線性代數(shù)B期末試卷及答案.doc

精品文檔2008 2009學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù)B試卷 2009年6月22日 一二三四五六總分得 分 一、填空題（共6小題，每小題 3 分，滿分18分）1. 設(shè)，則.2. 為階方陣,且 .3設(shè)方陣 B為三階非零矩陣，且AB=O，則 .4. 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，向量b不能由它們線性表示，則向量組b 的秩為 .5設(shè)A為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，且|A|0，則二次型f =x TA x化為f =yTA-1 y的線性變換是x= 設(shè)的兩組基為，；T，則由基到基的過(guò)渡矩陣為 . 得 分 二、單項(xiàng)選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分）1. 設(shè)Dn為n階行列式，則Dn0的必要條件是 .(A) Dn中有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例；(B) Dn中各行元素之和為零； (C) Dn中有一行元素全為零；(D)以Dn為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解2若向量組a，b，g 線性無(wú)關(guān)，a，b，s 線性相關(guān)，則 .(A) a必可由b，g，s 線性表示；(B) b必可由a，g，s 線性表示；(C) s必可由b，g，a 線性表示；(D) g必可由b，a，s 線性表示.設(shè)3階方陣A有特征值0，1，1，其對(duì)應(yīng)的特征向量為P1，P2，P3，令P(P1，P2，P3)，則P1AP .(A)； (B) ； (C) ； (D) 設(shè)1，2，3線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是 .(A)1，2，3 - 1； (B)1，1+2，1+3；(C)1+2，2+3，3+1； (D)1-2，2-3，3-1.若矩陣A34有一個(gè)3階子式不為0，則A的秩() = . (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4 實(shí)二次型fxTAx為正定的充分必要條件是 . (A) A的特征值全大于零； (B) A的負(fù)慣性指數(shù)為零； (C) |A| 0 ； (D) R(A) = n .得 分 三、解答題（共5小題，每道題8分，滿分40分）1.求的值. 求向量組,的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余的向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表出.設(shè)A、P均為3階矩陣，且若P=(1,2,3),Q=(1+2,2,3),求QTAQ4設(shè)是階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，若，求.5.設(shè)矩陣相似于對(duì)角矩陣L，求a.得 分 四、（本題滿分10分）對(duì)線性方程組(1) 若兩兩不等，問(wèn)方程組是否有解，為什么？(2)若, (b0)，且已知方程的兩個(gè)解, ，試給出方程組的通解得 分 五、（本題滿分8分）設(shè)二次曲面方程（）經(jīng)正交變換，化成，求、的值及正交矩陣Q.得 分 六、（本題滿分6分）設(shè)A為n階實(shí)矩陣，為A的對(duì)應(yīng)于實(shí)特征值的特征向量，為AT的對(duì)應(yīng)于實(shí)特征值的特征向量，且，證明與正交2008 2009學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù)B試卷參考答案 2009年6月22日 一二三四五六總分得 分 一、填空題（共6小題，每小題 3 分，滿分18分）1. 設(shè)，則2.2. 為階方陣,且 0 .3設(shè)方陣 B為三階非零矩陣，且AB=O，則 -3 .4. 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，向量b不能由它們線性表示，則向量組b 的秩為 m+1.5設(shè)A為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，且|A|0，則二次型f =x TA x化為f =yTA-1 y的線性變換是x=_ 設(shè)的兩組基為，；,，則由基到基的過(guò)渡矩陣P=得 分 二、單項(xiàng)選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分）1. 設(shè)為n階行列式，則0的必要條件是D.(A) 中有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例；(B) 中各行元素之和為零； (C)中有一行元素全為零；(D)以為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解2若向量組a，b，g 線性無(wú)關(guān)，a，b，s 線性相關(guān)，則 C .(A) a必可由b，g，s 線性表示. (B) b必可由a，g，s 線性表示. (C) s必可由b，g，a 線性表示. (D) g必可由b，a，s 線性表示.設(shè)3階方陣A有特征值0，1，1，其對(duì)應(yīng)的特征向量為P1，P2，P3，令P(P1，P2，P3)，則P1AP B .(A)； (B) ； (C) ；(D) 設(shè)1，2，3線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是 D （A）1，2，3 - 1； （B）1，1+2，1+3；（C）1+2，2+3，3+1； （D）1-2，2-3，3-1.若矩陣有一個(gè)3階子式不為0，則 C . （A）()=1； （B） ()=2； （C） ()=3；（D） ()=4 實(shí)二次型fxAx為正定的充分必要條件是 A (A) A的特征值全大于零； (B) A的負(fù)慣性指數(shù)為零； (C) |A| 0 ； (D) R(A) = n.得 分 三、解答題（共5小題，每道題8分，滿分40分）1.求的值解：. 求向量組,的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余的向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表出.解：極大無(wú)關(guān)組， ，.設(shè)A、P均為3階矩陣，且若P=(1,2,3),Q=(1+2,2,3),求QTAQ解：由于Q=(1+2,2,3)= (1,2,3) 于是QTAQ=4設(shè)是階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，若，求.解: 由知, 的特征值-2或0,又,且是階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,則(k個(gè)-2)，故5.設(shè)矩陣相似于對(duì)角矩陣L，求a.解： 由|A-E|=0，得A的三個(gè)特征值1=2=6，3= -2.由于A相似于對(duì)角矩陣，R（A-6E）=1，即，顯然，當(dāng)a=0時(shí)，R（A-6E）=1，A的二重特征值6對(duì)應(yīng)兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量得 分 四、（本題滿分10分）對(duì)線性方程組(1) 若兩兩不等，問(wèn)方程組是否有解，為什么？(2)若, (b0)，且已知方程的兩個(gè)解, ，試給出方程組的通解解：（1）因?yàn)?，故，無(wú)解（2），故通解得 分 五、（本題滿分8分）設(shè)二次曲面的方程）經(jīng)正交變換，化成，求、的值及正交矩陣Q.解：設(shè)，由知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得 分 故正交陣.六、（本題滿分6分）設(shè)A為n階實(shí)矩陣，為A的對(duì)應(yīng)于實(shí)特征值的特征向量，為AT的對(duì)應(yīng)于實(shí)特征值的特征向量，且，證明與正交證 ：依題意得A=，