Google搜索引擎的數(shù)學模型及其應用.pdf

西南民族大學學報 自然科學版 第 36 卷第 3 期 Journal of Southwest University for Nationalities Natural Science Edition May 2010 收稿日期 2010 03 13 作者簡介 趙國 1979 男 碩士 西南民族大學計算機科學與技術學院講師 主要研究方向為金融數(shù)學 數(shù)學模型 基金項目 西南民族大學青年項目 文章編號 1003 2843 2010 03 0480 07 Google 搜索引擎的數(shù)學模型及其應用 趙國 宋建成 西南民族大學計算機科學與技術學院 四川成都 610041 摘 要 該文在闡明 Google 搜索引擎中關鍵的頁面等級算法 PageRank 原理的基礎上 分析了 PageRank 算法的隨機沖 浪模型 并著重討論相應的數(shù)學模型在足球隊排名問題 1993年全國大學生數(shù)學建模競賽B題 中的應用 具體做法是綜 合考慮各隊的比賽成績 為每支球隊計算相應的等級分 Rank 然后根據(jù)各隊的等級分高低來確定名次 考慮到競技比 賽結果的不確定性 最后建立了等級分的隨機沖浪模型 分析表明等級分排名結果具有良好的參數(shù)穩(wěn)定性 并且可以成 功地處理數(shù)據(jù)缺損方面的困難 關鍵詞 搜索引擎 Google PageRank 算法 隨機沖浪模型 足球隊排名問題 中圖分類號 O141 4 文獻標識碼 A 1 引言 據(jù)統(tǒng)計 在短短 20 多年的時間里 Internet 中產(chǎn)生的信息量相當于人類過去 100 年產(chǎn)生的信息總量 而且 Internet 上的信息量正以幾何級數(shù)遞增 搜索引擎已經(jīng)成為人們進行 Internet 信息資源搜索必不可少的工具 在 眾多的搜索引擎中 Google 搜索引擎以其雄厚的技術為支撐 憑借其強大的檢索功能和高質量的檢索服務 逐 漸脫穎而出 Google 搜索引擎是由斯坦福大學 Sergey Brin 和 Lawrence Page 共同設計的 1 它是目前功能最強的 搜索引擎 通過對 80 億網(wǎng)頁進行整理 Google 可為世界各地的用戶提供所需的搜索結果 而且搜索速度極快 通常不到半秒 每天可提供約 3 億次查詢服務 圖 1 Google 搜索引擎的工作原理示意圖 圖 2 Internet 網(wǎng)絡的拓撲結構 Google 的優(yōu)勢在于掌握的信息量以及檢索模型和檢索速度 傳統(tǒng)的搜索引擎在很大程度上取決于文字在 網(wǎng)頁上出現(xiàn)的頻率 Google 使用 PageRank 技術檢查整個網(wǎng)絡鏈接結構 并確定哪些網(wǎng)頁重要性最高 然后進 行超文本匹配分析 Hypertext Matching Analysis 以確定哪些網(wǎng)頁與正在執(zhí)行的特定搜索相關 在綜合考慮整體 481 第 3 期 趙國等 Google 搜索引擎的數(shù)學模型及其應用 重要性以及與特定查詢的相關性之后 Google 可以將最相關最可靠的搜索結果放在最前面 2 Google 搜索引擎的數(shù)學模型 Google 擁有多項專利技術 其中 PageRank 算法是關鍵技術之一 它奠定了 Google 強大的檢索功能及提供 各種特色功能的基礎 雖然Google每天有很多工程師負責全面改進Google 系統(tǒng) 但是仍把PageRank 算法作為 所有網(wǎng)絡搜索工具的基礎結構 2 2 1 PageRank 原理 PageRank 算法是 Google 搜索引擎對檢索結果的一種排序算法 它的基本思想主要是來自傳統(tǒng)文獻計量學 中的文獻引文分析 即一篇文獻的質量和重要性可以通過其它文獻對其引用的數(shù)量和引文質量來衡量 也就是 說 一篇文獻被其它文獻引用越多 并且引用它的文獻的質量越高 則該文獻本身就越重要 Google 在給出頁面 排序時也有兩條標準 一是看有多少超級鏈接指向它 二是要看超級鏈接指向它的那個頁面重要不重要 這兩 條直觀的想法就是 PageRank 算法的數(shù)學基礎 也是 Google 搜索引擎最基本的工作原理 PageRank 算法利用了互聯(lián)網(wǎng)獨特的超鏈接結構 