空間向量與立體幾何高考題匯編.doc

1.（2009北京卷）（本小題共14分）如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)E在棱PB上.（）求證：平面； （）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小.解:如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)則，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)， 設(shè)ACBD=O，連接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO為AE與平面PDB所的角， ，即AE與平面PDB所成的角的大小為.2.(2009山東卷)（本小題滿分12分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點(diǎn)。（1） 證明：直線EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 解法二:（1）因?yàn)锳B=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點(diǎn),E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 所以BF=BC=CF,BCF為正三角形, 因?yàn)锳BCD為等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取AF的中點(diǎn)M,連接DM,則DMAB,所以DMCD,以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,設(shè)平面CC1F的法向量為則所以取,則,所以,所以直線EE/平面FCC. （2）,設(shè)平面BFC1的法向量為,則所以,取,則, 所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為. 3.（2009全國(guó)卷）（本小題滿分12分） 如圖，直三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，平面 （I）證明：（II）設(shè)二面角為60，求與平面所成的角的大小。（I）分析一：連結(jié)BE，為直三棱柱， 為的中點(diǎn)，。又平面，（射影相等的兩條斜線段相等）而平面，（相等的斜線段的射影相等）。分析二：取的中點(diǎn)，證四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證，得也可。分析三：利用空間向量的方法。具體解法略。（II）分析一：求與平面所成的線面角，只需求點(diǎn)到面的距離即可。作于，連，則，為二面角的平面角，.不妨設(shè)，則.在中，由，易得. 設(shè)點(diǎn)到面的距離為，與平面所成的角為。利用，可求得，又可求得 即與平面所成的角為分析三：利用空間向量的方法求出面的法向量，則與平面所成的角即為與法向量的夾角的余角。具體解法詳見高考試題參考答案?？傊谀壳?，立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半壁江山的狀況。命題人在這里一定會(huì)兼顧雙方的利益4.（2009全國(guó)卷）(本小題滿分12分) 如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)在側(cè)棱上，。 （I）證明：是側(cè)棱的中點(diǎn)；求二面角的大小。 解法二、分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則。SABCDMzxy（）設(shè)，則，由題得，即解之個(gè)方程組得即所以是側(cè)棱的中點(diǎn)。 法2：設(shè)，則又故，即，解得，所以是側(cè)棱的中點(diǎn)。（）由（）得，又，設(shè)分別是平面、的法向量，則且，即且分別令得，即， 二面角的大小。5.（2009天津卷）（本小題滿分12分）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線BF與DE所成的角的大小；(II) 證明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。 方法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得 （I） 所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明： ， （III） 又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為 6.（2009年上海卷）（本題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，,求二面角的大小。 【解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系則A（2，0，0）、 C（0，2，0） A1（2，0，2），w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） 2分設(shè)AC的中點(diǎn)為M，BMAC, BMCC1;BM平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一個(gè)法向量。5分設(shè)平面的一個(gè)法向量是 =（x，y，z）， =（-2，2，-2）， =（-2，0，0） 7分 設(shè)法向量的夾角為，二面角的大小為，顯然為銳角.14分7（2010湖南）18.（本小題滿分12分）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點(diǎn)（）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；（）證明：平面ABM平面A1B1M118.解 ）如圖，因?yàn)?，所以異面直線和所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，?1，故. 即異面直線和所成的角的正切值為（）由平面，BM平面，得 BM 由（）知， ，所以，從而BMB1M 又, 再由 得BM平面A1B1M，而BM平面ABM，因此平面ABM平面A1B1M.8.（2010遼寧理數(shù)）（19）（本小題滿分12分）已知三棱錐PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).（）證明：CMSN；（）求SN與平面CMN所成角的大小.