多元統(tǒng)計(jì)分析：第二章 多元正態(tài)分布及.ppt

1 應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 在多元統(tǒng)計(jì)分析中 多元正態(tài)分布占有相當(dāng)重要的地位 這是因?yàn)樵S多實(shí)際問題涉及到的隨機(jī)向量服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布 當(dāng)樣本量很大時(shí) 許多統(tǒng)計(jì)量的極限分布往往和正態(tài)分布有關(guān) 此外 對(duì)多元正態(tài)分布 理論與實(shí)踐都比較成熟 已有一整套行之有效的統(tǒng)計(jì)推斷方法 基于這些理由 我們?cè)诮榻B多元統(tǒng)計(jì)分析的種種具體方法之前 首先介紹多元正態(tài)分布的定義 性質(zhì)及多元正態(tài)分布中參數(shù)的估計(jì)問題 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 3 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)目錄 2 1隨機(jī)向量 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 2 3條件分布和獨(dú)立性 2 4多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì) 4 本課程所討論的是多變量總體 把p個(gè)隨機(jī)變量放在一起得X X1 X2 Xp 為一個(gè)p維隨機(jī)向量 如果同時(shí)對(duì)p維總體進(jìn)行一次觀測 得一個(gè)樣品為p維數(shù)據(jù) 常把n個(gè)樣品排成一個(gè)n p矩陣 稱為樣本資料陣 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 1隨機(jī)向量 5 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 1隨機(jī)向量 其中X i i 1 n 是來自p維總體的一個(gè)樣品 X1 X2 Xp def 6 在多元統(tǒng)計(jì)分析中涉及到的都是隨機(jī)向量 或是多個(gè)隨機(jī)向量放在一起組成的隨機(jī)矩陣 本節(jié)有關(guān)隨機(jī)向量的一些概念 聯(lián)合分布 邊緣分布 條件分布 獨(dú)立性 X的均值向量 X的協(xié)差陣和相關(guān)陣 X與Y的協(xié)差陣 要求大家自已復(fù)習(xí) 三 均值向量和協(xié)方差陣的性質(zhì) 1 設(shè)X Y為隨機(jī)向量 A B為常數(shù)陣 則E AX A E X E AXB A E X B 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 1隨機(jī)向量 7 D AX A D X A COV AX BY A COV X Y B 2 若X Y相互獨(dú)立 則COV X Y O 反之不成立 若COV X Y O 我們稱X與Y不相關(guān) 故有 兩隨機(jī)向量若相互獨(dú)立 則必不相關(guān) 兩隨機(jī)向量若不相關(guān) 則未必相互獨(dú)立 3 隨機(jī)向量X X1 X2 Xp 的協(xié)差陣D X 是對(duì)稱非負(fù)定陣 即 0 為任給的p維常量 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 1隨機(jī)向量 8 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 1隨機(jī)向量 協(xié)差陣的性質(zhì) 4 L2 其中L為非負(fù)定陣 由于 0 非負(fù)定 利用線性代數(shù)中實(shí)對(duì)稱陣的對(duì)角化定理 存在正交陣 使 9 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 1隨機(jī)向量 協(xié)差陣的性質(zhì) 當(dāng)矩陣 0 正定 時(shí) 矩陣L也稱為 的平方根矩陣 記為 1 2 當(dāng)矩陣 0 正定 時(shí) 必有p p非退化矩陣A使得 AA 10 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 1隨機(jī)向量 協(xié)差陣的性質(zhì) 若 0 非負(fù)定 必有p q矩陣A1使得 A1A1 這里記 1 2 1為p q列正交陣 p q 并設(shè) 11 在一元統(tǒng)計(jì)中 若U N 0 1 則U的任意線性變換X U N 2 利用這一性質(zhì) 可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來定義一般正態(tài)分布 若U N 0 1 則稱X U 的分布為一般正態(tài)分布 記為X N 2 此定義中 不必要求 0 當(dāng) 退化為0時(shí)仍有意義 把這種新的定義方式推廣到多元情況 可得出多元正態(tài)分布的第一種定義 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義 12 定義2 2 1設(shè)U U1 Uq 為隨機(jī)向量 U1 Uq相互獨(dú)立且同N 0 1 分布 設(shè) 為p維常數(shù)向量 A為p q常數(shù)矩陣 則稱X AU 的分布為p維正態(tài)分布 或稱X為p維正態(tài)隨機(jī)向量 記為X Np AA 簡單地說 稱q個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的一些線性組合構(gòu)成的隨機(jī)向量的分布為多元正態(tài)分布 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的第一種定義 13 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)1 在一元統(tǒng)計(jì)中 若X N 2 則X的特征函數(shù)為 t E eitX exp it t2 2 2 14 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)1 15 性質(zhì)1設(shè)U U1 Uq 為隨機(jī)向量 