上海市浦東新區(qū)建平中學2018-2019學年高一數學下學期期末考試試題（含解析）

1 上海市浦東新區(qū)建平中學上海市浦東新區(qū)建平中學 2018 20192018 2019 學年高一數學下學期期末考試試學年高一數學下學期期末考試試 題 含解析 題 含解析 第第 卷 共卷 共 6060 分 分 一 填空題 本大題共一 填空題 本大題共 1212 個小題個小題 每小題每小題 3 3 分分 共共 3636 分分 1 和的等差中項為 14 答案 5 2 解析 分析 設 和的等差中項為 利用等差中項公式可得出的值 14xx 詳解 設 和的等差中項為 由等差中項公式可得 故答案為 14x 145 22 x 5 2 點睛 本題考查等差中項的求解 解題時要充分利用等差中項公式來求解 考查計算能力 屬于基礎題 2 已知 若 則實數的值為 1 2a r 4bx a b rr x 答案 2 解析 分析 利用共線向量等價條件列等式求出實數的值 x 詳解 且 因此 故答案為 1 2a r q 4bx a b rr 21 4x 2x 2 點睛 本題考查利用共線向量來求參數 解題時要充分利用共線向量坐標表示列等式求解 考查計算能力 屬于基礎題 3 設函數 則 的值為 arctanf xx 1f 答案 4 解析 2 分析 根據反正切函數的值域 結合條件得出的值 1f 詳解 且 因此 arctan 22 x q tantan1 44 1arctan1 4 f 故答案為 4 點睛 本題考查反正切值的求解 解題時要結合反正切函數的值域以及特殊角的正切值來 求解 考查計算能力 屬于基礎題 4 已知數列為等比數列 則數列的公比為 n a 2 1a 5 8a n a 答案 2 解析 分析 設等比數列的公比為 由可求出的值 n a q 3 5 2 a q a q 詳解 設等比數列的公比為 則 因此 數列的公比 n a q 3 5 2 8 1 a q a 2q n a 為 2 故答案為 2 點睛 本題考查等比數列公比的計算 在等比數列的問題中 通常將數列中的項用首項和 公比表示 建立方程組來求解 考查運算求解能力 屬于基礎題 5 已知 則的值為 3 sin 25 cos 答案 3 5 解析 分析 3 利用誘導公式將等式化簡 可求出的值 3 sin 25 cos 詳解 由誘導公式可得 故答案為 3 sincos 25 3 5 點睛 本題考查利用誘導公式化簡求值 在利用誘導公式處理化簡求值的問題時 要充分 理解 奇變偶不變 符號看象限 這個規(guī)律 考查運算求解能力 屬于基礎題 6 已知無窮等比數列的首項為 公比為 則其各項的和為 n a 1 1 2 答案 2 3 解析 分析 根據無窮等比數列求和公式求出等比數列的各項和 n a 詳解 由題意可知 等比數列的各項和為 故答案為 n a 12 13 1 2 s 2 3 點睛 本題考查等比數列各項和的求解 解題的關鍵就是利用無窮等比數列求和公式進行 計算 考查計算能力 屬于基礎題 7 311 lim 312 n nn n 答案 1 解析 分析 在分式的分子和分母上同時除以 然后利用極限的性質來進行計算 31 31 n n 3n 4 詳解 故答案為 1 1 31111 0 3 limlimlim01 1 31221 0 1 3 n n nnn nnn n 1 點睛 本題考查數列極限的計算 解題時要熟悉一些常見的極限 并充分利用極限的性質 來進行計算 考查計算能力 屬于基礎題 8 已知 若方程的解集為 則 0 2 sin3cos2sinxxx r 答案 3 解析 分析 將利用輔助角公式化簡 可得出的值 sin3cosxx 詳解 13 sin3cos2sincos2 sin coscos sin2sin 22 xxxxxxx q 其中 因此 故答案為 1 cos 2 3 sin 2 02 q 3 3 點睛 本題考查利用輔助角公式化簡計算 化簡時要熟悉輔助角變形的基本步驟 考查運 算求解能力 屬于中等題 9 在銳角中 角 所對的邊為 若的面積為 且 abc a bcabcabc 1 21b 則的弧度為 2c a 答案 6 解析 分析 利用三角形的面積公式求出的值 結合角為銳角 可得出角的弧度數 sin aaa 5 詳解 由三角形的面積公式可知 的面積為 abc 111 sin1 2 sin 222 abc sbcaa 得 為銳角 因此 的弧度數為 故答案為 1 sin 2 a a a 6 6 點睛 本題考查三角形面積公式的應用 考查運算求解能力 屬于基礎題 10 數列滿足 設為數列的前 n a 111 1 22 31 n ann n n l n s 1nn aa 項和 則 n10 s 答案 5 12 解析 分析 先利用裂項求和法將數列的通項化簡 并求出 由此可得出的值 n a 1nn aa 10 s 詳解 111 11n nnn q 111111 11 22311 n a nnn l 1 1111 11 1212 nn aa nnnn 因此 故答案為 10 111111115 2334111212212 s l 5 12 點睛 本題考查裂項法求和 要理解裂項求和法對數列通項結構的要求 并熟悉裂項法求 