空間向量與立體幾何知識總結(jié)(高考必備!).doc

輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 授課教師： 全國章年級： 高二上課時間： 教材版本：人教版 總課時：已上課時： 課時學(xué)生簽名：課 題 名 稱 教 學(xué) 目 標(biāo)重點、難點、考點教學(xué)步驟及內(nèi)容空間向量與立體幾何一、空間直角坐標(biāo)系的建立及點的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量，設(shè)（單位正交基底）為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)二、空間向量的直角坐標(biāo)運算律（1）若，則，（2）若，則一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。（3）三、空間向量直角坐標(biāo)的數(shù)量積1、設(shè)是空間兩個非零向量，我們把數(shù)量叫作向量的數(shù)量積，記作，即 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0。2、模長公式3、兩點間的距離公式：若，則，或4、夾角： 注：是兩個非零向量）；。5、 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：6、運算律； ； 四、直線的方向向量及平面的法向量1、直線的方向向量：我們把直線上的向量以及與共線的向量叫做直線的方向向量2、平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量。注：若，則稱直線為平面的法線；平面的法向量就是法線的方向向量。給定平面的法向量及平面上一點的坐標(biāo)，可以確定一個平面。3、在空間求平面的法向量的方法：（1）直接法：找一條與平面垂直的直線，求該直線的方向向量。（2）待定系數(shù)法：建立空間直接坐標(biāo)系設(shè)平面的法向量為ABCDE在平面內(nèi)找兩個不共線的向量和建立方程組：解方程組，取其中的一組解即可。五、證明1、證明兩直線平行已知兩直線和, ,則存在唯一的實數(shù)使2、證明直線和平面平行（1）已知直線且三點不共線，則存在有序?qū)崝?shù)對使（2）已知直線和平面的法向量,則3、證明兩個平面平行已知兩個不重合平面,法向量分別為,則4、證明兩直線垂直已知直線。，則5、證明直線和平面垂直已知直線，且A、B,面的法向量為,則6、證明兩個平面垂直已知兩個平面,兩個平面的法向量分別為,則六、計算角與距離1、求兩異面直線所成的角已知兩異面直線，則異面直線所成的角為：例題【空間向量基本定理】 例1.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點，且M分成定比2，N分PD成定比1，求滿足的實數(shù)x、y、z的值。分析;結(jié)合圖形，從向量出發(fā)，利用向量運算法則不斷進行分解，直到全部向量都用、表示出來，即可求出x、y、z的值。如圖所示，取PC的中點E，連接NE，則。點評：選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的一項基本功，要結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運算法則和公式等，就近表示所需向量。再對照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要求的向量當(dāng)作新的所需向量，如此繼續(xù)下去，直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止，這就是向量的分解。有分解才有組合，組合是分解的表現(xiàn)形式?？臻g向量基本定理恰好說明，用空間三個不共面的向量組可以表示出空間任意一個向量，而且a,b,c的系數(shù)是惟一的?！纠每臻g向量證明平行、垂直問題】 例2.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EFPB于點F。（1）證明：PA/平面EDB；（2）證明：PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小。 點評：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量 （2）證明線面平行的方法： 證明直線的方向向量與平面的法向量垂直； 證明能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線； 利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量 （3）證明面面平行的方法： 轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理； 證明這兩個平面的法向量是共線向量 （4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直 （5）證明線面垂直的方法： 證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量； 證明直線與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直 （6）證明面面垂直的方法： 轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理； 證明兩個平面的法向量互相垂直【用空間向量求空間角】 例3.正方形ABCD中，E、F分別是，的中點，求：（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角CAEF的余弦值的大小。 點評：（1）兩條異面直線所成的角可以借助這兩條直線的方向向量的夾角求得，即。（2）直線與平面所成的角主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即或（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角。【用空間向量求距離】 例4.長方體ABCD中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點，求：（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。 本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運用向量坐標(biāo)法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個新的熱點?，F(xiàn)列出幾類問題的解決方法。（1）平面的法向量的求法：設(shè)，利用n與平面內(nèi)的兩個向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解。（2）線面角的求法：設(shè)是平面的一個法向量，是平面的斜線l的一個方向向量，則直線與平面所成角為 （3）二面角的求法：AB，CD分別是二面角的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。設(shè)分別是二面角的兩個平面的法向量，則就是二面角的平面角或其補角。（4）異面直線間距離的求法：是兩條異面直線，n是的公垂線段AB的方向向量，又C、D分別是上的任意兩點，則。（5）點面距離的求法：設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點B到平面的距離為。（6）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離再用（5）中方法求解。 練習(xí)：1.若等邊的邊長為，平面內(nèi)一點滿足，則_ 2在空間直角坐標(biāo)系中，已知點A（1，0，2），B(1，-3，1)，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是_。3.（本小題滿分12分）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II) 證明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。 4（本題滿分15分）如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，的中點， （I）設(shè)是的中點，證明：平面； （II）證明：在內(nèi)存在一點，使平面，并求點到，的距離5.如圖，四棱錐的底面是正方形，點E在棱PB上.（）求證：平面； （）當(dāng)且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.課 后 評 價一、學(xué)生對于本次課的評價 特別滿意 滿意 一般 差二、教師