U1 Uq相互獨(dú)立且同N 0 1 分布 令X AU 則X的特征函數(shù)為 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)1 這里t t1 tp 故 X t 為p元函數(shù) 當(dāng)X N 0 1 時(shí) t exp t2 2 16 性質(zhì)1的證明 根據(jù)隨機(jī)向量特征函數(shù)的定義和性質(zhì) 經(jīng)計(jì)算即可得出X的特征函數(shù)為 X t E eit X E eit AU 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)1 令t A s s1 sq 17 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)1 因U1 Uq相互獨(dú)立 乘積的期望等于期望的乘積 18 定義2 2 2若p維隨機(jī)向量X的特征函數(shù)為 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的第二種定義 一元正態(tài) p 1 則稱X服從p維正態(tài)分布 記為X Np 記 AA 則有以下定義 19 性質(zhì)2設(shè)X Np B為s p常數(shù)陣 d為s 1常向量 令Z BX d 則Z Ns B d B B 該性質(zhì)指出正態(tài)隨機(jī)向量的任意線性組合仍為正態(tài)分布 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)2 20 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)2 證明因 0 可分解為 AA 其中A為p q矩陣 已知X Np 由定義2 2 1可知 X AU d表示兩邊的隨機(jī)向量服從相同的分布 其中U U1 Uq 且U1 Uq相互獨(dú)立同N 0 1 分布 d 21 Z BX d B AU d 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)2 d BA U B d 由定義2 2 1可知Z Ns B d BA BA 即 Z Ns B d B B 這里 AA 22 推論設(shè)X Np 將 剖分為 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布性質(zhì)2的推論 則X 1 Nr 1 11 X 2 Np r 2 22 X 1 rX 2 p r 23 證明 由性質(zhì)2可得 類似地 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布性質(zhì)2的推論 24 此推論指出 多元正態(tài)分布的邊緣分布仍為正態(tài)分布 但反之 若隨機(jī)向量的任何邊緣分布均為正態(tài)分布 也不一定能導(dǎo)出該隨機(jī)向量服從多元正態(tài)分布 如例2 1 1 證明了X1 X2均為一元正態(tài)分布 但由 X1 X2 聯(lián)合密度函數(shù)的形式易見它不是二元正態(tài) 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布性質(zhì)2的推論 25 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布性質(zhì)2的推論 例2 1 1 X1 X2 的聯(lián)合密度函數(shù)為 我們從后面將給出的正態(tài)隨機(jī)向量的聯(lián)合密度函數(shù)的形式可知 X1 X2 不是二元正態(tài)隨機(jī)向量 但通過計(jì)算邊緣分布可得出 X1 N 0 1 X2 N 0 1 這就說明若隨機(jī)向量的任何邊緣分布均為正態(tài)分布時(shí) 也不一定能導(dǎo)出該隨機(jī)向量服從多元正態(tài)分布 26 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 簡單例子 例如 設(shè)三維隨機(jī)向量X X1 X2 X3 且 則有 1 X1 N 2 1 27 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 簡單例子 由性質(zhì)2知 Y為3維正態(tài)隨機(jī)向量 且 2 28 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 簡單例子 29 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 簡單例子 3 設(shè)Z 2X1 X2 3X3 試求隨機(jī)變量Z的分布 Z 2X1 X2 3X3 2 1 3 X CX故有 所以Z N 4 29 30 性質(zhì)3若X Np E X D X 證明因 0 可分解為 AA 則由定義2 2 1可知 X AU A為p q實(shí)矩陣 其中U U1 Uq 且U1 Uq相互獨(dú)立同N 0 1 分布 故有E U 0 D U Iq d 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)3 31 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)3 利用均值向量和協(xié)差陣的有關(guān)性質(zhì)可得 此性質(zhì)給出多元正態(tài)分布中參數(shù) 和 的明確統(tǒng)計(jì)意義 是隨機(jī)向量X的均值向量 是隨機(jī)向量X的協(xié)差陣 如簡單例子中 由性質(zhì)2知Z服從正態(tài)分布 利用性質(zhì)3 32 性質(zhì)4設(shè)X X1 Xp 為p維隨機(jī)向量 則X服從p維正態(tài)分布 對(duì)任一p維實(shí)向量a a X是一維正態(tài)隨機(jī)變量 必要性的證明由性質(zhì)2即得 只須取B a d 0即可 充分性的證明 首先說明隨機(jī)向量X的均值和協(xié)方差陣存在 因?qū)θ谓op維實(shí)向量t Rp t X 一元正態(tài)分布 可知 的各階矩存在 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)4 33 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)4 如取t ei 0 1 0 Xi ei X 且E Xi i 1 2 p 存在 E Xi2 