x0,AB|x23x|3xx2,矩形ABCD的周長P2(3xx2)(32x)2(x)20,當x時,矩形ABCD的周長P有最大值為此時點A的坐標為A(,)9解:(1)由拋物線的對稱軸是,及拋物線經(jīng)過點A(6,0)可知拋物線還經(jīng)過(1,0)點設拋物線的解析式為ya(x1)(x6)由拋物線經(jīng)過點B(0,4)可得故拋物線解析式為,頂點為(2)點E(x,y)在拋物線上,位于第四象限,y0且坐標適合OA是OEAF的對角線,S2SOAE2OA|y|6y4(x)225拋物線與x軸的兩個交點是(1,0)和(6,0),自變量x的取值范圍是1x6根據(jù)題意,當S24時,即4(x)22524化簡,得解之,得x13,x24此時點E坐標分別為E1(3,4),E2(4,4)點E1(3,4)滿足OEAE,點E2(4,4)不滿足OEAE,當OEAF的面積為24,且點E坐標為(3,4)時,OEAF是菱形當OAEF,且OAEF時,OEAF是正方形,此時點E的坐標只能是(3,3)而坐標為(3,3)的點不在拋物線上,故不存在這樣的點E,使OEAF為正方形10簡解:(1)見答圖2451,可得直線AB的解析式為拋物線的解析式為又點C到OAB各頂點距離相等,可得OAB為等邊三角形,即點C是OAB三邊的垂直平分線的交點連結BC,并延長交OA于E,則BEOA,OEAE點E的坐標為(1,0)可得點C的坐標為C(1,)直線OC的解析式為yx,直線AC的解析式為yx(2)可得點D的坐標為D(0,),ODODPQ()當DQ1OP1時,四邊形DOP1Q1為等腰梯形(如答圖245)由題意得,OCD為等邊三角形,CDOCOD,Q1是直線AC與拋物線的交點,解得x11(舍),資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途答圖245當時,點Q1的坐標為,點P1的坐標為()當ODQ290時,四邊形DOP2Q2為直角梯形(如答圖245)答圖245設過點且平行于x軸的直線交拋物線于點Q2,則Q2的縱坐標為,可得點Q2的坐標為,點P2的坐標為DQOP過點且平行于OC的直線為,交拋物線于點Q解得x11或(舍)把x1代入中,得點Q的坐標為(1,)(與點B重合)()當ODP3Q3時,四邊形DOP3Q3是等腰梯形,如答圖2451OCD為等邊三角形,DOCQ3P3O60,Q3P3AC可得Q3P3的解析式為點P3為直線Q3P3與直線OC的交點,點P3的坐標為()OP4Q490時,四邊形DOP4Q4為直角梯形OCAB,點P4為直線OC與直線AB的交點可得點P4的坐標為綜上所述:當P1、Q1和P3,Q3(與點B重合)時,四邊形DOPQ為等腰梯形;當P2、Q2和P4、Q4(與點B重合)時,四邊形DOPQ為直角梯形資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途11思路分析:(1)考慮到ABAD2,則PQPC1,即PQPC;(2)先分別表示出SAPQ和SPBC,然后再去表示兩三角形面積之比,列出函數(shù)關系式;(3)利用三角形相似與等量代換 資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途簡解:(1)當AD2時可得PBC45,ADAB,點Q與點B重合,PBPQPCPCBPBC45BPC90在RtBPC中,PCBCcosC3cos45(2)如答圖246,過點P作PEBC,PFAB,垂足分別為E、F可得四邊形FBEP是矩形PFBC,PEBFADBC,PFAD又AQABQB2x,BC3,y與x的函數(shù)關系是為答圖246當點Q與點B重合時,x0;當點P運動到與點D重合時,x取得最大值作PGBC于G見答圖246由,BC3可得PBPC,G為BC中點資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途CG由可得在RtPAQ中,PA2AQ2PQ2,整理,得解得由0t2得自變量x的取值范圍是(3)如答圖246,過點P作PMBC,PNAB,垂足分別為M、N,可得四邊形PNBM為矩形,PNBC,PMBN,MPN90資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途ADBC,PNAD又PMCPNQ90,RtPCMRtPQNCPMQPNMPN90,QPCCPMQPMMPN9012思路分析:由A(3,4)可知AO5,則OC5,所以點C坐標(5,0),可求出直線AC的解析式;當點P在AB上時,當點P在BC上時,由菱形性質(zhì)可知MOCMBC,從而MBC90,所以資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途解:(1)過點A作AEx軸,垂足為E(如答圖247)答圖247由A(3,4)及四邊形ABCO為菱形,可得OCCBBAOA5,C點的坐標為C(5,0)可得直線AC的解析式為(2)由(1)得M點坐標為(0,),OM如答圖247,當P點在AB邊上運動時,答圖247SBPMH(52t)t(0t)當P點在BC邊上運動時,記為P1OCMBCM,COCB,CMCM,OMCBMCBMOM,MBCMOC90SP1BBM(2t5)t(t5)(3)設OP與AC相交于點Q,連結OB交AC與K可得tanBCOtanAOE,由MPB與BCO互余可得tanMPB當P點在AB邊上運動時,如答圖247由PHAHAP得32t2由可得AQPCQO在RtAEC中,在RtOHB中,由菱形性質(zhì)可得當P點在BC邊上運動時,如答圖247答圖247由解得由PCOA可得PQCOQA綜上所述,當或時,MPB與BOC互為余角,直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為或113思路分析:第(1)(2)題,通過解直角三角形解決,第(3)題求四邊形AEFD的面積時,要把它轉化為規(guī)則圖形的面積的和或差來解答資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途解:(1)如答圖248,過點B作BMx軸于點M答圖248C(0,2),B(3,2),BCOAABCBAMBM2,AM2,tanBAMABCBAM30(2)若ABDF,則CFDABC30在RtDCF中,CD2t,CFD30,CF(2t)AB4,BE42t,F(xiàn)BE30(3)方法一:過點E作EGx軸于點G,則EGt,DEx軸SSDEFSDEA方法二:SS梯形OABCSOADSCDFSFEB14簡解:連結AA,由折疊的對稱性知,EF垂直平分AA于點G在RtAGT中,GHAT,AAEF,所以AGHGTH,所以HGHTAHGH,即HG2HTAH而AH1,所以又因為點T在第四象限,所以T的縱坐標為,故所求的函數(shù)關系式為資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途15解:(1)S1S2證明:如答圖249,答圖249FEy軸,F(xiàn)Gx軸,ABD90,四邊形AEFG是矩形AEGF,EFAGSAEFSAFG同理SABCSACDSABCSAEFSACDSAFG,即S1S2 (2)FGCD,AFGACDCDBA6,ADBC8,F(xiàn)G3,AG4,F(xiàn)(4,3)(3)假設存在符合條件的點EAEF是由AEF沿直線AC平移得到的,EAEA3,EFEF4如答圖249,若點E在第一象限答圖249設E(4a,5a),a0延長EA交x軸于M,得AM5a3,AM4a由,可得如答圖249,若點E在第二象限,設E(4a,5a),a0,得AN4a,AN35a,同理可得資料個人收集整理,勿做商業(yè)用途答圖249如答圖249,若點E在第三象限,答圖249設E(4a,5a),a0,延長EF交y軸于點P,得AP5a,PF4a4同理可得(a0,舍去)在第三象限不存在點E點E不可能在第四象限存在滿足條件的E坐標分別是或16解:(1)拋物線解析式為(2)方法一:(見答圖2410)答圖2410由,得B(4,0),D(0,2)CDABS梯形ABCD(53)28設直線ykx1分別交AB、CD于點H、T,則H(,0),T(,2)直線ykx1平分四邊形ABCD的面積,S梯形AHTDS梯形ABCD4當時,直線將四邊形ABCD面積二等分方法二:過點C作CHAB于點H(見答圖2410)答圖2410由得B(4,0),C(0,2)CDAB由拋物線的對稱性得四邊形ABCD是等腰梯形SAODSBHC設矩形ODCH的對稱中
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