和的基本步驟 考查計算能力 屬于中等題 11 設為數列的前項和 若 則數列的通項公式為 n s n a n 8 1 4 2 n n n snn n n a n a 答案 1 8 1 2 3 4 3 n n n a n n n 解析 6 分析 令時 求出 再令時 求出的值 再檢驗的值是否符合 3n 1nnn ass 1n 1 a 1 a 由此得出數列的通項公式 2 n an n a 詳解 當時 3n 11 1 443 4 nnn nnn ass 當時 不合適上式 1n 11 8as 1 8a 當時 不合適上式 2n 221 1688asa 2 8a 因此 1 8 1 2 3 4 3 n n n a n n n 故答案為 1 8 1 2 3 4 3 n n n a n n n 點睛 本題考查利用前項和求數列的通項 考查計算能力 屬于中等題 n 12 已知等比數列 滿足 則的取值范 1 a 2 a 3 a 4 a 1 0 1a 3 1 2a 4 2 4a 6 a 圍為 答案 3 2 4 64 解析 分析 設等比數列 的公比為 由和計算出的取值范圍 再由 1 a 2 a 3 a 4 aq 4 3 a q a 3 4 1 a q a q 可得出的取值范圍 2 64 aa q 6 a 詳解 設等比數列 的公比為 1 a 2 a 3 a 4 aq 所以 1 0 1a q 3 1 2a 4 2 4a 4 3 1 4 a q a 3 4 1 2 a q a 3 2 4q 所以 故答案為 23 64 2 4 64aa q 3 2 4 64 點睛 本題考查等比數列通項公式及其性質 解題的關鍵就是利用已知條件求出公比的取 7 值范圍 考查運算求解能力 屬于中等題 第第 卷 共卷 共 9090 分 分 二 選擇題 每題二 選擇題 每題 3 3 分 滿分分 滿分 3636 分 將答案填在答題紙上 分 將答案填在答題紙上 13 已知基本單位向量 則的值為 1 0i 0 1f 34if a 1b 5c 7d 25 答案 b 解析 分析 計算出向量的坐標 再利用向量的求模公式計算出的值 34if ru r 34if rr 詳解 由題意可得 因此 343 1 04 0 13 4if ru r 2 2 34345if rr 故選 b 點睛 本題考查向量模的計算 解題的關鍵就是求出向量的坐標 并利用坐標求出向量的 模 考查運算求解能力 屬于基礎題 14 在學習等差數列時 我們由 得到等差 11 0aad 21 aad 31 2aad 數列的通項公式是 象這樣由特殊到一般的推理方法叫做 n a 1 1 n aand a 不完全歸納法b 數學歸納法c 綜合法d 分析法 答案 a 解析 分析 根據題干中的推理由特殊到一般的推理屬于歸納推理 但又不是數學歸納法 從而可得出結 果 詳解 本題由前三項的規(guī)律猜想出一般項的特點屬于歸納法 但本題并不是數學歸納法 因此 本題中的推理方法是不完全歸納法 故選 a 點睛 本題考查歸納法的特點 判斷時要區(qū)別數學歸納法與不完全歸納法 考查對概念的 理解 屬于基礎題 8 15 設為數列的前項和 則的值為 n s n a n 4 nn asnn 4 s a b c d 不確定 3 7 2 15 4 答案 c 解析 分析 令 由求出 的值 再令 時 由得出 兩式相 1n 11 as 1 a 2n 4 nn as 11 4 nn as 減可推出數列是等比數列 求出該數列的公比 再利用等比數列求和公式可求出的 n a 4 s 值 詳解 當時 得 1n 111 24asa 1 2a 當時 由得出 兩式相減得 可得 2n 4 nn as 11 4 nn as 1 20 nn aa 1 1 2 n n a a 所以 數列是以為首項 以為公比的等比數列 因此 n a 2 1 2 4 4 1 2 1 1152 4 1 44 1 2 s 故選 c 點睛 本題考查利用前項和求數列通項 同時也考查了等比數列求和 在遞推公式中涉 n 及與時 可利用公式求解出 也可以轉化為來求解 考查 n a n s 1 1 1 2 n nn s n a ssn n a n s 推理能力與計算能力 屬于中等題 16 小金同學在學校中貫徹著 邊玩邊學 的學風 他在 漢諾塔 的游戲中發(fā)現了數列遞 推的奧妙 有 三個木樁 木樁上套有編號分別為 的 abca1234567 七個圓環(huán) 規(guī)定每次只能將一個圓環(huán)從一個木樁移動到另一個木樁 且任意一個木樁上不能 出現 編號較大的圓環(huán)在編號較小的圓環(huán)之上 的情況 現要將這七個圓環(huán)全部套到木樁 b 9 上 則所需的最少次數為 a b c d 126127128129 答案 b 解析 分析 假設樁上有個圓環(huán) 將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上 需要最少的次數為 a1n 1n ab 根據題意求出數列的遞推公式 利用遞推公式求出數列的通項公式 從而得 1n a n a n a 出的值 可得出結果 7 a 詳解 假設樁上有個圓環(huán) 