人教A版選修22 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用函數(shù)圖形的凹向與拐點 教案.doc

函數(shù)圖形的凹向與拐點教學(xué)目的與要求 1.掌握函數(shù)的凹凸性及其判別方法,拐點及其求法；2.能利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)圖形. 教學(xué)重點與難點凹凸性與拐點，用凹凸性證明不等式（一）、復(fù)習(xí)1.函數(shù)極值的概念和必要條件，極值存在的第一、第二充分條件；2.函數(shù)的最大值和最小值方法.作函數(shù)的圖形時，僅知道函數(shù)的單調(diào)性和極值還不能全面反映函數(shù)圖形的特征同是在區(qū)間上單調(diào)增加的函數(shù)，其圖形的彎曲方向也可能不同；如圖36中與同是上升曲線，但彎曲方向不同，前者是凸的，后者是凹的本節(jié)將用導(dǎo)數(shù)研究曲線的凸凹及拐點，從而比較準確地作出函數(shù)的圖形（二）、新課一、函數(shù)的凸凹及其片判別法如圖36可以看出，曲線是向上彎曲的，其上每一點的切線都位于曲線的上方；曲線是向下彎曲的，其上每一點的切線都位于曲線下方，從而我們有如下定義定義 如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線上每一點處的切線都位于曲線的上方，則稱曲線在此區(qū)間內(nèi)是凸的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線上每一點處的切線都位于曲線的下方，則稱曲線在此區(qū)間內(nèi)是凹的從圖36還可以進一步看出，當曲線凸時，其切線斜率是單調(diào)減少的，因而；當曲線凹時，其切線斜率是單調(diào)增加的，因而，這說明曲線的凸凹性可由函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的符號確定定理 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則：（） 若在內(nèi)，,則曲線在上是凹的（） 若在內(nèi)，,則曲線在上是凸的二、拐點及其求法定義 曲線上，凸與凹的分界點稱為該曲線的拐點由拐點的定義和定理知，使的點及不存在的點可能是拐點這些點是不是拐點要用下面的定理來判定定理 設(shè)在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，則（） 若在與內(nèi)異號，則點為曲線的拐點（） 若在與內(nèi)同號，則點不是曲線的拐點例 求函數(shù)的凸凹區(qū)間及拐點解 ，令得；而為不存在的點用將定義區(qū)間分成三個部分區(qū)間（見下表）由表可知，曲線的凸區(qū)間是，凹區(qū)間是,；點是拐點0不存在凸拐點凹不是拐點凹例 討論函數(shù)的凸凹性及拐點解 函數(shù)的定義域為，對函數(shù)求導(dǎo)得 ， ；由得，用這兩點把定義域分成三個部分區(qū)間(見下表)由下表可知，曲線的凸區(qū)間是，凹區(qū)間是和，點和點是拐點凹拐點凸拐點凹三、曲線的漸近線有些函數(shù)的定義域與值域都是有限區(qū)間，此時函數(shù)的圖形局限于一定的范圍之內(nèi)，如圓，橢圓等而有些函數(shù)的定義域或值域是無窮區(qū)間，此時函數(shù)的圖形向無窮遠處延伸，如雙曲線，拋物線等有些向無窮遠延伸的曲線，呈現(xiàn)出越來越接近某一直線的形態(tài)，這種直線就是曲線的漸近線定義 3 若曲線上一點沿曲線無限遠離原點時，該點與某條直線的距離趨于零，則稱此直線為曲線的漸近線（一）水平漸近線若函數(shù)的定義域是無限區(qū)間，且有（或，），則直線稱為曲線的水平漸近線例對于曲線，由于，所以直線與是曲線的水平漸近線（二）垂直漸近線若是函數(shù)的間斷點，且（或，），則直線稱為曲線的垂直漸近線例 求的垂直漸近線解 因為，所以，是曲線的一條垂直漸近線（三）斜漸近線若曲線的定義域為無限區(qū)間，且有，則直線稱為曲線的斜漸近線例 求曲線的漸近線解 因為，所以直線是曲線的垂直漸近線，又，；所以為曲線的斜漸近線四、函數(shù)作圖的一般步驟前面幾節(jié)討論的函數(shù)的各種性態(tài)，可應(yīng)用于函數(shù)的作圖描繪函數(shù)的圖形可按下面的步驟第一步 確定函數(shù)的定義域及函數(shù)的某些特性（如奇偶性，周期性等）第二步 求出方程和在函數(shù)定義域內(nèi)的全部實根和，不存在的點；用這些點把定義域劃分成部分區(qū)間第三步 確定在這些部分區(qū)間內(nèi)和的符號，并由此確定函數(shù)的升降、凸凹、極值點和拐點第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直和斜漸近線以及其它變化趨勢第五步 為了把圖形描得準確，有時還需要補充一些點；然后結(jié)合第三、四步中得到的結(jié)果，連結(jié)這些點作出函數(shù)的圖形例 描繪函數(shù)的圖形 解 （1）函數(shù)的定義域為，且，故圖形在上半平面內(nèi) （