2009年考研數(shù)學(xué)(一)真題(含答案解析).pdf

2009 年考研數(shù)學(xué)真題及答案詳解 第 1 頁(yè) 共 20 頁(yè) 2009 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)一試題 一 選擇題 2009 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)一試題 一 選擇題 1 1 1 1 8 8 8 8 小題 每小題小題 每小題 4 4 4 4 分 共分 共 32323232 分 下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng) 符合題目要求 把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) 分 下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng) 符合題目要求 把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) 1 當(dāng)0 x 時(shí) sinf xxax 與 2 ln 1g xxbx 等價(jià)無(wú)窮小 則 A 1 1 6 ab B 1 1 6 ab C 1 1 6 ab D 1 1 6 ab 2 如圖 正方形 1 1x yxy 被其對(duì)角線(xiàn)劃分為 四個(gè)區(qū)域 1 2 3 4 k Dk cos k k D Iyxdxdy 則 14 max k k I A 1 I B 2 I C 3 I D 4 I 3 設(shè)函數(shù) yf x 在區(qū)間 1 3 上的圖形為 1 f x 2 0 23x 1 O 則函數(shù) 0 x F xf t dt 的圖形為 A f x 0 23x1 2 1 1 B f x 0 23x1 2 1 1 1 1 1 1 x y 1 D 2 D 3 D 4 2009 年考研數(shù)學(xué)真題及答案詳解 第 2 頁(yè) 共 20 頁(yè) C f x 0 23x1 1 1 D f x 0 23x1 2 1 1 4 設(shè)有兩個(gè)數(shù)列 nn ab 若lim0 n n a 則 A當(dāng) 1 n n b 收斂時(shí) 1 nn n a b 收斂 B當(dāng) 1 n n b 發(fā)散時(shí) 1 nn n a b 發(fā)散 C當(dāng) 1 n n b 收斂時(shí) 22 1 nn n a b 收斂 D當(dāng) 1 n n b 發(fā)散時(shí) 22 1 nn n a b 發(fā)散 5 設(shè) 123 是 3 維向量空間 3 R的一組基 則由基 123 11 23 到基 122331 的過(guò)渡矩陣為 A 101 220 033 B 120 023 103 C 111 246 111 246 111 246 D 111 222 111 444 111 666 6 設(shè) A B均為 2 階矩陣 A B分別為 A B的伴隨矩陣 若2 3AB 則分塊 矩陣 OA BO 的伴隨矩陣為 A 3 2 OB AO B 2 3 OB AO C 3 2 OA BO D 2 3 OA BO 2009 年考研數(shù)學(xué)真題及答案詳解 第 3 頁(yè) 共 20 頁(yè) 7 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 1 0 30 7 2 x F xx 其中 x 為標(biāo)準(zhǔn)正 態(tài)分布函數(shù) 則EX A0 B0 3 C0 7 D1 8 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立 且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 0 1N Y的概率分布為 1 01 2 P YP Y 記 Z Fz為隨機(jī)變量ZXY 的分布函數(shù) 則函數(shù) Z Fz 的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為 A0 B1 C2 D3 二 填空題 二 填空題 9 149 149 149 14 小題 每小題小題 每小題 4 4 4 4 分 共分 共 24242424 分 請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上分 請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上 9 設(shè)函數(shù) f u v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) zf x xy 則 2z x y 10 若二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程0yayby 