將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上 需要最少 a1n 1n ab 的次數為 可這樣操作 先將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上 至少需要的次數為 1n a nac 然后將最大的圓環(huán)從木樁套在木樁上 需要 次 在將木樁上個圓環(huán)從木樁 n a ab1cnc 套到木樁上 至少需要的次數為 所以 易知 b n a 1 21 nn aa 1 1a 設 得 對比得 1 2 nn axax 1 2 nn aax 1 21 nn aa 1x 且 1 121 nn aa 1 1 2 1 n n a a 1 12a 所以 數列是以為首項 以為公比的等比數列 1 n a 22 因此 故選 b 6 7 12 2128a 7 127a 點睛 本題考查數列遞推公式的應用 同時也考查了利用待定系數法求數列的通項 解題 的關鍵就是利用題意得出數列的遞推公式 考查推理能力與運算求解能力 屬于中等題 10 三 解答題 本大題共三 解答題 本大題共 6 6 小題 共小題 共 7070 分分 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 17 已知點是重心 gabc 2addc uuu ruuu r 1 用和表示 ab ac ag 2 用和表示 ab ac dg 答案 1 2 1 3 agabac 1 3 dgabac uuu ruu u ruuu r 解析 分析 1 設的中點為 可得出 利用重心性質得出 bcm 1 2 amabac uuuruu u ruuu r 2 3 agam uuu ruuur 由此可得出關于 的表達式 ag ab ac 2 由 得出 再由 可得出關于 2addc uuu ruuu r 2 3 adac dgagad uuu ruuu ruuu r dg ab 的表達式 ac 詳解 1 設的中點為 則 bcm2amabac uuuruu u ruuu r 1 2 amabac uuuruu u ruuu r 為的重心 因此 g abc 2211 3323 agamabacabac uuu ruuuruu u ruuu ruu u ruuu r 2 2addc uuu ruuu r q 2 3 adac 因此 121 333 dgagadabacacabac uuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruuu ruu u ruuu r 點睛 本題考查利基底表示向量 應充分利用平面幾何中一些性質 將問題中所涉及的向 量利用基底表示 并結合平面向量的線性運算法則進行計算 考查分析問題和解決問題的能 力 屬于中等題 18 已知函數 22 sin2sin coscosf xxxxx x r 1 求函數的最小正周期 f x 11 2 求函數的最小值和取得最小值時的取值 f x x 答案 1 2 當時 4 xkkz min0f x 解析 分析 1 利用二倍角公式將函數的解析式化簡得 再利用周期公式 yf x 1 sin2f xx 可得出函數的最小正周期 yf x 2 由可得出函數的最小值和對應的的值 22 2 xkkz yf x x 詳解 1 22 sin2sin coscos1 sin2f xxxxxx q 因此 函數的最小正周期為 yf x 2 2 2 由 1 知 當 即當時 2 2 xkkz 4 xkkz 函數取到最小值 yf x min1 10f x 點睛 本題考查利用二倍角公式化簡 同時也考查了正弦型函數的周期和最值的求解 考 查學生的化簡運算能力 屬于基礎題 19 我將來要當一名麥田里的守望者 有那么一群孩子在一塊麥田里玩 幾千萬的小孩子 附近沒有一個大人 我是說 除了我 麥田里的守望者 中的主人公霍爾頓將自己的精 神生活寄托于那廣闊無垠的麥田 假設霍爾頓在一塊成凸四邊形的麥田里成為守望者 abcd 如圖所示 為了分割麥田 他將連接 設中邊所對的角為 中邊 bdabd bdabcd 所對的角為 經測量已知 bdc2abbccd 2 3ad 12 1 霍爾頓發(fā)現無論多長 為一個定值 請你驗證霍爾頓的結論 并 bd 3coscosac 求出這個定值 2 霍爾頓發(fā)現麥田的生長于土地面積的平方呈正相關 記與的面積分別為 abd bcd 和 為了更好地規(guī)劃麥田 請你幫助霍爾頓求出的最大值 1 s 2 s 22 12 ss 答案 1 2 3coscos1ac 14 解析 分析 1 在和中分別對使用余弦定理 可推出與的關系 即可得出 abd bcd bdac 是一個定值 3coscosac 2 求出 的表達式 利用二次函數的基本性質以及余弦函數值的取范圍 可得出 22 12 ss 的最大值 22 12 ss 詳解 1 在中 由余弦定理得 abd 2 4 128 3cos168 3cosbdaa 在中 由余弦定理得 bcd 2 448cosbdc 168 3cos88cosac 則 83coscos8ac 3coscos1ac 2 1 1 2 