證明：設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）.4分（）,因?yàn)?，所以CMSN 6分（）,設(shè)a=（x，y，z）為平面CMN的一個(gè)法向量，則 9分因?yàn)樗許N與片面CMN所成角為45。 12分9.（2010江西理數(shù)）20. （本小題滿分12分）如圖BCD與MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。（1） 求點(diǎn)A到平面MBC的距離；（2） 求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值。解法二：取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OBCD，OMCD，又平面平面,則MO平面.以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.OB=OM=，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），（1）設(shè)是平面MBC的法向量，則，由得；由得；取，則距離（2），.設(shè)平面ACM的法向量為，由得.解得，取.又平面BCD的法向量為，則設(shè)所求二面角為，則.10（2010四川）（18）（本小題滿分12分）已知正方體ABCDABCD的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn)，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn).（）求證：OM為異面直線AA和BD的公垂線；（）求二面角MBCB的大?。唬ǎ┣笕忮FMOBC的體積. 以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1)(1)因?yàn)辄c(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn),點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)所以M(1,0, ),O(,),=(0,0,1),=(-1,-1,1) =0, +0=0所以O(shè)MAA,OMBD又因?yàn)镺M與異面直線AA和BD都相交故OM為異面直線AA和BD的公垂線.4分(2)設(shè)平面BMC的一個(gè)法向量為=(x,y,z)=(0,-1,), (1,0,1) 即取z2,則x2,y1，從而=(2,1,2) 取平面BCB的一個(gè)法向量為(0,1,0)cos由圖可知，二面角M-BC-B的平面角為銳角故二面角M-BC-B的大小為arccos9分(3)易知，SOBCSBCDA設(shè)平面OBC的一個(gè)法向量為(x1,y1,z1) (1,1,1), (1,0,0) 即取z11,得y11，從而(0,1,1)點(diǎn)M到平面OBC的距離dVMOBC12分11（2010全國(guó)卷1理數(shù)）（19）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點(diǎn)，平面EDC平面SBC .（）證明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .12.（11廣東理18） 如圖5在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的棱形，且DAB=60，,PB=2,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn)（1） 證明：AD 平面DEF;（2） 求二面角P-AD-B的余弦值法二：（1）取AD中點(diǎn)為G，因?yàn)橛譃榈冗吶切危虼?，從而平面PBG。延長(zhǎng)BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，所以PO 平面ABCD。以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，直線OB，OP分別為軸，z軸，平行于AD的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。設(shè)由于得平面DEF。 （2）取平面ABD的法向量設(shè)平面PAD的法向量由取13.（11湖南理19） 如圖5，在圓錐中，已知=，O的直徑,是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：平面平面;（）求二面角的余弦值。解法2：（I）如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、OP所在直線分別為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是平面POD的一個(gè)法向量，則由，得所以設(shè)是平面PAC的一個(gè)法向量，則由，得所以得。因?yàn)樗詮亩矫嫫矫鍼AC。（II）因?yàn)閥軸平面PAB，所以平面PAB的一個(gè)法向量為由（I）知，平面PAC的一個(gè)法向量為設(shè)向量的夾角為，則由圖可知，二面角BPAC的平面角與相等，所以二面角BPAC的余弦值為14.（11遼寧理18） 如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）證明：平面PQC平面DCQ；（II）求二面角QBPC的余弦值解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz. （I）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.則所以即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. 6分 （II）依題意有B（1，0，1），設(shè)是平面PBC的法向量，則因此可取設(shè)m是平面PBQ的法向量，則可取故二面角QBPC的余弦值為 12分15.（11全國(guó)大綱理19） 如圖，四棱錐中， ,，側(cè)面為等邊三角形，（）證明：;（）求與平面所成角的大小解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CD為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz。設(shè)D（1，0，0），則A（2，2，0）、B（0，2，0）。又設(shè) （I），由得故x=1。由又由即3分于是，故所以平面SAB。6分 （II）設(shè)平面SBC的法向量，則又故9分取p=2得。故AB與平面SBC所成的角為16.（11全國(guó)新課標(biāo)理18） 如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，底面