用二分法求方程的近似解知識(shí)點(diǎn).doc

用二分法求方程的近似解1.二分法：對(duì)于區(qū)間a,b上連續(xù)不斷、且f(a)f(b)0的函數(shù)y=f(x),通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法（bisection）函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)是二分法求函數(shù)變號(hào)零點(diǎn)近似值的重要依據(jù)必須是滿(mǎn)足區(qū)間a,b上連續(xù)不斷、且f(a)f(b)0這兩個(gè)條件的函數(shù)才能用二分法求得零點(diǎn)的近似值2.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)給定精確度,用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下:1.確定區(qū)間a,b,驗(yàn)證f(a)f(b)0，給定精確度；2.求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)；3.計(jì)算 f（x1）：（1）若f(x1)=0，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若f(a) f(x1)0，則令b= x1（此時(shí)零點(diǎn)x0(a, x1) );（3）若f(x1) f(b)0，則令a= x1（此時(shí)零點(diǎn)x0( x1,b); 4判斷是否達(dá)到精確度，即若|a-b| ，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)，否則重復(fù)步驟243.用二分法求方程近似解不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一個(gè)正的近似解（精確到0.1）， ，怎樣理解是否達(dá)到精度要求了？設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為x0，則ax0b作出數(shù)軸，在數(shù)軸上標(biāo)出a、b、x0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所以0x0-ab-a, a-bx0-b0由于|a-b|，所以|x0-a|b-a, x0-b|a-b|，即a或b作為函數(shù)的零點(diǎn)x0的近似值都達(dá)到給定的精確度 由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們可用二分法來(lái)求方程的近似解 由于計(jì)算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟，因此，我們可以通過(guò)設(shè)計(jì)一定的計(jì)算程序，借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)完成計(jì)算在計(jì)算器或計(jì)算機(jī)中安裝一個(gè)方程數(shù)值解法的程序，當(dāng)我們輸入相應(yīng)的方程，并給出精確度（有效數(shù)字）后，計(jì)算器或計(jì)算機(jī)就會(huì)依據(jù)程序進(jìn)行運(yùn)算了例 借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精確到0.1）解 原方程即2x+3x-7 =0，令f(x)=2x+3x-7，借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出該函數(shù)的圖象與對(duì)應(yīng)值表解 原方程即2x+3x-7 =0，令f(x)=2x+3x-7，借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出該函數(shù)的圖象與對(duì)應(yīng)值表x0123456 7 8f(x)-6-2310214075142 273觀(guān)察圖表，可知： f(1) f(2)0，說(shuō)明這個(gè)函數(shù)在區(qū)間（1，2）內(nèi)由零點(diǎn)下面是求方程近似解的框圖，根據(jù)框圖，可選擇一種計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，寫(xiě)出程序，并在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行后得出結(jié)果4.二分法不僅僅用于求函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根,它在現(xiàn)實(shí)生活中也有許多重要的應(yīng)用,常用于：查找線(xiàn)路電線(xiàn)、水管、氣管等管道線(xiàn)路故障，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、資料查詢(xún)等。在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里,從某水庫(kù)閘房到防洪指揮部的電話(huà)線(xiàn)路發(fā)生了故障.這是一條10km長(zhǎng)的線(xiàn)路,如何迅速查出故障所在? 如果沿著線(xiàn)路一小段一小段查找,困難很多.每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線(xiàn)桿子,10km長(zhǎng),大約有200多根電線(xiàn)桿子呢.想一想,維修線(xiàn)路的工人師傅怎樣工作最合理？如圖,設(shè)閘門(mén)和指揮部的所在處為點(diǎn)A,B, （1）首先從中點(diǎn)C查；（2）用隨身帶的話(huà)機(jī)向兩端測(cè)試時(shí),發(fā)現(xiàn)AC段正常,斷定故障在BC段；（3）再到BC段中點(diǎn)D；（4）這次發(fā)現(xiàn)BD段正常,可見(jiàn)故障在CD段；（5）再到CD中點(diǎn)E來(lái)看；（6）這樣每查一次,就可以把待查的線(xiàn)路長(zhǎng)度縮減一半，要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50100m左右，即一兩根電線(xiàn)桿附近，要檢查77次.從上海到美國(guó)舊金山的海底電纜有15個(gè)節(jié)點(diǎn)，現(xiàn)在某節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障，需及時(shí)修理，為盡快斷定故障發(fā)生點(diǎn)，一般至少需要檢查節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為多少？（要檢查節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)）下列函數(shù)圖像與x軸均有交點(diǎn)，但不宜用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是( B ) 方程lnx+2x=6在區(qū)間上的根必定屬于區(qū)間( B ) A（-2,1） B（2.5,4） C （1，74） D（74，52）函數(shù)f(x)=x2+4x+4在區(qū)間-4,-1上( B )A.沒(méi)有零點(diǎn) B.有一個(gè)零點(diǎn) C.有兩個(gè)零點(diǎn) D.有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)5.用二分法求方程f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解基本步驟：尋找解所在區(qū)間 （1）圖像法：先畫(huà)出y=f(x)圖象，觀(guān)察圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)所處的范圍；或畫(huà)出y=g(x)和y=h(x)的圖象，觀(guān)察兩圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)所處的范圍。（2）函數(shù)性態(tài)法：把方程均轉(zhuǎn)換為f(x)=0 的形式，再利用函數(shù)y=f(x)的有關(guān)性質(zhì)（如單調(diào)性），來(lái)判斷解所在的區(qū)間。不斷二分解所在的區(qū)間若x(a,b),不妨設(shè)f(a)0(1)若f(a+b)2)0,由f(a)0,則x(a, (a+b)2);(2) 若f(a+b)2)0,則x(a+b)2,b);(3)若f(a+b)2)=0,則x=(a+b)2;對(duì)(1)、(2)兩種情形再繼續(xù)二分法所在的區(qū)間。根據(jù)精確度得出近似解, 當(dāng)x(m,n),且m,n根據(jù)精確度得到的近似值均為同一個(gè)值p時(shí)，則x p，即求得了近似解。【例】在用二分法求方程的近似解時(shí)，若初始區(qū)間是（1，5），精確度要求是0.001，則需要計(jì)算的次數(shù)是 根據(jù)計(jì)算精確度與區(qū)間長(zhǎng)度和計(jì)算次數(shù)的關(guān)系確定.設(shè)需計(jì)算n次，則n滿(mǎn)足42n0.001，即2n4000.由于211=2048，212=4096,故計(jì)算12次就可以滿(mǎn)足精確度要求故填12.在用二分法求方程的近似解時(shí)，精確度與計(jì)算次數(shù)、區(qū)間長(zhǎng)度之間存在緊密的聯(lián)系,可以根據(jù)其中兩個(gè)量求得另一個(gè).當(dāng)然,在實(shí)際求解過(guò)程中也可能用不到12次,也許11次,甚至10次即可解決問(wèn)題，但前提是到結(jié)束時(shí),區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)精確到與所要求的精確度的近似值相同.【例】方程f（x）=0在0，1內(nèi)的近似解，用二分法計(jì)算到x10=0.445達(dá)到精確度要求，求所取誤差限根據(jù)計(jì)算精確度與區(qū)間長(zhǎng)度和計(jì)算次數(shù)的關(guān)系滿(mǎn)足ba2n+1精確度確定解：由題知計(jì)算了10次滿(mǎn)足精確度要求，所以（ba）（2n+1）=1211=120480.00049，故所取誤差限是0.