08美國數(shù)學建模比賽A題.doc

Team # 3694 Page 30 of 30不可忽視的事實：一個海平面上升預測模型杜克大學：Jason Chen，Joonhahn Cho，Brian Choi目 錄目錄.1問題介紹.2II模型建立.4 海平面上升模型.4 溫度數(shù)據(jù)分析.5 冰原模型.5 物質(zhì)平衡-積累模型.6物質(zhì)平衡-消融模型.7物質(zhì)平衡與海平面上升模型.9熱膨脹模型.9局域化說明.9III. 結(jié)果.11海平面上升模型輸出數(shù)據(jù).11淹沒模型仿真結(jié)果.12IV. 討論與結(jié)論.17V建議.18參考文獻.20附錄A 海平面上升仿真代碼.21附錄B 地質(zhì)圖點矩陣腳本.25附錄C 淹沒模型仿真代碼.27附錄D 佛羅里達城市數(shù)據(jù)初值.29I問題介紹據(jù)有力證據(jù)表明全球變暖趨勢已經(jīng)存在，目前已經(jīng)建立了很多有效模型來預測將來的氣候變化。在近15年內(nèi)，全球氣溫上漲了大約0.5，全球溫度達到了過去一千年以來的最高水平。雖然變暖的趨勢相當明顯，但人們對這種大規(guī)模的氣候變化仍然是知之甚少。全球變暖帶來的最令人擔心的后果之一便是海平面的上升。TOPEX/Poseidon衛(wèi)星測高儀觀測出，在1993-1998年期間，海平面每年上漲3.2 0.2毫米。泰特斯等人估計，僅在美國，海平面上升1米，就可能會導致270-475億美元的賠償金。若干復雜的因素促成了海平面的上升。人們一直認為，因溫度變化而導致的水的熱膨脹是海平面上升的重要組成部分；然而，近期研究表明，單是熱膨脹并不能解釋已觀察到的大多數(shù)海平面的上升。大塊冰原的物質(zhì)平衡，特別是格陵蘭冰原的物質(zhì)平衡，現(xiàn)在被認為是海平面上升的主要因素。物質(zhì)平衡是由2個主要過程控制的，積累（冰塊匯集到冰原）和消融（冰塊脫離冰原）。積累主要是由于降雪，消融主要是由于水分的升華和冰體的融化。與大家普遍的認識恰恰相反的是，浮冰對海平面的上升并沒有發(fā)揮重大的作用。根據(jù)阿基米德原理，重量為W（假設(shè)淡水的密度為water）的浮冰融化成密度為ocean 的水體，其體積的增量為V，即：（1） 海水的密度大約是1024.8kg/m3 ；北極海冰的重量大約是2x103 kg。因此，如果北極所有的海冰都融化，體積變化將由下式給出： （2）近360噸水可以導致海平面上升1毫米。（3）海平面如此微小的變化對我們的模型來說是無關(guān)緊要的，因為精度已經(jīng)低于千分之一毫米。我們也忽略了南極冰原的影響，因為其總體影響海平面上升的量是極少的，難以量化。在1978到1987年之間，衛(wèi)星微波輻射的數(shù)據(jù)表明，北極的冰體減少了3.5%，然而同時，南極的冰體卻沒有可統(tǒng)計的顯著變化?？ㄍ吡欣热艘呀?jīng)預測出未來50年內(nèi)，南極冰體融化的最低限度。出于這樣的考慮，我們在模型中僅考慮格陵蘭冰原的影響。關(guān)于物質(zhì)平衡和熱膨脹理論，已經(jīng)出現(xiàn)了一些模型。但是這些模型考慮了很多方面的變量，非常復雜，并且經(jīng)常彼此不統(tǒng)一。我們希望提出一個基于簡單的物理過程的模型，僅僅體現(xiàn)溫度和時間的影響。利用這種方法，分析影響氣候變暖的過程將被簡化，并且使海平面上升對溫度的依賴體現(xiàn)得更為明顯。此外，我們建立了一個可以擴展到在若干不同溫度影響下的計算的模型，允許我們直接比較碳的排放量對海平面上升的影響。模型概述深入了解冰原融化能夠給海平面上升提供寶貴的見解。通過構(gòu)造一個可以整合冰原融化和熱膨脹作用的框架，我們可以估計50年期限的全球平均海平面。這個模型實現(xiàn)了幾個重要的目標：1. 正確的吻合了過去海平面上升的數(shù)據(jù)2. 為預測50年期限的海平面提供了充分的一般性3. 作為一個獨立的全球溫度和時間函數(shù)計算佛羅里達州海平面的上升最后，這一模型從邏輯上預測了人類的人口。我們尤其分析了佛羅里達州海平面上升的影響，很多人認為由于它的海拔低而且臨近大西洋而使它極易受到攻擊。從分析中我們評估了將全球變暖導致海平面上升帶來的損失降低到最小的可能策略。假定為精簡模型進行一些主要的假設(shè)：1. 海平面上升主要由于兩個因素：格陵蘭冰原的積累/消融平衡和大洋的熱膨脹。忽略了例如冰裂和直接的人類干預等作用的影響，而這些影響很難正確的模擬并且對海平面上升影響很小。2. 空氣是融化冰原的唯一熱源。格陵蘭大陸是永久凍結(jié)帶，而且由于它表面覆蓋的大量冰原，所以假設(shè)它的溫度相對穩(wěn)定。