的通解為 12 x yCC x e 則非 齊次方程yaybyx 滿(mǎn)足條件 02 00yy 的解為y 11 已知曲線(xiàn) 2 02L yxx 則 L xds 12 設(shè) 222 1x y z xyz 則 2 z dxdydz 13 若 3 維列向量 滿(mǎn)足2 T 其中 T 為 的轉(zhuǎn)置 則矩陣 T 的非零特征值 為 14 設(shè) 12 m XXX 為來(lái)自二項(xiàng)分布總體 B n p的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 X和 2 S分別為樣本 均值和樣本方差 若 2 XkS 為 2 np的無(wú)偏估計(jì)量 則k 三 解答題 三 解答題 15151515 23232323 小題 共小題 共 94949494 分分 請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō) 明 證明過(guò)程或演算步驟 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō) 明 證明過(guò)程或演算步驟 15 本題滿(mǎn)分 9 分 求二元函數(shù) 22 2lnf x yxyyy 的極值 16 本題滿(mǎn)分 9 分 設(shè) n a為曲線(xiàn) n yx 與 1 1 2 n yxn 所圍成區(qū)域的面積 記 1221 11 nn nn Sa Sa 求 1 S與 2 S的值 17 本題滿(mǎn)分 11 分 橢球面 1 S是橢圓 22 1 43 xy 繞x軸旋轉(zhuǎn)而成 圓錐面 2 S是過(guò)點(diǎn) 2009 年考研數(shù)學(xué)真題及答案詳解 第 4 頁(yè) 共 20 頁(yè) 4 0且與橢圓 22 1 43 xy 相切的直線(xiàn)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成 求 1 S及 2 S的方程 求 1 S與 2 S之間的立體體積 18 本題滿(mǎn)分 11 分 證明拉格朗日中值定理 若函數(shù) f x在 a b上連續(xù) 在 a b可導(dǎo) 則存在 a b 使得 f bf afba 證 明 若 函 數(shù) f x在0 x 處 連 續(xù) 在 0 0 內(nèi) 可 導(dǎo) 且 0 lim x fxA 則 0f 存在 且 0fA 19 本題滿(mǎn)分 10 分 計(jì)算曲面積分 3 222 2 xdydzydzdxzdxdy I xyz 其中 是曲面 222 224xyz 的外側(cè) 20 本題滿(mǎn)分 11 分 設(shè) 111 111 042 A 1 1 1 2 求滿(mǎn)足 21 A 的 2 2 31 A 的所有向量 2 3 對(duì) 中的任意向量 2 3 證明 1 2 3 無(wú)關(guān) 21 本題滿(mǎn)分 11 分 設(shè)二次型 222 1231231323 122f x x xaxaxaxx xx x 求二次型f的矩陣的所有特征值 若二次型f的規(guī)范形為 22 12 yy 求a的值 22 本題滿(mǎn)分 11 分 袋中有 1 個(gè)紅色球 2 個(gè)黑色球與 3 個(gè)白球 現(xiàn)有回放地從袋中取兩次 每次取一球 以 X Y Z分別表示兩次取球所取得的紅球 黑球與白球的個(gè)數(shù) 求 10p XZ 求二維隨機(jī)變量 X Y概率分布 2009 年考研數(shù)學(xué)真題及答案詳解 第 5 頁(yè) 共 20 頁(yè) 23 本題滿(mǎn)分 11 分 設(shè)總體X的概率密度為 2 0 0 x xex f x 其他 其中參數(shù) 0 未知 1 X 2 X n X是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 求參數(shù) 的矩估計(jì)量 求參數(shù) 的最大似然估計(jì)量 2009 年考研數(shù)學(xué)真題及答案詳解 第 6 頁(yè) 共 20 頁(yè) 2009 年考研數(shù)學(xué)一真題解析 一 選擇題 2009 年考研數(shù)學(xué)一真題解析 一 選擇題 1 1 1 1 8 8 8 8 小題 每小題小題 每小題 4 4 4 4 分 共分 共 32323232 分 下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng) 符合題目要求 把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) 分 下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng) 符合題目要求 把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) 1 當(dāng)0 x 時(shí) sinf xxax 與 2 