【數(shù)學(xué)建模課件@北師大】liu1.pdf

例 4 人員疏散 建模分析意外事件發(fā)生時 建筑物內(nèi)的人員疏散所用 的時間 假設(shè) 1 單排教室 直走道 一個出口 2 人員撤離時 單行 有序 間隔 均勻 勻速地撤出 3 忽略列隊的時間和第一個人到達(dá) 教室門口的時間 參數(shù) 人數(shù) nk 教室距離 Lk 門寬 D 速度v 間隔 d 疏散時間 Tk 模型 T1 n1d L1 v T2 n2d L1 L2 D v T12 n2d L1 L2 D v L2 D n1 1 d n1 n2 1 d L1 v L2 D n1 1 d 討論 1 模型分析 T nd L v v 增 則 T 減 d 增 則 T 增 合理 2 多行行進(jìn) 3 d 減 則T 減 令d 0 則有T L v 疏散時間與人數(shù)無關(guān) 假設(shè)中忽略了人體的厚度 修 改 假 設(shè) 1 單排教室 直走道 一個出口 2 人員撤離時 單行 有序 間隔 均勻 勻速地撤出 3 忽略列隊的時間和第一個人到達(dá) 教室門口的時間 4 人體厚度相同w 繼 續(xù) 討 論 1 T nd L v v 則T d 則 T 2 多行行進(jìn) 3 令d 0 則有T L v 疏散時間與人數(shù)無關(guān) 假設(shè)中忽略了人體的厚度 4 考慮厚度的影響 T n d w L v 若v v d 0 則 T nw L v 最短 合理嗎 繼續(xù)修改假設(shè) 1 單排教室 直走道 一個出口 2 人員撤離時 單行 有序 間隔 均勻 勻速地撤出 3 忽略列隊的時間和第一個人到達(dá) 教室門口的時間 4 人體厚度相同 5 速度與密度有關(guān)v v d 模 型 T nd L v d 其中 v v d 應(yīng)滿足 D增 則v增 若d 則 v v 若d 0 則 v 0 這時存在唯一的間隔 d 和相應(yīng)的 速度 v 使得疏散的時間最短 V ad b d 7 83d 75 60 d 問題 在上面的討論中 證明如果 疏散隊伍的速度是隊列間隔的增 函數(shù) 則存在有唯一的間隔d 和速度 v 使得疏散的時間最短 如果有n 400 L 30m w 0 2m 求最優(yōu)疏散方案 例5 賽程安排 五支球隊在同一場地上進(jìn)行單 循環(huán)比賽 共進(jìn)行十場比賽 如何 安排賽程對各隊來說都是公平的 B 1 C 9 2 D 3 5 7 E 6 8 10 4 A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AB BC AD DE BD AE CD BE AC CE 間隔場次數(shù) A B C D E 1 0 4 0 1 2 2 1 0 1 2 2 0 1 1 問題 賽程如何做到公平安排 如何安排比賽的賽程 使相鄰 比賽各隊最小的間隔場次達(dá)到可 能的最大 例6 生豬飼養(yǎng) 一頭重量是200磅的豬 在上一周每天增重約5磅 五天前售價為70美分 磅 但現(xiàn)在豬價 下降到65美分 磅 飼料每天需花費45美分 求出售豬的最佳時間 假設(shè) 1 出售前 豬每天增重相同 2 豬的售價以每天降低的數(shù)量 不變 3 豬飼料的花費每天不變 4 豬在飼養(yǎng)和出售期間內(nèi)不再 有其他的花費 變量和參量 飼養(yǎng)時間 t 天 豬的重量w 磅 售豬所獲得的總收益R 美元 t 天內(nèi)飼料的總花費C 美元 最終獲得的凈收益P 美元 豬的售價 p 美元 磅 售價日減少量 r 美元 豬的初重w0 磅 豬的日增重量 g 磅 每天飼料的花費 k 美元 模型 重量 w w0 g t 單價 p p0 r t 總花費 C k t 總收益 R p w 凈收益的模型 P R C p0 rt w0 gt kt 參數(shù)估計 w0 200 g 5 p0 0 65 r 0 01 k 0 445 P R C 0 65 0 01 t 200 5 t 0 45 t P t 130 0 8t 0 05 t2 問題 求售豬的時間使凈收益最高問題 求售豬的時間使凈收益最高 令 P t 0 則有 0 8 2 0 05 t 0 得 t 8 P 8 130 0 8 8 0 05 82 133 2 結(jié)論 飼養(yǎng)8天后出售 凈收益最高為133 2美元 分析 1 結(jié)果對參數(shù)的敏感程度 結(jié)論所依賴的參數(shù) 豬的初始重量w0 豬的初始價格p0 豬的飼養(yǎng)花費k 豬重的增加速率g 價格降低的速率r 價格變化率 r 對售豬時間t 的影響 價格 p t 0 65 r t 凈收益 P t 0 65 rt 200 5t 0 45t 最大值點 t 7 500r 25r r 0 008 0 009 0 01 0 011 0 012 t 15 11 1 8 05 5 3 3 增重率 g 對售豬時間 t 的影響 重量 w t 200 g t 凈收益 P t 0 65 0 01t 200 gt 0 45t 