在龐大的超鏈接資源中 Google 提取出上億個超級鏈接頁 面進行分析 制作出一個巨大的網(wǎng)絡地圖 具體的講 就是把所有的網(wǎng)頁看作圖里面相應的頂點 如果網(wǎng)頁A有 一個指向網(wǎng)頁 B 的鏈接 則認為一條從頂點 A 到頂點 B 的有向邊 這樣就可以利用圖論來研究網(wǎng)絡的拓撲結構 PageRank 算法正是利用網(wǎng)絡的拓撲結構來判斷網(wǎng)頁的重要性 具體來說 假如網(wǎng)頁 A 有一個指向網(wǎng)頁 B 的 超鏈接 Google 就認為網(wǎng)頁 A 投了網(wǎng)頁 B 一票 說明網(wǎng)頁 A 認為網(wǎng)頁 B 有鏈接價值 因而 B 可能是一個重要的 網(wǎng)頁 Google 根據(jù)指向網(wǎng)頁 B 的超鏈接數(shù)及其重要性來判斷頁面 B 的重要性 并賦予相應的頁面等級值 PageRank 網(wǎng)頁 A 的頁面等級值被平均分配給網(wǎng)頁 A 所鏈接指向的網(wǎng)頁 從而當網(wǎng)頁 A 的頁面等級值比較高 時 則網(wǎng)頁 B 可從網(wǎng)頁 A 到它的超鏈接分得一定的重要性 根據(jù)這樣的分析 得到了高評價的重要頁面會被賦 予較高的網(wǎng)頁等級 在檢索結果內的排名也會較高 頁面等級值 PageRank 是 Google 表示網(wǎng)頁重要性的綜合 性指標 而且不會受到不同搜索引擎的影響 當然 重要性高的頁面如果和檢索關鍵詞無關同樣也沒有任何意義 為此 Google 使用了完善的超文本匹 配分析技術 使得能夠檢索出重要而且正確的網(wǎng)頁 2 2 PageRank 算法 PageRank 算法的具體實現(xiàn)可以利用網(wǎng)頁所對應的圖的鄰接矩陣來表達超鏈接關系 為此 首先寫出所對應 圖的鄰接矩陣A 為了能將網(wǎng)頁的頁面等級值平均分配給該網(wǎng)頁所鏈接指向的網(wǎng)頁 對各個行向量進行歸一化 處理 得矩陣A PageRank 算法的矩陣是將歸一化矩陣A轉置所得矩陣 T AW 這樣形成的矩陣W被稱為轉 移概率矩陣 它的各個列向量之和為全概率 1 各個行矢量表示狀態(tài)之間的轉移概率 轉移概率矩陣與 Markoff 過程有著密切的聯(lián)系 3 轉置的理由是 PageRank 算法并非重視鏈接到多少頁面 而是重視被多少頁面鏈接 各 個網(wǎng)頁的頁面等級值 PageRank 的計算 就是求這個轉移概率矩陣 W 的最大特征值所屬的特征向量 現(xiàn)在以前面給出的三個頁面之間的超鏈接關系為例 說明 PageRank 算法如何計算給定網(wǎng)頁的頁面等級值 PageRank 從而定量地知道哪些網(wǎng)頁是最重要的 為利用網(wǎng)頁所對應的圖的鄰接矩陣來表達鏈接關系 首先寫 出所對應圖的鄰接矩陣 001 100 110 A 為了能將網(wǎng)頁的頁面等級值平均分配給該網(wǎng)頁所鏈接指向的網(wǎng)頁 對各個行向量進行歸一化處理 得 第 36 卷 482 西南民族大學學報 自然科學版 001 100 2 1 2 1 0 A 將歸一化所得的矩陣A轉置 所得到的轉移概率矩陣 ij wW 為 012 1 002 1 100 T AW 現(xiàn)給每個頁面 i P一個 PageRank 值 i x 這些 PageRank 值應該由鏈接到該頁面的那些頁面的 PageRank 值確 定 即指向 i P的那些頁面的頁面等級值之和應該與 i P的頁面等級值 i x成正比 設共同的比例系數(shù)為 則有下 面的線性方程組 i j jij xxw 3 1 3 2 1 i 1 令 T xxxx 321 為頁面等級值組成的列向量 則由矩陣乘法 等式 1 可以寫成 xWx 由此求出轉移概率矩陣的最大正特征值1 相應非負特征向量 T x 1 2 1 1 由此可以確定網(wǎng)頁的排 序為 C A B 其中頁面 A C 的排序無顯著差別 之所以將 C 排在前面是因為指向 C 的超鏈接數(shù)更多一些 2 3 隨機沖浪模型 Random Surfer Model PageRank 算法原理中有一個重要的假設 所有的網(wǎng)頁形成一個閉合的鏈接圖 除了這些文檔以外沒有其他 任何鏈接的出入 