ln 1g xxbx 等價(jià)無(wú)窮小 則 A 1 1 6 ab B 1 1 6 ab C 1 1 6 ab D 1 1 6 ab 答案 A 解析 2 sin 1 f xxax g xx lnbx 為等價(jià)無(wú)窮小 則 2 222 00000 sinsin1cossin limlimlimlimlim ln 1 36 xxxxx f xxaxxaxaaxaax g xxbxxbxbxbx 洛洛 23 0 sin lim1 6 6 x aaxa b b ax a 3 6ab 故排除 B C 另外 2 0 1cos lim 3 x aax bx 存在 蘊(yùn)含了1cos0aax 0 x 故1 a 排除D 所以本題選 A 2 如圖 正方形 1 1x yxy 被其對(duì)角線(xiàn)劃分為 四個(gè)區(qū)域 1 2 3 4 k Dk cos k k D Iyxdxdy 則 14 max k k I A 1 I B 2 I C 3 I D 4 I 解析 本題利用二重積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性及被積函數(shù)的奇偶性 24 D D兩區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) 而 cos f xyyxf x y 即被積函數(shù)是關(guān)于y的 奇函數(shù) 所以 24 0II 13 D D兩區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) 而 cos cos fx yyxyxf x y 即被積函數(shù)是 關(guān)于x的偶函數(shù) 所以 1 01 2cos0 x y y xx Iyxdxdy 3 01 2cos0 x y yxx Iyxdxdy 時(shí) 有1 n a時(shí) 有1 n b 時(shí) 有 22 nnn a bb 則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知 22 1 nn n a b 收斂 5 設(shè) 123 是 3 維向量空間 3 R的一組基 則由基 123 11 23 到基 122331 的過(guò)渡矩陣為 A 101 220 033 B 120 023 103 2009 年考研數(shù)學(xué)真題及答案詳解 第 9 頁(yè) 共 20 頁(yè) C 111 246 111 246 111 246 D 111 222 111 444 111 666 解析 因?yàn)?1212 nn A 則A稱(chēng)為基 12 n 到 12 n 的過(guò)渡矩陣 則由基 123 11 23 到 122331 的過(guò)渡矩陣M滿(mǎn)足 122331123 11 23 M 123 101 11 220 23 033 所以此題選 A 6 設(shè) A B均為 2 階矩陣 A B分別為 A B的伴隨矩陣 若2 3AB 則分塊 矩陣 OA BO 的伴隨矩陣為 A 3 2 OB AO B 2 3 OB AO C 3 2 OA BO D 2 3 OA BO 解析 根據(jù)CCC E 若 11 1 CC CCC C 分塊矩陣 0 0 A B 的行列式 2 2 0 12 36 0 A A B B 即分塊矩陣可逆 1 1 1 1 0 0000 66 00010 0 B B AAAB BBBA A A 2009 年考研數(shù)學(xué)真題及答案詳解 第 10 頁(yè) 共 20 頁(yè) 1 0 02 3 6 130 0 2 B B A A 故答案為 B 7 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 1 0 30 7 2 x F xx 其中 x 為標(biāo)準(zhǔn)正 態(tài)分布函數(shù) 則EX A0 B0 3 C0 7 D1 答案 C 解析 因?yàn)?1 0 30 7 2 x F xx 所以 0 71 0 3 22 x Fxx 所以 1 0 30 35 2 x EXxFx dxxxdx 1 0 30 35 2 x xx dxxdx 而 0 xx dx 11 2212 22 xx xdxuuu du 所以00 35 20 7EX 8 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立 且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 0 1N Y的概率分布為 1 01 2 P YP Y 記 Z Fz為隨機(jī)變量ZXY 的分布函數(shù) 則函數(shù) Z Fz 的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為 A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 2009 年考研數(shù)學(xué)真題及答案詳解 第 11 頁(yè) 共 20 頁(yè) 