離散型隨機(jī)變量的均值.ppt

2 3 1離散型隨機(jī)變量的均值 復(fù)習(xí)回顧 1 離散型隨機(jī)變量的分布列 2 離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì) 1 1 pi 0 i 1 2 2 p1 p2 pi 1 引入 對(duì)于離散型隨機(jī)變量 可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率 但在實(shí)際問(wèn)題中 有時(shí)我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征 例如 要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的總體水平 很重要的是看平均分 要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)是否 兩極分化 則需要考察這個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差 我們還常常希望直接通過(guò)數(shù)字來(lái)反映隨機(jī)變量的某個(gè)方面的特征 最常用的有期望與方差 問(wèn)題 某人射擊10次 所得環(huán)數(shù)分別是 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 則所得的平均環(huán)數(shù)是多少 把環(huán)數(shù)看成隨機(jī)變量的概率分布列 權(quán)數(shù) 加權(quán)平均 按3 2 1的比例混合 18元 kg 24元 kg 36元 kg 定價(jià)為混合糖果的平均價(jià)格才合理 按3 2 1的比例混合 18元 kg 24元 kg 36元 kg 平均價(jià)格為 按3 2 1的比例混合 18元 kg 24元 kg 36元 kg 把3種糖果的價(jià)格看成隨機(jī)變量的概率分布列 離散型隨機(jī)變量取值的平均值 數(shù)學(xué)期望 一般地 若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為 則稱 為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望 它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平 理解概念 可能取值的算術(shù)平均數(shù)為 隨機(jī)變量x的均值與x可能取值的算術(shù)平均數(shù)何時(shí)相等 舉例隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子 求所得骰子的點(diǎn)數(shù)X的均值 隨機(jī)變量的均值是常數(shù) 而樣本的平均值隨著樣本的不同而變化 因而樣本的平均值是隨機(jī)變量 對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 隨著樣本容量的增加 樣本的平均值越來(lái)越接近總體的平均值 因此 我們常用樣本的平均值來(lái)估計(jì)總體的平均值 設(shè)Y aX b 其中a b為常數(shù) 則Y也是隨機(jī)變量 1 Y的分布列是什么 2 EY 思考 一 離散型隨機(jī)變量取值的平均值 數(shù)學(xué)期望 二 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1 隨機(jī)變量 的分布列是 1 則E 2 隨機(jī)變量 的分布列是 2 4 2 若 2 1 則E 5 8 E 7 5 則a b 0 4 0 1 例1 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分 罰不中得0分 已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0 7 則他罰球1次的得分X的均值是多少 一般地 如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布 則 小結(jié) 例2 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分 罰不中得0分 已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0 7 他連續(xù)罰球3次 1 求他得到的分?jǐn)?shù)X的分布列 2 求X的期望 解 1 X B 3 0 7 2 一般地 如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布 即X B n p 則 小結(jié) 證明 所以 若 B n p 則E np 證明 若 B n p 則E np 知識(shí)應(yīng)用 例6 14年四川高考 一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下 每盤游戲都需要擊鼓三次 每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè) 要么不出現(xiàn)音樂(lè) 每盤游戲擊鼓三次后 出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分 出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分 出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分 沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分 即獲得 200分 設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為 且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立 設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為 求的分布列 玩三盤游戲 至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是多少 玩過(guò)這款游戲的許多人發(fā)現(xiàn) 若干盤游戲后 與最初的分?jǐn)?shù)相比 分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了 請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因 解 例3 一次數(shù)學(xué)單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成 每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng) 其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案 每題選擇正確答案得5分 不作出選擇或選錯(cuò)不得分 滿分100分 學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0 9 學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè) 求學(xué)生甲和乙在這次數(shù)學(xué)單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望 甲選對(duì)題數(shù)為 乙選對(duì)題數(shù)為 歸納求離散型隨機(jī)變量均值的步驟 確定離散型隨機(jī)變量可能的取值 寫(xiě)出分布列 并檢查分布列的正確與否 求出均值 例4 決策問(wèn)題 根據(jù)氣象預(yù)報(bào) 某地區(qū)近期有小洪水的概率為0 25 有大洪水的概率為0 01 該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備 遇到大洪水時(shí)要損失60000元 遇到小洪水時(shí)要損失10000元 為保護(hù)設(shè)備 有以下種方案 方案1 運(yùn)走設(shè)備 搬運(yùn)費(fèi)為3800元 方案2 建保護(hù)圍墻 建設(shè)費(fèi)為2000元 但圍墻只能擋住小洪水 方案3 不采取措施 希望不發(fā)生洪水 試比較哪一種方案好 決策的準(zhǔn)則由于結(jié)果的不確定性 原則之一就是 比較各種決策的 平均 好處 哪種決策的平均好處大 就選哪一種 即哪個(gè)決策的期望值大 就選擇哪一種 例 在一個(gè)潮濕的雙休日早晨 你想步行會(huì)一個(gè)朋友 由于擔(dān)心可能會(huì)下雨 準(zhǔn)備帶上雨傘 可能采取的行動(dòng)有兩種 帶上雨傘或把雨傘留在家里 決策模型中稱之為 策略或方案 碰到的天氣情況也有兩個(gè) 下雨和不下雨 決策模型中稱之為 狀態(tài)或事件 面對(duì)以上兩個(gè)策略和兩種狀態(tài) 有且僅有四種結(jié)果 帶了雨傘 下雨了 帶了雨傘 沒(méi)下雨 把雨傘留下 下雨了 把雨傘留下 沒(méi)下雨 類似這樣的決策問(wèn)題 我們稱之為 風(fēng)險(xiǎn)型 決策問(wèn)題 特點(diǎn)是 決策中可能碰到的各種自然狀態(tài) 為決策者所不可控因素 其發(fā)生的概率是已知的 或者是可以估算出來(lái) 決策的準(zhǔn)則就是 期望值 原則 對(duì)收益來(lái)說(shuō) 期望值越大越好 對(duì)損失來(lái)說(shuō) 期望值越小越好 當(dāng)然這類決策問(wèn)題是存在一定的風(fēng)險(xiǎn)的 析 審清題意是解決該題的關(guān)鍵 1 抓住蠅子一個(gè)個(gè)有順序地飛出 易聯(lián)想到把8只蠅子看作8個(gè)元素有序排列 由于 0 表示 最后一只必為果蠅 所以有 1 表示 P 0 同理有P 1 2 表示 有P 2 3 表示 有P 3 4 表示 有P 4 5 表示 有P 5 6 表示 有P 6 例7 07 重慶 某單位有三輛汽車參加某種事故保險(xiǎn) 單位年初向保險(xiǎn)公司交納900元的保險(xiǎn)金 對(duì)在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的每輛汽車 單位可獲9000元的賠償 假設(shè)每輛車最多只賠償一次 設(shè)這三輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為1 9 1 10 1 11 且各車