小學奧數(shù)-整數(shù)裂項.doc

小學奧數(shù)-整數(shù)裂項對于較長的復雜算式，單單靠一般的運算順序和計算方法是很難求出結果的。如果算式中每一項的排列都是有規(guī)律的，那么我們就要利用這個規(guī)律進行巧算和簡算。而裂項法就是一種行之有效的巧算和簡算方法。通常的做法是：把算式中的每一項裂變成兩項的差，而且是每個裂變的后項（或前項）恰好與上個裂變的前項（或后項）相互抵消，從而達到“以短制長”的目的。下面我們以整數(shù)裂項為例，談談裂項法的運用，并為整數(shù)裂項法編制一個易用易記的口訣。后延減前伸 差數(shù)除以N例1、 計算12233445989999100分析：這個算式實際上可以看作是：等差數(shù)列1、2、3、4、598、99、100，先將所有的相鄰兩項分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點概括為：數(shù)列公差為1，因數(shù)個數(shù)為2。12=（123-012）（13）23=（234-123）（13）34=（345-234）（13）45=（456-345）（13）9899=（9899100-979899）（13）99100=（99100101-9899100）（13）將以上算式的等號左邊和右邊分別累加，左邊即為所求的算式，右邊括號里面諸多項相互抵消，可以簡化為（99100101-012）3。解：12+23+34+45+9899+99100 =（99100101-012）3 =333300例2、 計算355779979999101分析：這個算式實際上也可以看作是：等差數(shù)列3、5、7、997、99、101，先將所有的相鄰兩項分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點概括為：數(shù)列公差為2，因數(shù)個數(shù)為2。35=（357-135）（23）57=（579-357）（23）79=（7911-579）（23）9799=（9799101-959799）（23）99101=（99101103-9799101）（23）將等號左右兩邊分別累加，左邊即為所求算式，右邊括號里面許多項可以相互抵消。 解：35+57+79+9799+99101 =（99101103-135）（23） =10298826 =171647 例3、 計算123234345969798979899分析：這個算式實際上可以看作是：等差數(shù)列1、2、3、4、598、99、100，先將所有的相鄰三項分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點概括為：數(shù)列公差為1，因數(shù)個數(shù)為3。 123=（1234-0123）（14） 234=（2345-1234）（14） 345=（3456-2345）（14） 969798=（96979899-95969798）（14） 979899=（979899100-96979899）（14）右邊累加，括號內(nèi)相互抵消，整個結果為（979899100-0123）（14）。解：123+234+345+969798+979899 =（979899100-0123）（14） =23527350例4、 計算101622162228707682768288分析：算式的特點為：數(shù)列公差為6，因數(shù)個數(shù)為3。解：101622+162228+707682+768288 =（76828894-4101622）（64） =2147376通過以上例題，可以看出這類算式的特點是：從公差一定的數(shù)列中依次取出若干個數(shù)相乘，再把所有的乘積相加。其巧解方法是：先把算式中最后一項向后延續(xù)一個數(shù)，再把算式中最前面一項向前伸展一個數(shù)，用它們的差除以公差與因數(shù)個數(shù)加1的乘積。將以上敘述可以概括一個口訣是：等差數(shù)列數(shù)，依次取幾個。所有積之和，裂項來求作。后延減前伸，差數(shù)除以N。N取什么值，兩數(shù)相乘積。公差要乘以，因個加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展時，當伸展數(shù)小于0時，可以取負數(shù)，當然是積為負數(shù)，減負要加正。對于小學生，這時候通常是把第一項甩出來，按照口訣先算出后面的結果再加上第一項的結果。此外，有些算式可以先通過變形，使之符合要求，再利用裂項求解。例5、 計算11+22+33+9999+100100分析：nn=(n-1)n+n解：11+22+33+9999+100100 =1+（12+2）+（23+3）+（9899+99）+（99100+100） =（12+23+9899+99100）+（1+2+3+99+100） =991001013+（1+100）1002 =333300+5050 =338350例6、 計算12+34+56+9798+99100分析：(n-1)n=(n-2)n+n解：12+34+56+78+9798+99100 =2+（24+4）+（46+6）+（68+8）+（9698+98）+（98100+100） =（24+46+68+9698+98100）+（2+4+6+8+98+100） =981001026+（2+100）502 =169150例7、 計算111+222+333+999999+100100100分析：nnn=(n-1)n(n+1)+n解：111+222+333+999999+100100100 =1+（123+2）+（234+3）+（9899100+99）+（99100101+100） =（123+234+9899100+99100101）+（1+2+3+99+100） =991001011024+（1+100）1002 =25492400例8、 計算13+24+35+46+98100+99101解：13+24+35+46+98100+99101 =（13+35+99101）+（24+46+98100） =（99101103-135）6+13+981001026=171650+166600=338250例9、 計算1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）解：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100） =122+232+342+1001012 =（12+23+34+100101）2 =（1001011023）2 =171700將上面的口訣繼續(xù)編寫是：前延比零小，取負就是了。小學不可為，首項先甩掉。平方和立方，變形再裂項。式長要轉化