這方便我們使用對流作為熱傳遞的模型。3. 冰原內(nèi)部穩(wěn)態(tài)的溫度線性變化。這一假設(shè)可以使我們用紐曼條件解決熱量方程式。通過減少熱量方程式的穩(wěn)態(tài)條件，我們可以解決齊次邊界條件。4. 升華和融化過程互不干涉。這一假設(shè)徹底簡化模型中分別考慮升華和融化帶來的計算。假設(shè)又是合理的，升華發(fā)生在零度以下，而融化在零度以下根本不會發(fā)生。因此在我們的模型中兩個過程是時間上獨立的。5. 冰原的表面在溫度、壓力和化學組成上是均勻的，因為在我們的框架中格陵蘭大陸高分辨率空間溫度數(shù)據(jù)是不能得到的，所以這一假設(shè)是必要的。另外我們?nèi)鄙儆嬎愕馁Y源和時間來仿真如此一個要求用有限元法和網(wǎng)格劃分的復雜拓撲學的變量。確定問題M表示格陵蘭冰原的物質(zhì)平衡，我們在數(shù)量上估計海平面上升結(jié)果出現(xiàn)的W衛(wèi)星激光測距，給出一個以溫度為變量的函數(shù)，這些上升是M和熱膨脹TE影響的總和根據(jù)當?shù)刳厔葑龅男Ｕ＿M一步，我們必須定量和定性地分析全球變暖對佛羅里達州主要城市和區(qū)域長期（50年）的影響，結(jié)果是高SLR。這一分析可以用來為如何最好的應對和減少SLP效應提出建議。II. 模型建立建立海平面上升模型海平面的上升大多是因為格陵蘭冰原的物質(zhì)平衡及由于氣候變暖帶來的熱膨脹。為了表示海平面的上升以及其他后處理的影響，我們用了一個物質(zhì)平衡模型和熱膨脹模型。邏輯模擬過程詳細見圖1 。模擬開始IPCC監(jiān)測大氣中的碳含量模型熱膨脹格陵蘭冰原物質(zhì)平衡升華積累融化區(qū)域增長趨勢海平面上升淹沒模擬提出建議EdGCM臨時程序調(diào)用圖1：模擬流程圖溫度數(shù)據(jù)分析溫度數(shù)據(jù)在我們的模型中是唯一使用的數(shù)據(jù)，所以必須仔細分析考慮。因為需要建立不同情景下的模型，我們的溫度數(shù)據(jù)就必須包含這些受控制的且只有一個不同變量的情景。另外，溫度數(shù)據(jù)必須是高質(zhì)量的，并且能保證為我們的模擬提供正確的臨時分析。為了到達這個目的，我們決定使用一個全球氣候模型（GCM），通過輸入便于我們控制的變量來處理我們自己的溫度數(shù)據(jù)。由于計算能力和時間的限制，我們選擇EdGCM模型。EdGCM模型是一個為教學設(shè)計的快速模型。該模型是基于美國航天局GISS氣候變化模型設(shè)計出來的。此程序可以滿足我們所有的需要，特別是在模擬的速度方面（大約10小時模擬一個50年的氣候階段），使我們可以分析若干個不同的溫度情景。溫度情景分析中納入了IPCC第三次評估報告得到的關(guān)于碳排放量的三個因素在IS92系列中的結(jié)果，低、高和中等。IS92e(高)，IS92a(中)以及IS92c(低)情景都是在EdGCM中非常近似的結(jié)果。這些近似的碳作用在下圖2中表示出來。其他所有的參量根據(jù)美國航天局GISS模型，被默認保存。用這種方式，在三個時間序列中，獲得了全球地表空氣溫度。圖2：二氧化碳在EdGCM模型中的影響對于EdGCM模型，一個不利的影響是它只能輸出全球氣溫變化。雖然能計算區(qū)域氣溫變化，但是卻很難到達并且所得結(jié)果空間精度較低。然而，根據(jù)Chylek等人的研究，格陵蘭島的氣溫和全球氣溫之間的關(guān)系可以近似的表示為：（4）Chylek等人用未受NAO影響的區(qū)域證明，并用氣候模型的輸出預測了這一結(jié)果。冰原模型將冰原簡化假設(shè)為一個矩形，且冰原上層的每一處溫度假設(shè)為恒定的Ta。這是因為我們的氣候模型沒有達到格陵蘭島的空間精度，所以微小的溫度變化被忽略，不考慮。冰原下層的凍土層有恒定的溫度Tl。冰原模型的描述如圖3所示。圖3：冰原模型的側(cè)面圖為了計算冰原融化和升華的熱通量，我們假設(shè)其為無限多的微分單元，如下圖4。圖4：冰原微分單元最初，高度h的計算是利用Williams等人提供的數(shù)據(jù)。 我們的模型中主要的計算方法是依據(jù)物質(zhì)平衡，物質(zhì)平衡即計算減去消融量后所積累的量。積累，是指冰原上增加冰塊，其主要形式是降雪。冰體的消融主要是兩個過程的結(jié)果，即升華和融化。物質(zhì)平衡積累首先，我們建立積累的模型。Huybrechts等人證明格陵蘭島的溫度還沒有高達可以融化大面積的冰雪。此外，以Knight的經(jīng)驗推斷，冰原的積累率和時間存在非常近似的線性關(guān)系，覆蓋格陵蘭大陸的冰雪積累量是0.3m/year。