i 1 2 p 也存在 再比如取t 0 1 0 1 0 t X Xi Xj 且E E Xi Xj i j 1 2 p 存在 E 2 E Xi Xj 2 E Xi2 2E XiXj E Xj2 也存在 即E XiXj i j 1 2 p 存在 故E Xi Cov Xi Xj E XiXj E Xj E Xi i j 1 p 存在 34 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)4 記E X D X 計(jì)算 的特征函數(shù) 對(duì)任意給定的t Rp 因隨機(jī)變量 t X服從N t t t 故知 的特征函數(shù)為 E ei exp i t 2 t t 2 計(jì)算隨機(jī)向量X的特征函數(shù) 在 的特征函數(shù)中 取 1 即得 35 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的第三種定義 1 E ei E eit X X t exp it t t 2 由定義2 2 2可知 X Np 定義2 2 3若p維隨機(jī)向量X的任意線性組合均服從一元正態(tài)分布 則稱X為p維正態(tài)隨機(jī)向量 36 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2一元正態(tài)分布的密度函數(shù) 在概率論中大家都知道一元正態(tài)隨機(jī)變量的密度函數(shù)是 這個(gè)式子可改寫為 37 作為一元正態(tài)隨機(jī)變量的推廣 以下性質(zhì)來導(dǎo)出多元正態(tài)隨機(jī)向量的聯(lián)合密度函數(shù) 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)5 性質(zhì)5設(shè)X Np 且 0 正定 則X的聯(lián)合密度函數(shù)為 38 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)5 證明 因 0 rk p 由線性代數(shù)的知識(shí)知存在非奇異方陣A 使得 AA 且X AU 其中U U1 Up 且U1 Up相互獨(dú)立同N 0 1 分布 d U的聯(lián)合密度函數(shù) p元函數(shù) 為 39 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)5 利用U的聯(lián)合密度函數(shù)及隨機(jī)向量的變換求X AU 的密度函數(shù) 對(duì)任給Borel可測集B 求p元函數(shù)fX x 使得 其中D u u A 1 x x B 40 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)5 根據(jù)附錄 8 P397 公式 8 4 即有 以下來求Jacobi行列式J u x 41 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)5 積分變換的Jacobi行列式J u x 可利用線性變換x Au 及J x u 來計(jì)算 因 向量微商的公式見附錄 8 8 1 42 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)5 關(guān)于積分變換的Jacobi行列式J u x 的有關(guān)內(nèi)容請(qǐng)參閱附錄部分 故 43 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的性質(zhì)5 寫出X AU 的密度函數(shù) 這里 AA 44 其中 是p維實(shí)向量 是p階正定陣 則稱X X1 X2 Xp 服從 非退化的 p元正態(tài)分布 也稱X為p維正態(tài)隨機(jī)向量 簡記為X Np 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的第四種定義 定義2 2 4p維隨機(jī)向量X X1 X2 Xp 的聯(lián)合密度函數(shù)為 45 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的多種定義及關(guān)系 以上給出了多元正態(tài)分布的4種定義 定義2 2 4用密度函數(shù)給出定義 它可看成一元正態(tài)密度的直接推廣 但在這個(gè)定義里要求 是正定陣 它給出的是非退化的正態(tài)分布的定義 另三種定義中把 陣推廣到非負(fù)定的情形 這三種定義是等價(jià)的 46 例2 2 1 二元正態(tài)分布 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 例2 2 1 即 1 0 2 0 1 1 試寫出X的聯(lián)合密度函數(shù)和邊密度函數(shù) 2 試說明 的統(tǒng)計(jì)意義 47 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 例2 2 1 解 1 因 注意改p26 48 二元正態(tài)隨機(jī)向量X的聯(lián)合密度函數(shù)為 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 例2 2 1 49 另由性質(zhì)2的推論 即得 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 例2 2 1 2 因Cov X1 X2 12 1 2 而X1與X2的相關(guān)系數(shù)為 故二元正態(tài)分布的參數(shù) 就是兩個(gè)分量的相關(guān)系數(shù) 50 顯然當(dāng) 0時(shí) f x1 x2 f1 x1 f2 x2 即X1與X2相互獨(dú)立 當(dāng) 1時(shí) 0 退化 即 的列向量或行向量線性相關(guān) 則存在非零向量t t1 t2 使得 t 0 從而t t 0 故而隨機(jī)變量 t X 的方差為 Var t X t t 0 這表示P t X 0 1 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 例2 2 1 51 即 t1 X1 1 t2 X2 2 0 以概率1成立 反之 若X1與X2以概率1存在線性相關(guān)關(guān)系 則 1 當(dāng) 0時(shí) 我們稱X1與X2存在正相關(guān) 當(dāng) 0時(shí) 我們稱X1與X2存在負(fù)相關(guān) 