數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì).doc

數(shù) 學(xué) 歸 納 法 教 學(xué) 設(shè) 計(jì)聊城市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 任耀奎一、課標(biāo)要求： 1借助具體實(shí)例歸納出數(shù)學(xué)歸納法的基本原理、步驟；2了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的命題二、教材分析：數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)是皮亞諾公理，皮亞諾公理中的第五條，“數(shù)學(xué)歸納法”是人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) 數(shù)學(xué)（選修2-2）中的第2章推理與證明中的第三單元，數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，計(jì)劃利用2個(gè)課時(shí)學(xué)習(xí)，本節(jié)課是數(shù)學(xué)歸納法的起始課，主要是理解數(shù)學(xué)歸納法，并初步利用數(shù)歸解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)歸納法屬于直接證明，它可以完成通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明取所有正整數(shù)都成立的命題的證明在等差數(shù)列和等比數(shù)列知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們用不完全歸納法推出了它們的通項(xiàng)公式，其中正確性的嚴(yán)格證明需要用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行.因此，數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)的深化和拓展，也是歸納推理的具體應(yīng)用， 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法(證明某些與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)常常采用的方法)證明命題的步驟：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立；根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)于從開(kāi)始的所有正整數(shù)都成立三、學(xué)生分析：學(xué)生已經(jīng)在必修5中學(xué)習(xí)了不完全歸納法(推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式)；在本章的合情推理中已經(jīng)學(xué)習(xí)了歸納推理，在演繹推理中學(xué)習(xí)了“三段論”這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)是學(xué)生理解推理思想和證明方法的重要基礎(chǔ)因此，教學(xué)中通過(guò)類(lèi)比的方法，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)四、教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能：借助具體實(shí)例歸納出數(shù)學(xué)歸納法的定義和步驟；了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的命題2、過(guò)程與方法: 觀察多米諾骨牌試驗(yàn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)現(xiàn)過(guò)程;借助例2嘗試?yán)脭?shù)學(xué)歸納法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探索的精神；通過(guò)置疑與探究，體驗(yàn)類(lèi)比的思想，逐步形成獨(dú)立的人格與敢于創(chuàng)新的精神， 五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)： 數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的重點(diǎn)是借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)（取無(wú)限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題難點(diǎn)：學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明；六、教學(xué)方法：講授法討論法 七、學(xué)習(xí)方法： 自主、合作、探究八、教學(xué)資源：電腦多媒體投影儀等 九、教學(xué)設(shè)計(jì)1.從思考題中引入課題（1）、已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式為（1）求出其前四項(xiàng)，（2）你能得到什么樣的猜想？ 猜想一定正確嗎？（2）、已知數(shù)列， （1）求出其前四項(xiàng)，（2）你能得到什么樣的猜想？猜想一定正確嗎？ 分析：逐一驗(yàn)證是不可能的那么，我們應(yīng)該思考“怎樣通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明取所有正整數(shù)都成立”的問(wèn)題引出課題“這就是我們今天要研究的直接證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方法數(shù)學(xué)歸納法”【設(shè)計(jì)意圖】 應(yīng)用歸納推理，發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，獲得新結(jié)論，這是數(shù)學(xué)歸納法的先行組織者；該思考題出現(xiàn)在本章第一節(jié)的合情推理中，是課標(biāo)教材“螺旋式”上升的具體體現(xiàn)，其思維模式就是“觀察歸納猜想證明”2.體會(huì)多米諾骨牌游戲中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想利用flash軟件，動(dòng)態(tài)地演示多米諾骨牌游戲【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)對(duì)多米諾骨牌游戲的分析，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的歸納和概括過(guò)程，從而理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).