波利亞-怎樣解題.doc

波利亞 - 怎樣解題 波利亞1887年出生在匈牙利，青年時期曾在布達佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀數(shù)學、物理和哲學，獲博士學位。1914年在蘇黎世著名的瑞士聯(lián)邦理工學院任教。1940年移居美國，1942年起任美國斯坦福大學教授。他一生發(fā)表達200多篇論文和許多專著，他在數(shù)學的廣闊領域內有精深的造詣，對實變函數(shù)、復變函數(shù)、概率論、縱使數(shù)學、數(shù)論，幾何和微分方程等若干分支領域都做出了開創(chuàng)性的貢獻，留下了以他的名字命名的術語和定理。他是法國科學院、美國全國科學院和匈牙利科學院的院士，不愧為一位杰出的數(shù)學家。 波利亞熱心數(shù)學教育，十分重視培養(yǎng)學生思考問題分析問題的能力。他認為中學數(shù)學教育的根本宗旨是“教會年輕人思考”。教師要努力啟發(fā)學生自己發(fā)現(xiàn)解法，從而從根本上提高學生的解題能力。 波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成怎樣解題一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張怎樣解題表。在這張包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現(xiàn)計劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實際上就是“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個求解計劃?！彼褜ふ也l(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和23個具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程的“慢動作鏡頭”，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著。 波利亞的怎樣解題表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧。“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試指出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方式重新敘述它？.” 波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學時解決問題的過程。實際上是他解決研究問題時的思維過程的總結。這正是數(shù)學家在研究數(shù)學教育，特別是研究解題教學時的優(yōu)勢所在，絕非“紙上談兵”。仔細想一想，我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到罷了?，F(xiàn)在波利亞把這些問題和建議去尋找解法，這樣，在解題的過程中，也使自己的思維受到良好的訓練。久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習慣。而這是比任何具體的數(shù)學知識重要得多的東西。 波利亞的怎樣解題被譯成16種文字，僅平裝本就銷售100萬冊以上。著名數(shù)學家瓦爾登1952年2月2日在瑞士蘇黎世大學的會議致詞中說：“每個大學生，每個學者，特別是每個老師都應該讀讀這本引人入勝的書”。我想，波利亞關于怎樣解題的思想對于廣大中學生同樣也是非常需要的和有益的.第二部分怎樣解題一段對話1熟悉問題我應該從哪兒開始?從問題的敘述開始。我能做什么?觀察揣摩整個問題，盡量使其清晰而鮮明。暫時先拋開細節(jié)。這樣做，我能得到什么好處?你會明白問題，使自己熟悉問題，并把問題的目標牢記在腦海中。這樣全神貫注地對待問題也會調動起你的記憶力，做好準備去重新聯(lián)想與問題有關的各點。2深入理解問題我應該從哪兒開始?還是從問題的敘述開始。當你對問題的敘述已如此清楚并已深深地印入腦海，以致你即使暫時不去看它，你也不怕把它完全忘掉時，你就可以開始下面的工作了。我能做什么?先把問題的主要部分剖析出來。因為前提與結論是“求證題”的主要部分。未知、已知與條件是“求解題”的主要部分。再把問題中的主要部分都弄一遍，并且要逐個地考慮，輪流地考慮，而且在各種組合中來考慮，同時把每個細節(jié)與其它細節(jié)聯(lián)系起來，把每個細節(jié)與整個問題聯(lián)系起來。這么做，我能得到什么好處?你會準備好并弄清楚以后可能起作用的細節(jié)。3探索有益的念頭應該從哪兒開始?從考慮問題的主要部分開始。當主要部分能很清楚地排列出來，想得明明白白(這應歸功于你前面的工作)并且也記得住時，這時開始做下一步。怎樣進行?從各個方面來考慮你的問題，找出與你現(xiàn)有知識有關之處。從各個方面考慮你的問題。分別突出各個部分，考察各個細節(jié)，用不同方法反復審查同一細節(jié)。把細節(jié)用不同方式組合起來，從不同角度考慮它。試著在每一細節(jié)中發(fā)現(xiàn)某些新意義，嘗試在整個問題中得出某些新解釋。從你現(xiàn)有知識中找出與問題有關之處。試想過去在類似的情況下有什么曾幫過你的忙。在你所考察的內容中，設法找出熟悉的東西來，在你所熟悉的東西中，努力找出有用的東西來。能找出什么?一個有用的念頭，也許是個決定性的念頭，它能使你一限看出解決問題的途徑。念頭有什么用?它會給你指出整個或部分解題途徑，它或多或少地清楚地向你建議該怎么做。念頭多多少少還是完整的。如果你有一個念頭，你就夠幸運的了。碰上一個不完整的念頭怎么辦?應該加以考慮。如果它看來有好處，就應該多考慮一會兒。如果它看來是可靠的，你應當確定它能引導你走多遠，并重新考慮一下形勢。由于這個有益的念頭，情況已經變化了。你要從各個方面來考慮新形勢并找出它與你現(xiàn)有知識之間的聯(lián)系。再次這樣做，還能得到什么好處?如果你走運的話，你或許能找到另一個念頭。也許下一個念頭會引導你去解決問題。也許在下一個念頭以后，你還需要幾個有益的念頭。也許有些念頭會把你引入歧途。無論如何，你應當感謝所有的新念頭，感謝那些次要的念頭，感謝那些模糊的念頭，也感謝那些使模糊念頭得以糾正的補充性念頭。即使你暫時還沒有發(fā)現(xiàn)什么有價值的新念頭，但如果你對問題的概念更完全了，或者更連貫、更和諧或者更平衡了，那你也應當表示感謝。4實現(xiàn)計劃應該從哪兒開始?從引導到解決問題的思路開始。當你感到你已抓住主要的聯(lián)系，并且自信能提供可能需要的次要細節(jié)時，就開始。怎幺做?你對問題應抓得很有把握。詳細地進行你以前認為可行的全部代數(shù)或幾何運算。用形式推理或直接觀察檢查每一步驟的正確性，或者，如果你能夠的話，兩種方法都用。如果你的問題很復雜，你可以分成“大”步驟和“小”步驟，每一大步驟又由幾個小步驟組成。首先檢查大步驟，以后再檢驗小步驟。這樣做，我能有什么好處?這樣提出的解，每個步驟無疑都是正確的。5回顧應該從哪兒開始?從解答開始，它的每一個細節(jié)都應該是完整而正確的，怎么做?從各個方面考慮這個解，找出與你已有知識之間的聯(lián)系?？紤]解的細節(jié)，并嘗試使它們盡可能地簡單；研究解答中較冗長的部分，使它們更短些；試著一眼就看出整個解。試著去改進解的各部分，嘗試去改進整個解，使它直觀，使它盡量自然地適合于你已有的知識?？偨Y你解題的方法，嘗試看出它的要點，并且嘗試