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 例2 2 1 52 例2 2 2二元正態(tài)密度函數(shù)的圖形及等高線的圖形 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 例2 2 2 為了對(duì)多維正態(tài)密度函數(shù)有更直觀地了解 下面的例子給出幾組參數(shù)下二維正態(tài)密度函數(shù)的幾何圖形 我們把具有等密度的點(diǎn)的軌跡稱為等高線 面 顯然當(dāng)p 2時(shí) 它是一族中心在 1 2 的橢園 53 一般的p維正態(tài)密度等高面為 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 例2 2 2 取 1 0 2 0 以下繪制三組參數(shù)下二元正態(tài)密度函數(shù)及密度等高線圖形 1 當(dāng)時(shí) 2 當(dāng)時(shí) 3 當(dāng)時(shí) 54 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 例2 2 2 55 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 例2 2 2 56 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 2多元正態(tài)分布的定義與基本性質(zhì) 例2 2 2 57 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 3條件分布和獨(dú)立性 獨(dú)立性 以下是關(guān)于獨(dú)立性的一條重要結(jié)論 設(shè)X Np p 2 將X 剖分為 58 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 3條件分布和獨(dú)立性 獨(dú)立性 定理2 3 1設(shè)p維隨機(jī)向量X Np 則X 1 與X 2 相互獨(dú)立 12 Or p r 即X 1 與X 2 不相關(guān) 證明 必要性顯然成立 59 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 3條件分布和獨(dú)立性 獨(dú)立性 充分性 設(shè) 12 0 則X的聯(lián)合密度函數(shù)為 所以X 1 與X 2 相互獨(dú)立 60 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 3條件分布和獨(dú)立性 獨(dú)立性 推論1設(shè)ri 1 i 1 k 且r1 r2 rk p 則X 1 X k 相互獨(dú)立 ij 0 一切i j 推論2設(shè)X Np 若 為對(duì)角形矩陣 則X1 Xp相互獨(dú)立 61 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 3條件分布和獨(dú)立性 獨(dú)立性例子 例如 設(shè)三維隨機(jī)向量X X1 X2 X3 且 則有 1 2 62 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 3條件分布和獨(dú)立性 獨(dú)立性的例子 3 X1與X3 X2與X3 也相互獨(dú)立 4 5 令 63 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 3條件分布和獨(dú)立性 獨(dú)立性例子 6 Y的密度函數(shù)為 X3的密度函數(shù)為 故二維隨機(jī)向量Z的聯(lián)合密度函數(shù)為 64 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 4多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì) 考慮p維正態(tài)總體X Np 設(shè)X i Xi1 Xip i 1 n 為p維總體X的簡單隨機(jī)樣本 資料陣 是一個(gè)隨機(jī)矩陣 65 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 4 多元正態(tài)樣本的數(shù)字特征 1 樣本均值向量X 66 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 4 多元正態(tài)樣本的數(shù)字特征 中心化數(shù)據(jù)陣 67 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 4 多元正態(tài)樣本的數(shù)字特征 2 樣本離差陣A 交叉乘積陣 其中 68 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 4 多元正態(tài)樣本的數(shù)字特征 或者把A表為 69 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 4 多元正態(tài)樣本的數(shù)字特征 或者把A表為 70 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 4 多元正態(tài)樣本的數(shù)字特征 3 樣本協(xié)方差S 4 樣本相關(guān)陣R 71 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 4 多元正態(tài)樣本數(shù)字特征的例子 例 設(shè)從某書店隨機(jī)抽取4張收據(jù)了解圖書的銷售情況 每張收據(jù)記錄售書數(shù)量X2及總金額X1 具體數(shù)值如下 試計(jì)算樣本均值 樣本離差陣 樣本協(xié)差陣和相關(guān)陣 解 72 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 4 多元正態(tài)樣本數(shù)字特征的例子 樣本離差陣A的計(jì)算公式為 中心化數(shù)據(jù)陣 73 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 4 多元正態(tài)樣本數(shù)字特征的例子 74 第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì) 2 4 多元正態(tài)樣