0 0 1 1 1 0 1 2 1 00 1 2 Z FzP XYzP XYz YP YP XYz YP Y P XYz YP XYz Y P Xz YP Xz Y X Y 獨(dú)立 1 0 2 Z FzP XzP Xz 1 若0z 而 2 0 xyxxyy fff 內(nèi)可導(dǎo) 且 0 lim x fxA 則 0f 存在 且 0fA 解析 作輔助函數(shù) f bf a xf xf axa ba 易驗(yàn)證 x 滿(mǎn)足 ab x 在 閉 區(qū) 間 a b上 連 續(xù) 在 開(kāi) 區(qū) 間 a b內(nèi) 可 導(dǎo) 且 f bf a xfx ba 根據(jù)羅爾定理 可得在 a b內(nèi)至少有一點(diǎn) 使 0 即 f 0 f bf a f bf afba ba 任取 0 0 x 則函數(shù) f x滿(mǎn)足 在閉區(qū)間 0 0 x上連續(xù) 開(kāi)區(qū)間 0 0 x內(nèi)可導(dǎo) 從而有拉格朗日中值定理可得 存在 0 0 0 0 x x 使得 0 0 0 0 0 x f xf f x 2009 年考研數(shù)學(xué)真題及答案詳解 第 16 頁(yè) 共 20 頁(yè) 又由于 0 lim x fxA 對(duì)上式 式 兩邊取 0 0 x 時(shí)的極限可得 00 00 0 0 000 0 0 0limlim lim 0 x xx xx f xf fffA x 故 0 f 存在 且 0 fA 19 本題滿(mǎn)分 10 分 計(jì)算曲面積分 3 222 2 xdydzydzdxzdxdy I xyz 其中 是曲面 222 224xyz 的外側(cè) 解析 222 3 2 xdydzydxdzzdxdy I xyz 其中 222 224xyz 222 222 3 2222 5 2 2 xyzx xxyzxyz 222 222 3 2222 5 2 2 yxzy yxyzxyz 222 222 3 2222 5 2 2 zxyz zxyzxyz 222 3 2222 3 2222 3 2 0 xyz xxyzyxyzzxyz 由于被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) 0 0 0 處不連續(xù) 作封閉曲面 外側(cè) 2222 1 1 0 16 xyzRR 有 11 3 222 3 2333 134 34 3 xdydzydxdzzdxdyxdydzydxdzzdxdyR dV xyzRRR 20 本題滿(mǎn)分 11 分 設(shè) 111 111 042 A 1 1 1 2 求滿(mǎn)足 21 A 的 2 2 31 A 的所有向量 2 3 對(duì) 中的任意向量 2 3 證明 1 2 3 無(wú)關(guān) 2009 年考研數(shù)學(xué)真題及答案詳解 第 17 頁(yè) 共 20 頁(yè) 解析 解方程 21 A 1 111111111111 111100000211 042202110000 A 2r A 故有一個(gè)自由變量 令 3 2x 由0Ax 解得 21 1 1xx 求特解 令 12 0 xx 得 3 1x 故 21 10 10 21 k 其中 1 k為任意常數(shù) 解方程 2 31 A 2 220 220 440 A 2 1 1 110 2201 2 22010000 44020000 A 故有兩個(gè)自由變量 令 2 1x 由 2 0A x 得 13 1 0 xx 求特解 2 1 2 0 0 故 32 1 1 2 10 00 k 其中 2 k為任意常數(shù) 證明 由于 12 121 2121221 1 1 1 2 11 12 21 2 21 22 2210 kk kkk kkkk kkk k 1 0 2 故 123 線(xiàn)性無(wú)關(guān) 2009 年考研數(shù)學(xué)真題及答案詳解 第 18 頁(yè) 共 20 頁(yè) 21 本題滿(mǎn)分 11 分 設(shè)二次型 222 1231231323 122f x x xaxaxaxx xx x 求二次型f的矩陣的所有特征值 若二次型f的規(guī)范形為 22 12 yy 求a的值 解析 01 01 111 a Aa a 01 10 01 1111 111 a aa EAaa a a 22 2 1 1 0 1 2 22 19 12 24 2 1 aaaa aaa aaaa aaa aaa 123 2 1aaa 若規(guī)范形為 22 12 yy 說(shuō)明有兩個(gè)特征值為正 一個(gè)為 0 則 1 若 1 0a 則 2 20 3 30 符合 3 若 3 0 即1a 則 1 10 2 30 其他 其中參數(shù) 0 未知 1 X 2 X n X是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 求參數(shù) 的矩估計(jì)量 求參數(shù) 的最大似然估計(jì)量 解析 1 由EXX 而 22 0 22 x