2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何8.5第1課時橢圓及其性質(zhì)教學(xué)案蘇教版.docx

第五節(jié)橢圓最新考綱1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解橢圓的簡單應(yīng)用1橢圓的定義(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a0，c0.當(dāng)2a|F1F2|時，M點的軌跡為橢圓；當(dāng)2a|F1F2|時，M點的軌跡為線段F1F2；當(dāng)2ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)離心率e，且e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b21點P(x0，y0)和橢圓的位置關(guān)系(1)點P(x0，y0)在橢圓內(nèi)1.(2)點P(x0，y0)在橢圓上1.(3)點P(x0，y0)在橢圓外1.2焦點三角形如圖，橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的PF1F2叫做焦點三角形設(shè)r1|PF1|，r2|PF2|，F(xiàn)1PF2，PF1F2的面積為S，則在橢圓1(ab0)中：(1)當(dāng)r1r2時，即點P的位置為短軸端點時，最大；(2)Sb2tan c|y0|，當(dāng)|y0|b時，即點P的位置為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc.(3)ac|PF1|ac.(4)|PF1|aex0，|PF2|aex0.3橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊長，a2b2c2.4已知過焦點F1的弦AB，則ABF2的周長為4a.5橢圓中點弦的斜率公式若M(x0，y0)是橢圓1(ab0)的弦AB(AB不平行y軸)的中點，則有kABkOM，即kAB.6弦長公式：直線與圓錐曲線相交所得的弦長|AB|x1x2|y1y2|(k為直線的斜率)一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓()(2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長為2a2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()(4)關(guān)于x，y的方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲線是橢圓()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1若F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)，點P到F1，F(xiàn)2距離之和為10，則P點的軌跡方程是()A.1B.1C.1 D.1或1A設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，因為|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，其中a5，c3，b4，故點P的軌跡方程為1.故選A.2設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是()A. B.C2 D.1D法一：設(shè)橢圓方程為1(ab0)，依題意，顯然有|PF2|F1F2|，則2c，即2c，即e22e10，又0eb0)因為橢圓的一個焦點為F(1,0)，離心率e，所以解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.第1課時橢圓及其性質(zhì)考點1橢圓的定義及應(yīng)用橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面一是判定平面內(nèi)動點的軌跡是否為橢圓；二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等 (1)如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P的軌跡是()A橢圓B雙曲線C拋物線 D圓(2)F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個焦點，A為橢圓上一點，且AF1F245，則AF1F2的面積為()A7B. C.D.(1)A(2)C(1)由題意可知，CD是線段MF的垂直平分線，|MP|PF|，|PF|PO|PM|PO|MO|(定值)又|MO|FO|，點P的軌跡是以F，O為焦點的橢圓，故選A.(2)由題意得a3，b，c，|F1F2|2，|AF1|AF2|6.|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos 45|AF1|24|AF1|8，(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8.|AF1|，SAF1F22.本例(1)應(yīng)用線段中垂線的性質(zhì)實現(xiàn)了“|PF|PO|”向定值的轉(zhuǎn)化；本例(2)把余弦定理與橢圓的定義交匯在一起，借助方程的思想解出|AF1|，從而求得AF1F2的面積教師備選例題設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點，P為橢圓上任意一點，點M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|PF1|的最小值為 5由橢圓的方程可知F2(3,0)，由橢圓的定義可得|PF1|2a|PF2|.|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)2三點共線時取得等號，又|MF2|5,2a10，|PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最小值為5.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1PF2，若PF1F2的面積為9，則b .3設(shè)|PF1|r1，|PF2|r2，則所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.考點2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義法先根據(jù)題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義，并確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程特別地，利用定義法求橢圓方程要注意條件2a|F1F2|.1.在ABC中，A(4,0)，B(4,0)，ABC的周長是18，則頂點C的軌跡方程是()A.1(y0) B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)A由|AC|BC|188108知，頂點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(A，B，C不共線)設(shè)其方程為1(ab0)，則a5，c4，從而b3.由A，B，C不共線知y0.故頂點C的軌跡方程是1(y0)2已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A.1B.1C.1 D.1D設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|MC2|(13r)(3r)16，又|C1C2|816，動圓圓心M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a16,2c8，則a8，c4，b248，故所求的軌跡方程為1.利用定義法求軌跡方程時，注意檢驗所求軌跡是否是完整的曲線，倘若不是完整的曲線，應(yīng)對曲線中的變量x或y進(jìn)行限制待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法要先定形(焦點位置)，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組如果焦點位置不確定，可設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m0，n0，mn)的形式1.已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點，(，)，則橢圓方程為 1設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m，n0，mn)由解得m，n.橢圓方程為1.2過點(，)，且與橢圓1有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1法一：橢圓1的焦點為(0，4)，(0,4)，即c4.由橢圓的定義知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：所求橢圓與橢圓1的焦點相同，其焦點在y軸上，且c225916.設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)c216，且c2a2b2，故a2b216.又點(，)在所求橢圓上，1，則1.由得b24，a220，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.3設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0b1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的方程為 x2y21不妨設(shè)點A在第一象限，如圖所示AF2x軸，A(c，b2)(其中c21b2,0b1，c0)又|AF1|3|F1B|，由3得B，代入x21得1.又c21b2，b2.故橢圓E的方程為x2y21.(1)已知橢圓上兩點，常設(shè)方程為mx2ny21(m0，n0，mn)；(2)橢圓的通徑(過焦點且與長軸垂直的弦)長為.考點3橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的長軸、短軸、焦距求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題，如：頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析 (1)已知橢圓1的長軸在x軸上，焦距為4，則m等于()A8 B7C6 D5(2)已知橢圓C：1(ab0)，若長軸長為6，且兩焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (1)A(2)1(1)因為橢圓1的長軸在x軸上，所以 解得6mb0)的左、右兩個焦點，若橢圓上存在點P使得PF1PF2，則該橢圓的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.BF1，F(xiàn)2是橢圓1(ab0)的左、右兩個焦點，0e1，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，c2a2b2.設(shè)點P(x，y)，由PF1PF2，得(xc，y)(xc，y)0，化簡得x2y2c2.聯(lián)立方程組整理得，x2(2c2a2)0，解得e.又0e1，ebc0，a2b2c2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，bc為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于(ac)，則橢圓的離心率e的取值范圍是 因為|PT|(bc)，而|PF2|的最小值為ac，所以|PT|的最小值為.依題意，有(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24