最大值點 t 5 13g 49 2g g 4 4 5 5 5 5 6 t 1 875 5 28 8 10 23 12 08 將敏感性數(shù)據(jù)表示成相對改變量 要比絕對 改變量的形式更自然也更實用 模型的參數(shù)靈敏度 如果r改變了 r 則的相對改變量為 r r 如果r改變了 r 導(dǎo)致t有 t的改變量 則相對改變量的比值為 t t 比上 r r 令 r 0 按照導(dǎo)數(shù)的定義 我們有 稱這個極限值為t對r的靈敏度 記為 S t r t r dr dt t r r t 對于我們的問題 有 時間與價格的關(guān)系 t 7 500r 25r 在r 0 01 附近 t關(guān)于r的靈敏度為 S t r dt dr r t 2800 0 01 8 3 5 價格變化率降低1 將導(dǎo)致時間延長3 5 時間與增重量的關(guān)系 t 5 13g 49 2g 在 g 5 附近 t關(guān)于g的靈敏度為 S t g dt dg g t 4 9 5 8 3 06 增重率增加1 將導(dǎo)致出售時間延長3 2 模型的穩(wěn)健性 一個數(shù)學(xué)模型稱為是穩(wěn)健的 是指即使這個模 型不完全精確 但其結(jié)果仍是可信的 數(shù)學(xué)模型要力求完美 但這是不可能達(dá)到的 更確切的說法是數(shù)學(xué)模型力求接近完美 一個好的數(shù)學(xué)模型有較好的穩(wěn)健性 是指雖然它給出的答案并不是完全精確的 但是足夠近似的從而可以在實際問題中應(yīng)用 因此 在數(shù)學(xué)模型問題中關(guān)于穩(wěn)健性的討論是 很有必要的 1 參數(shù) r g 的變化對凈收益 P 的影響 固定r 令g 4 5和5 5 可得出售時間t為 5 28和10 23 分別代入模型 P t 0 65 0 01t 200 gt 0 45t 可得最優(yōu)凈收益為131 2 135 8 只相差2美元 固定g 令r 009和 011 可得出售時間t為 11 1和5 5 分別代入模型 P t 0 65 rt 200 5t 0 45t 可得最優(yōu)凈收益為135 6 131 6 只相差2美元 凈收益值凈收益值 P 關(guān)于參數(shù)關(guān)于參數(shù) r g 的變化視穩(wěn)健的的變化視穩(wěn)健的 2 假設(shè)對模型的影響 關(guān)于豬的重量增加和價格降低是線性函數(shù)的假設(shè) 不總是成立的 以這些數(shù)據(jù) w0 200 w 5 p0 0 65 p 0 01 為依 據(jù)確定何時售出時 要注意到在未來的幾周內(nèi)w 和p 可能不會保持常 數(shù) 因此w p也不會是時間的線性函數(shù) 這時 凈收益的增長率P w p wp 0 45 其中w p wp 代表售豬收益的增長率 第一項代表由于豬增重而增加的 第二項代表因價 格下降而損失的價值 模型告訴我們 只要售豬的收益比飼料的費用增長 快 就應(yīng)暫不賣出 繼續(xù)飼養(yǎng) 另一方面 只要時間不長 在這段時期內(nèi)w 和p 的變化就不會太大 由于假設(shè)它們是線性的而導(dǎo)致的誤差就不會 太大 這時 按照前面的數(shù)據(jù)所得到的8天出售的 結(jié)果對凈收益值P來說也是穩(wěn)健的 不難算出 在3天到13天之間出售的凈收益 的數(shù)值都在132美元之上 與最優(yōu)的收益只損失了不到2美元 02468101214 130 130 5 131 131 5 132 132 5 133 133 5 在今后的幾天內(nèi) 如果豬的增重量 降低10 或者出售價格增加了10 出售時間將會提前 在第8天出售時凈收益的損失量也是 穩(wěn)健的 不會超過1美元 02468101214 127 128 129 130 131 132 133 134 g 5 r 01 g 4 5 r 01 g 5 r 011 結(jié)論 我們現(xiàn)在能說的只是至少要等8天再出售 對較小的 p 接近0 模型建議我們等較 長的時間再出售 但我們的模型對較長的時間不再有效 因此 解決這個問題的最好的方法是 將豬再飼養(yǎng)一周的時間 然后重新估計w0 w p0和 p 再用模型重新 計算 問題1 在售豬問題中 對每天的飼養(yǎng) 花費做靈敏度分析 分別考慮對最佳售豬時間和相應(yīng)收益 的影響 如果有新的飼養(yǎng)方式 每天的飼養(yǎng)花 費為60美分 會使豬按7磅 天增重 那么是否值得改變飼養(yǎng)方式 求出使飼養(yǎng)方式值得改變的最小的增 重率 問題 2 假設(shè) p t 0 65 0 01t 0 00004t2 表示 t 天后豬的價格 美元 磅 1 畫圖表示 p t 及我們原來的價格函數(shù) 解 釋為什么原來的價格函數(shù)可以作為 p t 在接 近零時的近似 2 求最佳的售豬時間 3 參數(shù)0 00004表示價格的平穩(wěn)率