2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三講柯西不等式與排序不等式第3節(jié)排序不等式創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案.docx

第3節(jié) 排序不等式核心必知1三維形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3是實數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1，2，3)或存在一個數(shù)k，使得aikbi(i1，2，3)時，等號成立2一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1，2，n)或存在一個數(shù)k，使得aikbi(i1，2，n)時，等號成立問題思考1在一般形式的柯西不等式的右端中，表達(dá)式寫成aibi(i1，2，3，n)，可以嗎？提示：不可以，aibi的順序要與左側(cè)ai，bi的順序一致2在一般形式的柯西不等式中，等號成立的條件記為aikbi(i1，2，3，n)，可以嗎？提示：不可以若bi0而ai0，則k不存在設(shè)a，b，c為正數(shù)，且不全相等求證：.精講詳析本題考查三維形式的柯西不等式的應(yīng)用解答本題需要構(gòu)造兩組數(shù)據(jù)，；，然后利用柯西不等式解決構(gòu)造兩組數(shù)，；，則由柯西不等式得(abbcca)(111)2，即2(abc)9，于是.由柯西不等式知，中有等號成立abbccaabc.因題設(shè)，a，b，c不全相等，故中等號不成立，于是.柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征可以記為(a1a2an)(b1b2bn)()2，其中ai，biR(i1，2，n)，在使用柯西不等式時(要注意從整體上把握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征)，準(zhǔn)確地構(gòu)造公式左側(cè)的兩個數(shù)組是解決問題的關(guān)鍵1設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：abc.證明：()2()2()2(abc)2，即(abc)(abc)2，又a，b，cR，abc0，abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立。設(shè)2x3y5z29，求函數(shù)u 的最大值精講詳析本題考查三維柯西不等式的應(yīng)用，解答本題需要利用好特定條件，設(shè)法去掉根號根據(jù)柯西不等式1203(2x1)(3y4)(5z6)(111)2，故2.當(dāng)且僅當(dāng)2x13y45z6，即x，y，z時，等號成立，此時umax2.利用柯西不等式求最值時，關(guān)鍵是對原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果同時，要注意等號成立的條件2已知a，b，cR，且abc1，求 的最大值解：由柯西不等式，得()2(111)2(121212)(4a14b14c1)34(abc)321.當(dāng)且僅當(dāng)abc時，取等號故的最大值為.設(shè)f(x)lg，若0a1，nN且n2，求證：f(2x)2f(x)精講詳析本題考查柯西不等式、綜合法、分析法在證明不等式中的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是將f(2x)2f(x)具體化，然后再根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選擇合適的證明方法f(2x)lg，要證f(2x)2f(x)，只要證lg2lg，即證(*)也即證n12x22x(n1)2xan2x1x2x(n1)xanx2， 0a1，aa2，根據(jù)柯西不等式得 n12x22x(n1)2xan2x(121212),sdo4(n個)(1x)2(2x)2(n1)x2(anx)21x2x(n1)xanx2，即(*)式顯然成立，故原不等式成立對于較復(fù)雜的證明問題，可采用“分析法”進(jìn)行“抽絲剝繭”，從而找到柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征3已知a1，a2，an都是正實數(shù)，且a1a2an1.求證：.證明：根據(jù)柯西不等式，得左邊(a1a2)(a2a3)(a3a4)(an1an)(ana1)()2()2()2( )2(a1a2an)2右邊原不等式成立本課時經(jīng)常考查柯西不等式在證明不等式中的應(yīng)用福建高考以解答題的形式考查了柯西不等式在證明不等式中的應(yīng)用，是高考命題的一個新亮點(diǎn)考題印證(福建高考)已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1，1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.命題立意本題考查一般形式的柯西不等式在證明中的應(yīng)用解(1)因為f(x2)m|x|，所以f(x2)0等價于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1，1，故m1.(2)證明：由(1)知1又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)9.一、選擇題1已知a，b，R，且a2b10，則a2b2的最小值為()A5 B10 C20 D30解析：選C根據(jù)柯西不等式有(a2b2)(122)(a2b)2100.a2b220，當(dāng)且僅當(dāng)a2時取等號2設(shè)a1，a2，an為實數(shù)，P，Q，則P與Q的大小關(guān)系為()APQ BPQ CPb0，則a 的最小值為()A1 B3 C8 D12解析：選B2ab0，2ab0.a3 3.當(dāng)且僅當(dāng)2abb，即ab2時等號成立當(dāng)ab2時，a 有最小值3.二、填空題5已知aaa1，xxx1，則a1x1a2x2anxn的最大值為_解析：(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)1.答案：16若a，b，c為正數(shù)，則的最小值為_解析：由柯西不等式可知，329.答案：97已知x，y，zR，且xyz1，則的最小值為_解析：利用柯西不等式由于(xyz)36，所以36.當(dāng)且僅當(dāng)x2y2z2，即x，y，z時，等號成立的最小值為36.答案：368(湖南高考)已知a，b，cR，a2b3c6，則a24b29c2的最小值為_解析：由柯西不等式，得(a24b29c2)(121212)(a12b13c1)236，故a24b29c212，從而a24b29c2的最小值為12.答案：12三、解答題9設(shè)a，b，c，x，y，z都是正數(shù)，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，求的值解：由柯西不等式知：2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)23022536，當(dāng)且僅當(dāng)k時取“”所以k2(x2y2z2)22536，解得k.所以k.10在直線5x3y2上求一點(diǎn)，使(x2y1)2(3xy3)2取得小值解：由柯西不等式得(2212)(x2y1)2(3xy3)