因此，積累率是0.025m/month。根據(jù)物質(zhì)平衡得出： （5）LD的乘積指冰原的表面積。物質(zhì)平衡消融其次，我們對消融的升華和融化這兩個過程進行建模。升華率（質(zhì)量變化量）由下式給出： （6）Mw 為水的分子質(zhì)量。這個表達式可以從理想氣體法則和麥克斯韋玻爾茲曼分布導出。帶入esat 的巴克表達式，我們可以得出： （7）巴克方程適用于范圍較大的溫度和壓力的變化，適合格陵蘭島的環(huán)境。雖然近似地舍去了極端溫度和壓力，但是這樣一來計算相對簡單。為了將質(zhì)量變化量轉(zhuǎn)換成冰塊的厚度變化量，我們根據(jù)冰塊的密度來劃分質(zhì)量變化量。由此我們可以表述冰塊厚度的變化，如下所示： （8）d表示焊敷系數(shù)(克/小時安)，即d=(1-deposition rate)=0.01。此條件是必要的，因為升華和沉積是保持平衡的。利用此升華率表達式，現(xiàn)在可以找出冰原每一時刻在計算模型中的微小的厚度變化。由消融中的升華過程引起的冰原厚度的變化可以由下式給出： （9）公式中的h是冰原的厚度，而t是一個時間段后所經(jīng)歷的時間。我們用已經(jīng)導出的表達式代替并且替代了關(guān)于水分子重力場的已知數(shù)值 （10）這個方程規(guī)定了冰的升華。對于消融的第二個組成部分，融化模型，我們應用熱力方程。熱力方程規(guī)定了如下關(guān)系： （11）其中k=0.0104是冰的熱擴散率。為了解決在諾伊曼條件下的熱力方程，我們以與相同的邊界條件并且獨立于時間的條件假設(shè)一個常量。剩余溫度V有齊次邊界條件以及在-中發(fā)現(xiàn)的起始提條件。因此我們可以重新寫出如下熱力方程： （12）熱力方程的恒定量解決被如下給出: (13)其中滿足0xS(t)與0tk，在t不變時U(x,t)0，因此當kx Sx_val = S;endif x_val Sx_val = S;endif x_val Sx_val = S;endif x_val 0error(X is less than 0);endtimecourseL = timecourseL x_val;h3 = x_val + accu_rate;if mcount = 13ann_tempchg = ann_tempchg + Ta; %temp change recordingmcount = 0;SLR3 = SLR3 + (6.89*ann_tempchg); %thermal expansion effect in centimetersycount = ycount + 1;SLR3 = SLR3 + (inih-h3)*700/h; %melting effect in centimetersSLRtot3(ycount,1) = SLR3 - (unifrnd(flomin,flomax)*(ycount) +(floavg*ycount); %record the rise(local) ; %record the rise ann_tempchg = 0;endendfunction out = U(Tl, Ta, t, S, x)%heat equationn = 1:100;Us = Tl+1e-2*(Ta-Tl)*x/S;V = (Tl+Ta)/2+sum(2.*(Ta-Tl).*(-1).n-1).*exp(-n.2.*pi2.*t./S.2).*cos(n.*pi.*x./S)/(n.*pi).2);out = Us+V;附錄B 建立地質(zhì)圖點矩陣腳本% Create elevation data from GTOPO30 datadatagrid refvec = gtopo30(W100N40, 2, 24 31, -90 -78); %gather topological data for 1 resolutiondatagrid(isnan(datagrid) = -100;datagridt = flipud(datagrid);image(datagridt);% % Create an indexing matrix to quickly determine latitude and longitude for% % lat = 31:(-1/60):24;% % lon = -90:(1/60):-78;% % latrow = 0;% % for latind = 1:length(lat)-1% % for lonind = 1:length(lon)-1% % latlonmat(latind, lonind).coord = lat(latind) lon(lonind)