在多米諾骨牌游戲過(guò)程中，體會(huì)所有骨牌都倒下，第1塊骨牌必須倒下，這是基礎(chǔ)，也是前提條件，同時(shí)第塊骨牌倒下，必然導(dǎo)致第骨牌倒下，這是所有骨牌都倒下的保證，也就是多米諾骨牌游戲的連續(xù)性設(shè)問(wèn)問(wèn)題： 多米諾骨牌游戲與前面所提到的要解決的問(wèn)題有相似性嗎？能否類(lèi)比多米若骨牌游戲來(lái)解決你的猜想是正確的？【設(shè)計(jì)意圖】 在類(lèi)比的過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法.分析1：根據(jù)“第一塊骨牌倒下”抽象出數(shù)學(xué)歸納法的第一步，即（1）（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個(gè)值(,例如=1或)時(shí),命題成立.分析2：根據(jù)“任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下”，抽象出數(shù)學(xué)歸納法的第二步，即（2）（歸納遞推）假設(shè)時(shí)命題成立,證明當(dāng)時(shí)命題也成立.分析3：從完成“多米諾骨牌游戲”中，抽象出數(shù)學(xué)歸納法證明命題的結(jié)論，即由（1），（2）可知，命題對(duì)于從開(kāi)始的所有正整數(shù)都成立.【設(shè)計(jì)意圖】 抽象出“多米諾骨牌游戲”的本質(zhì).3.數(shù)學(xué)歸納法概念的形成數(shù)學(xué)歸納法: 對(duì)于由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,我們常采用下面的方法來(lái)證明它們的正確性：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個(gè)值(,例如=1或)時(shí),命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)時(shí)命題成立,證明當(dāng)時(shí)命題也成立；根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)于從開(kāi)始的所有正整數(shù)都成立.4、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“,對(duì)于的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明的起始值n應(yīng)?。?）A.2 B.3 C.5 D.6【變式1】若，則時(shí)（ ） 【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)歸納法第一步中的“第一個(gè)數(shù)”不一定就是“1”， 也可能是“2”或其它數(shù)，要根據(jù)題意準(zhǔn)確選擇當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)，左邊的式子要認(rèn)識(shí)到位例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明： 【變式2】 例2的如下證明對(duì)嗎？ 證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊=1，右邊=，等式成立（2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即 那么 即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)都成立【變式3】 試判斷下列用數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程是否正確？ 證明：假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即 那么 即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立可知等式對(duì)任何都成立.【想一想】(1) 第一步，是否可省略？ (2) 第二步，是否可省略？ (3) 第三步，是否可省略？ 【小結(jié)2】【變式4】用數(shù)學(xué)歸納法證明【設(shè)計(jì)意圖】 例2是教材中的一道習(xí)題，變式2是對(duì)例2證明方式的變化，變式3是對(duì)例2結(jié)論的變化，通過(guò)反問(wèn)，讓學(xué)生真正意識(shí)到在證明命題時(shí)“兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論”缺一不可， 缺了第（1）步，就沒(méi)有了歸納奠基；缺了第（2）步，就喪失了歸納遞推的過(guò)程；缺了結(jié)論，整個(gè)數(shù)學(xué)歸納法的過(guò)程就不能順利完成. “兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論”缺一不可；變式4是數(shù)歸的應(yīng)用。總之，由于本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)是：學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明，因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在第二步，而第二步的關(guān)鍵在于合理利用歸納假設(shè)，如果不會(huì)運(yùn)用“假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立”這一條件，直接將代入命題，便說(shuō)命題成立，實(shí)質(zhì)上是沒(méi)有證明因?yàn)閺摹皀=k到n=k+1”的一般性遞推，可以看成一個(gè)獨(dú)立的命題，這樣有利于突破數(shù)學(xué)歸納法第二步中證明命題的難點(diǎn)關(guān)于這個(gè)難點(diǎn)，下節(jié)課還要重點(diǎn)的研究，在本節(jié)課中，為突破以上教學(xué)難點(diǎn)，課堂教學(xué)中兩條線(xiàn)索交替進(jìn)行一條是主線(xiàn)：“提出問(wèn)題分析問(wèn)題解決問(wèn)題”；另一條是暗線(xiàn)：“課堂提問(wèn)的規(guī)則根據(jù)學(xué)號(hào)提問(wèn)，并依次從小號(hào)到大號(hào)”在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法證明命題的第一步的第一個(gè)值不一定是1，就如同第一個(gè)被提問(wèn)到的學(xué)生不一定是1號(hào)的學(xué)生一樣若是2號(hào)，則下一個(gè)被提問(wèn)的學(xué)生一定是3號(hào)利用flash軟件，動(dòng)態(tài)地演示多米諾骨牌游戲，從中體會(huì)并理解“歸納奠基”和“歸納遞推”，知道只有把“歸納奠基”與“歸納遞推”結(jié)合起來(lái)，才能完成數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程，理解數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟另外，在課堂練習(xí)時(shí)，選擇學(xué)生中有