2 3sin2 3sin 2 saa q 2 1 2 2sin2sin 2 scc 則 222222 12 12sin4sin1612cos4cosssacac 13 由 1 知 代入上式得 3cos1 cosac 2 2222 12 16 12cos43cos124cos8 3cos12ssaaaa 配方得 2 22 12 3 24 cos14 6 ssa 當時 取到最大值 3 arccos 6 a 22 12 ss 14 點睛 本題考查余弦定理的應用 三角形面積的求法以及二次函數最值的求解 解題的關 鍵就是利用題中結論將問題轉化為二次函數來求解 考查運算求解能力 屬于中等題 20 已知 1 nn a an nnn 1 求的坐標 122334 a aa aa a 2 設 求數列的通項公式 11nn ba ann uuuuu r n b 3 設 其中為常數 1 11 22 nn aa b b 22 1 11 22 nn aa c cnn a 求的值 1a 11 2 11 1 lim 1 nnnn n nnnn a ab ba a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 答案 1 2 122334 6 6a aa aa a 22 22 n nn nn b 3 當時 1a 11 2 11 1 lim2 1 nnnn n nnnn a ab ba a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 當或時 1a 1a 11 2 11 1 lim0 1 nnnn n nnnn a ab ba a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 解析 分析 1 利用題中定義結合平面向量加法的坐標運算可得出結果 2 利用等差數列的求和公式和平面向量加法的坐標運算可得出數列的通項公式 n b 14 3 先計算出的表達式 然后分 三種情況 11 2 11 1 1 nnnn nnnn a ab ba a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 1a 1a 1a 計算出的值 11 2 11 1 lim 1 nnnn n nnnn a ab ba a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 詳解 1 由題意得 122334 123 1236 6a aa aa a 2 112231 1 23 123 nnnnn ba aa aa aa ann uuuuuruuuu ruuuu ruuuuur lll 22 22 nn nn 3 11 2 22 11 111 11 1 nnnn nnnn n aaa ab ba ann a ac cn uuuuur uuuuur q uuuuur uuuuu u r 當時 1a 11 2 11 12 limlim0 1 1 nnnn nn nnnn a ab ba n a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 當時 1a 11 2 11 1222 limlimlim2 1 11 0 11 nnnn nnn nnnn a ab ban n a ac cn n uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 當時 1a 2 11 2 22 2 11 2 11 111 limlimlim0 11 11 11 nnnn nnn nnnn aa n aaa ab ba nn ann a ac cna nn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 點睛 本題考查平面向量坐標的線性運算 同時也考查等差數列求和以及數列極限的運算 計算時要充分利用數列極限的運算法則進行求解 綜合性較強 屬于中等題 21 無窮數列滿足 為正整數 且對任意正整數 為前項 n a 1 a n1n a n1 a 2 a 中等于的項的個數 n a n a 1 若 求和的值 1 2019a 2 a 4 a 15 2 已知命題 存在正整數 使得 判斷命題的真假并說明理由 pm 1 2 m m a a p 3 若對任意正整數 都有恒成立 求的值 n2nn aa 1039 a 答案 1 2 真命題 證明見解析 3 2 1a 4 2a 1039 520a 解析 分析 1 根據題意直接寫出 的值 可得出結果 2 a 3 a 4 a 2 分和兩種情況討論 找出使得等式成立的正整數 可得知命題 1 1a 1 1a 1 2 m m a a m 為真命題 p 3 先證明出 是 存在 當時 恒有成立 的充要條件 1 1a mn nm 2nn aa 由此可得出 然后利用定義得出 由此可得出的值 1 1a 21n an nn 1039 a 詳解 1 根據題意知 對任意正整數 為前項 中等于的項 n1n a n1 a 2 a n a n a 的個數 因此 2 1a 3 1a