人教B版選修22 2.3數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)案2.docVIP

課堂探究探究一 利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，要注意弄清楚等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，例如：等式兩邊的項(xiàng)數(shù)是多少，項(xiàng)的多少與n的關(guān)系是什么，由nk到nk1時(shí)項(xiàng)數(shù)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)等【典型例題1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nn)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，所以等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kn)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，.所以當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)(2)知等式對(duì)nn成立探究二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，在利用了歸納假設(shè)后，要注意根據(jù)欲證目標(biāo)，靈活地運(yùn)用比較法、放縮法等技巧來進(jìn)行證明【典型例題2】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(其中nn，n1)思路分析：按照數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題的方法與步驟進(jìn)行證明，在由nk證nk1成立時(shí)，可利用比較法或放縮法證得結(jié)論證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1，右邊，10，所以左邊右邊，即不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kn)時(shí)，不等式成立，即1 ，則當(dāng)nk1時(shí)，1 .(方法1)因?yàn)?，所以，即1 .(方法2)因?yàn)?，所? .即當(dāng)nk1時(shí)原不等式也成立，由(1)(2)知原不等式成立點(diǎn)評(píng) 本例中在應(yīng)用歸納假設(shè)后，方法1是利用了比較法，方法2是利用了放縮法來進(jìn)行后面的證明探究三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題與正整數(shù)有關(guān)的整除性問題常用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明的關(guān)鍵在于第二步中，根據(jù)歸納假設(shè)，將nk1時(shí)的式子進(jìn)行增減項(xiàng)、倍數(shù)調(diào)整等變形，使之能與歸納假設(shè)聯(lián)系起來【典型例題3】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nn)思路分析：在第二步時(shí)注意根據(jù)歸納假設(shè)進(jìn)行拼湊證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，13233336能被9整除，所以結(jié)論成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn，k1)時(shí)結(jié)論成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除則當(dāng)nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3)因?yàn)閗3(k1)3(k2)3能被9整除，9(k23k3)也能被9整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除，即nk1時(shí)結(jié)論也成立由(1)(2)知命題對(duì)一切nn成立探究四 歸納猜想證明1由已知條件首先計(jì)算數(shù)列an的前幾項(xiàng)的值，根據(jù)前幾項(xiàng)值的特點(diǎn)，猜想出數(shù)列an的通項(xiàng)公式或遞推公式，利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明是求數(shù)列通項(xiàng)的一種常見的方法2在對(duì)猜想得到的結(jié)論用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí)，要注意從歸納的過程中發(fā)現(xiàn)證明的方法【典型例題4】 某數(shù)列的第一項(xiàng)為1，并且對(duì)所有的自然數(shù)n2，數(shù)列的前n項(xiàng)之積為n2.(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)；(2)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明思路分析：根據(jù)數(shù)列前五項(xiàng)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)變化的關(guān)系，歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律同時(shí)還要特別注意第一項(xiàng)與其他各項(xiàng)的差異，必要時(shí)可分段表示證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可用數(shù)學(xué)歸納法解：(1)已知a11，由題意，得a1a222，a222.a1a2a332，a3.同理，可得a4，a5.因此該數(shù)列的前五項(xiàng)為1,4，.(2)觀察這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)，猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)為an下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n2，nn時(shí)，an.當(dāng)n2時(shí)，a222，猜想正確假設(shè)當(dāng)nk(k2，kn)時(shí)，猜想正確，即ak.a1a2ak1(k1)2，a1a2ak1akak1(k1)2，ak1，當(dāng)nk1時(shí)，猜想也正確根據(jù)和，可知當(dāng)n2，nn時(shí)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an.an探究五 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：因不運(yùn)用歸納假設(shè)而出錯(cuò)【典型例題5】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nn)錯(cuò)證：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kn)時(shí)等式成立，那么當(dāng)nk1時(shí)，直接使用裂項(xiàng)相減法求得，即當(dāng)nk1時(shí)等式成立由(1)和(2)，可知等式對(duì)一切nn都成立錯(cuò)因分析：由nk到nk1時(shí)等式的證明沒有用歸納假設(shè)，而是運(yùn)用了數(shù)列中的求和方法證得的，雖然結(jié)論正確，但沒有運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，不符