2008年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案.doc

2008年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及參考答案 一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分，以下每道小題均給出了代號為A、B、C、D的四個選項，期中有且只有一個選項是正確的，請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1、已知實數(shù)，滿足，則的值為（）。A、7B、C、D、5答A解：因為0，0，由已知條件得，所以2、把一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲2次，若兩個正面朝上的編號分別為m，n，則二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同交點的概率是（）。A、B、C、D、答C解：基本事件總數(shù)有6636，即可以得到36個二次函數(shù)，由題意知0，即通過枚舉知，滿足條件的，有17對，故3、有兩個同心圓，大圓周上有4個不同的點，小圓周上有2個不同的點，則這6個點可以確定的不同直線最少有（）。A、6條B、8條C、10條D、12條答B(yǎng)ABCDEOF（第3題答案圖）解：如圖，大圓周上有4個不同的點A、B、C、D，兩兩連線可以確定6條不同的直線；小圓周上的兩個點E、F中，至少有一個不是四邊形ABCD的對角線AC與BD的交點，則它與A，B，C，D的連線中，至少有兩條不同于A，B，C，D的兩兩連線，從而這6個點可以確定的直線不少于8條。當(dāng)這6個點如圖所示放置時，恰好可以確定8條直線，所以，滿足條件的6個點可以確定的直線最少有8條。4、已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB1，以AB為一邊在圓O內(nèi)作正ABC，點D為圓O上不同于點A的一點，且DBAB，DC的延長線交圓O于點E，則AE的長為（）。ABCODE（第4題答案圖）A、B、1C、D、答B(yǎng)解：如圖，連接OE，OA，OB，設(shè)D，則ECA120EAC又因為ABO所以ACEABO，于是AEOA15、將1，2，3，4，5這五個數(shù)字排成一排，最后一個數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個數(shù)之和都能被這三個數(shù)中的第一個數(shù)整除，那么滿足要求的排法有（）。A、2種B、3種C、4種D、5種答D解：設(shè)是1，2，3，4，5的一個滿足要求的排列，首先，對于，不能有連續(xù)的兩個都是偶數(shù)，否則，這兩個之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾。又如果（1i3）是偶數(shù)，是奇數(shù)，則是奇數(shù)，這說明一個偶數(shù)后面一定要接兩個或兩個以上的奇數(shù)，除非接的這個奇數(shù)是最后一個數(shù)。所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5種情形滿足條件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1。二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6、對于實數(shù)u，v，定義一種運算“”為：uvuvv，若關(guān)于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)的取值范圍是。答0，或1解：由，得，依題意有解得，0，或17、小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車，假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時間是分鐘。答4。解：設(shè)18路公交車的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行駛的相鄰兩車的間距為s米。每隔6分鐘從背后開過一輛18路公交車，則每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車，則由，可得，所以即18路公交車總站發(fā)車間隔的時間是4分鐘。8、如圖，在ABC中，AB7，AC11，點M是BC的中點，AD是ABCDMF（第8題）BAC的平分線，MFAD，則FC的長為。答9。解：如圖，設(shè)點N是AC的中點，連接MN，ABCDMF（第8題答案圖）N則MNAB又MFAD，所以FMNBADDACMFN，所以FNMNAB，因此FCFNNCAB9。9、ABC中，AB7，BC8，CA9，過ABC的內(nèi)切圓圓心l作DEBC，分別與AB、AC相交于點D，E，則DE的長為。答解：如圖，設(shè)ABC的三邊長為，ABCDEIrha（第9題答案圖）內(nèi)切圓l的半徑為r，BC邊上的高為，則，所以，因為ADEABC，所以它們對應(yīng)線段成比例，因此所以DE故DE。10、關(guān)于x，y的方程的所有正整數(shù)解為。答解：因為208是4的倍數(shù)，偶數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為0，奇數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為1，所以x，y都是偶數(shù)。設(shè)：則，同上可知，都是偶數(shù)，設(shè)，則，所以，都是偶數(shù)，設(shè)，則，于是，其中都是偶數(shù)。所以所以13可能為1，3，5，7，9，進而為337,329,313,289,257，故只能是289，從而137，于是因此三、解答題（共4題，每題15分，滿分60分）11、已知一次函數(shù)，二次函數(shù)，是否存在二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過點（5,2），且對于任意實數(shù)x的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值，都有成立？若存在，求出函數(shù)的解析式；若不存在，請說明理由。解：存在滿足條件的二次函數(shù)。因為，所以，當(dāng)自變量x取任意實數(shù)時，均成立。由已知，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（5,2），得25當(dāng)時，有，由于對于自變量取任實數(shù)時，均成立，所以有22，故由，得，所以5分當(dāng)時，有，即所以，二次函數(shù)對于一切實數(shù)x，函數(shù)值大于或等于零，故即所以當(dāng)時，有，即，所以，二次函數(shù)對于一切實數(shù)x，函數(shù)值大于或等于零，故即所以綜上，所以，存在二次函數(shù)，在實數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，都有成立。15分12、是否存在質(zhì)數(shù)，使得關(guān)于x的一元二次方程有有理數(shù)根？解：設(shè)方程有有理數(shù)根，則判別式為平方數(shù)。令，其中是一個非負整數(shù)，則，5分由于1且與同奇偶，故同為偶數(shù)。因此，有如下幾種可能情形：消去n，解得，10分對于第1,3種情形，從而；對于第2,5種情形，從而（不合題意，舍去）；對于第4種情形，是合數(shù)（不合題意，舍去）。又當(dāng)時，方程為2，它的根為，它們都是有理數(shù)。綜上有述，存在滿足題設(shè)的質(zhì)數(shù)。15分13、是否存在一個三邊長恰是三個連續(xù)正整數(shù)，且其中一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角2倍的ABC？證明你的結(jié)論。解：存在滿足條件的三角形。當(dāng)ABC的三邊長分別為時，A2B，5分如圖，當(dāng)A2B時，延長BA至點D，使ADACb，連接CD，則ACD為等腰三角形。ABCD（第13題答案圖）因為BAC為ACD的一個外角，所以BAC2D，由已知，BAC2B，所以BD，所以CBD為等腰三角形。又D為ACD與CBD的一個公共角，有ACDCBD，于是，即，所以10分而所以此三角形滿足題設(shè)條件，故存在滿足條件的三角形。15分說明：滿足條件的三角形是唯一的。若A2B，可得，有如下三種情形；(i)當(dāng)時，設(shè)（為大于1的正整數(shù)），代入，得，解得，有；(ii)當(dāng)時，設(shè)（為大于1的正整數(shù)），代入，得，解得，有，此時不能構(gòu)成三角形；(iii)當(dāng)時，設(shè)（為大于1的正整數(shù)），代入，得，即，此方程無整數(shù)解。所以，三邊長恰為三個連續(xù)的正整數(shù)，且其中一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍的三角形存在，而且只有三邊長分別為4，5，6構(gòu)成的三角形滿足條件。14、已知有6個互不相同的正整數(shù)，且，從這6個數(shù)中任意取出3個數(shù)，分別設(shè)為，其中，記。證明：一定存在3個不同的數(shù)組，其