線(xiàn)性代數(shù) 第四章 第四節(jié)PPT幻燈片課件.ppt

方程組有解的條件與解法 主要內(nèi)容 齊次線(xiàn)性方程組 非齊次線(xiàn)性方程組 第四節(jié)線(xiàn)性方程組的解的結(jié)構(gòu) 在上一章中 我們已經(jīng)介紹了用矩陣的初等 變換解線(xiàn)性方程組的方法 并建立了兩個(gè)重要定 理 即 一 方程組有解的條件與解法 1 n個(gè)未知量的齊次線(xiàn)性方程組Ax 0有 非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩 R A n 2 n個(gè)未知量的非齊次線(xiàn)性方程組Ax b 有解的充要條件是系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩 陣B的秩 且當(dāng)R A R B n時(shí)方程組有唯 一解 當(dāng)R A R B r n時(shí)方程組有無(wú)窮多 解 下面我們用向量組線(xiàn)性相關(guān)的理論來(lái)討論線(xiàn) 性方程組的解 二 齊次線(xiàn)性方程組 1 基礎(chǔ)解系 1 解向量 設(shè)有齊次線(xiàn)性方程組 記 則 1 式可寫(xiě)成向量方程 Ax 0 2 若x1 11 x2 21 xn n1為 1 的解 則 稱(chēng)為方程組 1 的解向量 它也就是向量方程 2 的解 2 解向量的性質(zhì) 性質(zhì)1若x 1 x 2為 2 的解 則 x 1 2也是 2 的解 證只要驗(yàn)證x 1 2滿(mǎn)足方程 2 A 1 2 A 1 A 2 0 0 0 性質(zhì)2若x 1為 2 的解 k為實(shí)數(shù) 則 x k 1也是 2 的解 證A k 1 k A 1 k0 0 把方程Ax 0的全體解所組成的集合記作S 如果能求得解集S的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組S0 1 2 t 那么方程Ax 0的任一解都可由最大無(wú)關(guān) 組S0線(xiàn)性表示 另一方面 由上述性質(zhì)1 2可 知 最大無(wú)關(guān)組S0的任何線(xiàn)性組合 x k1 1 k2 2 kt t 都是方程Ax 0的解 因此上式便是方程Ax 0的通解 齊次線(xiàn)性方程組的解集的最大無(wú)關(guān)組稱(chēng)為該 齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系 由上面的討論可 知 要求齊次線(xiàn)性方程組的通解 只需求出它 的基礎(chǔ)解系 上一章我們用初等變換的方法求線(xiàn)性方程 組的通解 下面我們用同一方法來(lái)求齊次線(xiàn)性 方程組的基礎(chǔ)解系 2 基礎(chǔ)解系的求法 設(shè)系數(shù)矩陣A的秩為r 并不妨設(shè)A的前r個(gè) 列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān) 于是A的行最簡(jiǎn)形矩陣為 與B對(duì)應(yīng) 即有方程組 把xr 1 xn作為自由未知量 并令它們依次 等于c1 cn r 可得方程組 1 的通解 把上式記作 x c1 1 c2 2 cn r n r 可知解集S中的任一向量x能由 1 2 n r線(xiàn) 性表示 又因?yàn)榫仃?1 2 n r 中有n r 階子式 En r 0故R 1 2 n r n r 所以 1 2 n r線(xiàn)性無(wú)關(guān) 根據(jù)最大無(wú)關(guān)組 的等價(jià)定義 即知 1 2 n r是解集S的最 大無(wú)關(guān)組 即 1 2 n r是方程組 1 的基 礎(chǔ)解系 在上面的討論中 我們先求出齊次線(xiàn)性方程 組的通解 再?gòu)耐ń馇蟮没A(chǔ)解系 其實(shí)我們也 可先求基礎(chǔ)解系 再寫(xiě)出通解 這只需在得到方 程組 以后 令自由未知量xr 1 xr 2 xn取下列n r組數(shù) 由 3 即依次可得 從而求得 3 也就是 1 的n r個(gè)解 依據(jù)以上的討論 還可推得 定理7設(shè)m n矩陣A的秩R A r 則 RS n r n元齊次線(xiàn)性方程組Ax 0的解集S的秩 當(dāng)R A n時(shí) 方程組 1 只有零解 因?yàn)闆](méi) 有基礎(chǔ)解系 此時(shí)解空間S只含一個(gè)零向量 為0 維向量空間 而當(dāng)R A r n時(shí) 方程組 1 必 有含n r個(gè)向量的基礎(chǔ)解系 因此 由最大無(wú) 關(guān)組的性質(zhì)可知 方程組 1 的任何n r個(gè)線(xiàn) 性無(wú)關(guān)的解都可構(gòu)成它的基礎(chǔ)解系 并由此可知 齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系并不是唯一的 它的 通解的形式也不是唯一的 例12求齊次線(xiàn)性方程組 的基礎(chǔ)解系與通解 例13設(shè)Am nBn l O 證明 R A R B n 例14設(shè)n元齊次線(xiàn)性方程組Ax 0與 Bx 0同解 證明R A R B 例15證明R ATA R A 三 非齊次線(xiàn)性方程組 1 非齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì) 設(shè)有非齊次線(xiàn)性方程組 它也可寫(xiě)成向量方程 Ax b 5 向量方程 5 的解也就是方程組 4 的解向量 它具 有 性質(zhì)3設(shè)x 1及x 2都是 5 的解 則 x 1 2為對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組 Ax 0 6 的解 性質(zhì)4設(shè)x 是方程 5 的解 x 是 方程組 6 的解 則x 仍是方程 5 的解 2 非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu) 由上述討論知 非齊次線(xiàn)性方程組的解等于 它所對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的通解加上它的一個(gè) 特解 例16設(shè)有非齊次線(xiàn)性方程組 求該方程組的通解 方程組Ax b的解 R A 1 且 求方程組的通解 例已知 1 2 3是三元非齊次線(xiàn)性 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