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與矩形相關(guān)的折疊問(wèn)題在矩形的性質(zhì)及判定的應(yīng)用過(guò)程中,折疊類的題目是比較多見(jiàn)的,同時(shí)也是矩形和角平分線、勾股定理等知識(shí)的結(jié)合與拓展。折疊是軸對(duì)稱的另一種描述,因此,在折疊問(wèn)題中找到折痕即對(duì)稱軸就是解決此類問(wèn)題一個(gè)突破口。下面從幾個(gè)不同的層面展示一下。例1 將一長(zhǎng)方形紙片按如圖的方式折疊,BC、BD為折痕,則CBD的度數(shù)為( )(A)60 (B)75 (C)90 (D)95分析:在這個(gè)問(wèn)題中是利用折疊矩形的兩個(gè)角給大家提供條件的,那么折痕BC和折痕BD就充當(dāng)了角平分線的角色,即ABC=A/BC,EBD=E/BD。OACBED例2 如圖,把一張矩形紙片ABCD沿BD對(duì)折,使C點(diǎn)落在E處,BE與AD相交于點(diǎn)O。(1)由折疊可得BCDBED,除此之外,圖中還存在其他的全等三角形,請(qǐng)你找出來(lái) 。(2)圖中有等腰三角形嗎?請(qǐng)你找出來(lái) 。(3)若AB=6,BC=8,則O點(diǎn)到BD的距離是 。分析:在這一折疊的過(guò)程中,因?yàn)槭桥c全等有關(guān)的,所以除了像例1一樣提供了角的等量關(guān)系之外,邊的相等是更重要的。問(wèn)題(1)好解決,進(jìn)而由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可以說(shuō)明(2)的結(jié)論是等腰OBD。另外,還可以從另一個(gè)角度分析。由折痕BD可以找到OBD=CBD,由于在矩形中,ADBC,ODB=CBD,經(jīng)過(guò)等量代換OBDODB,然后等角對(duì)等邊OB=OD。這是在矩形中折疊比較常見(jiàn)的“角平分線和平行線同時(shí)并存”的條件,結(jié)論就會(huì)出現(xiàn)“等角對(duì)等邊”的等腰三角形。問(wèn)題(3)跟計(jì)算線段長(zhǎng)度有關(guān),這也是勾股定理在折疊中要發(fā)揮作用的一類題目。因?yàn)锳DBC,BCBE,因此在ABO中可以設(shè)AOx,則BOOD8x,因?yàn)锳B6,即可以列勾股定理的等式:AB2AO2BO2進(jìn)行計(jì)算了。下面的這個(gè)題目就是用這個(gè)思路解決的。大家可以嘗試一下。例3 已知:如圖,矩形AOBC,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OA分別在x軸、y軸上,點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,3),OAB60,以AB為軸對(duì)折后,使C點(diǎn)落在D點(diǎn)處,求D點(diǎn)的坐標(biāo).例4 一個(gè)矩形紙片如圖折疊,使頂點(diǎn)B和D重合,折痕為EF。(1)找出圖中全等的三角形,并證明。(2)重合部分是什么圖形?證明你的結(jié)論。(3)連接BE,并判斷四邊形BEDF是什么特殊四邊形,BD與EF有什么關(guān)系?并證明。F132CBAEDF132CBAEDOABCDEF分析:此題的折疊不僅有前面幾個(gè)問(wèn)題中線段和角的對(duì)應(yīng)相等,而且在折疊的過(guò)程中隱藏著EF垂直平分BD,這對(duì)于第三問(wèn)中四邊形形狀的判斷,有著重要的作用,這仍然是軸對(duì)稱的性質(zhì)。利用這些條件易證明EODBOF,則有EDBF,且EDBF,首先四邊形EBFD是平行四邊形,由于BD、EF互相垂直,所以就可說(shuō)明四邊形EBFD是菱形。例5 在矩形ABDC中,把A沿CF折疊,點(diǎn)A恰好落在矩形的對(duì)稱中心E處,若ABa,ACb,請(qǐng)你計(jì)算 的值。分析:這個(gè)問(wèn)題中的折疊,體現(xiàn)出來(lái)的看似只是一對(duì)角的相等,其實(shí)還有矩形中心對(duì)稱圖形的特征。即點(diǎn)E是對(duì)角線的交點(diǎn)。由矩形的性質(zhì)可以說(shuō)明AEDE,因?yàn)檎郫B可知ACCE,因此可得:CAE是等邊三角形,即ACB60,進(jìn)而在直角ACB中解決兩直角邊的關(guān)系為:。ABCDEF總之,由于矩形本身所獨(dú)有的特征,例如直角、
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