并且每個網(wǎng)頁能從其他網(wǎng)頁通過超鏈接達到 但是在現(xiàn)實的網(wǎng)絡中 并不完全是這樣的情況 當一個頁面沒有出鏈的時候 它的 PageRank 值就不能被分配給其它的頁面 同樣道理 只有出鏈接而沒有入鏈 接的頁面也是存在的 但 PageRank 并不考慮這樣的頁面 因為沒有流入的 PageRank 而只流出的 PageRank 從 對稱性角度來考慮是很奇怪的 同時 有時候也有鏈接只在一個集合內部旋轉而不向外界鏈接的現(xiàn)象 在現(xiàn)實 中的頁面 無論怎樣順著鏈接前進 僅僅順著鏈接是絕對不能進入的頁面群總歸是存在的 PageRank 技術為了解決這樣的問題 提出用戶的隨機沖浪模型 用戶雖然在大多數(shù)場合都順著當前頁面中 的鏈接前進 但有時會突然重新打開瀏覽器隨機進入到完全無關的頁面 Google 認為 用戶在 85 的情況下沿著 鏈接前進 但在 15 的情況下會跳躍到無關的頁面中 用公式表示相應的轉移概率矩陣為 T ee n d dWW 1 其中 e為分量全為 1 的n維列向量 從而 T ee為全 1 矩陣 1 0 d為權重因子 damping factor 在實際中 Google 取85 0 d 也就是說 在隨機沖浪模型中 求各個頁面等級值 PageRank 的問題變成了求正矩陣W的 最大特征值所屬的特征向量問題 還是考慮前面給出的三個網(wǎng)頁 A B C 之間的超鏈接關系 在隨機沖浪模型下為方便計算令5 0 d 相 應的轉移概率矩陣為 0 16670 66670 4167 0 16670 16670 4167 0 66670 16670 1667 3 5 01 5 0 T eeWW 根據(jù)著名的 Perron Frobenius 定理 3 轉移概率矩陣W的最大正特征值是 1 相應的特征向量為 T 13 15 13 14 13 10 由此可以確定網(wǎng)頁的排序為 C A B 可見隨機沖浪模型下的排序結果更合理一些 483 第 3 期 趙國等 Google 搜索引擎的數(shù)學模型及其應用 3 頁面等級算法 PageRank 的應用 首先我們從圖論的角度解釋 PageRank 算法的原理 一是看這個頁面對應頂點的入度 二是要給指向該頂 點的邊賦予權重 表明這個超級鏈接的重要性 具體的講 就是把所有的頁面看作圖里面的點 然后給每一個頁 面一個數(shù)量 用這個數(shù)量來刻畫頁面的重要性 這樣網(wǎng)頁的重要性就脫離了它的具體內容 我們只需從網(wǎng)絡拓 撲結構出發(fā)研究網(wǎng)頁的重要性 這樣就可以用圖論來研究向互聯(lián)網(wǎng)這樣的隨機復雜網(wǎng)絡 而且按照這個原理對 網(wǎng)頁排序具有三個優(yōu)點 第一 排序與特定搜索關鍵詞無關 第二 網(wǎng)頁排序與網(wǎng)頁的具體內容無關 第三 只 需要知道網(wǎng)頁所對應的圖的結構 PageRank 算法的這個特點使得它可以被應用于社會領域的其他問題 例如體育比賽的排名問題 下面針對 1993 年全國大學生數(shù)學建模競賽 B 題 4 利用 PageRank 算法討論足球隊排名次問題 我們發(fā)現(xiàn)隨機沖浪模型可 以有效克服數(shù)據(jù)缺損等方面的困難 足球隊排名次問題要求我們建立一個客觀的評估方法 只依據(jù)過去一段時間 幾個賽季或幾年 內每個球隊 的戰(zhàn)績給出各個球隊的名次 具有很強的實際背景 5 通過分析題中 12 支足球隊在聯(lián)賽中的成績 不難發(fā)現(xiàn)表 中的數(shù)據(jù)殘缺不全 隊與隊之間的比賽場數(shù)相差很大 直接根據(jù)比賽成績來排名次比較困難 下面我們利用 PageRank 算法的隨機沖浪模型來求解 類比 PageRank 算法 我們可以綜合考慮各隊的比賽成績?yōu)槊恐蜿犛嬎阆鄳牡燃壏?Rank 然后根據(jù)各 隊的等級分高低來確定名次 直觀上看 給定球隊的等級分應該由它所戰(zhàn)勝和戰(zhàn)平的球隊的數(shù)量以及被戰(zhàn)勝或 戰(zhàn)平的球隊的實力共同決定 具體來說 確定球隊 i T的等級分的依據(jù)應為 一是看它戰(zhàn)勝和戰(zhàn)平了多少支球隊 二要看它所戰(zhàn)勝或戰(zhàn)平球隊的等級分的高低 這兩條就是我們確定排名的基本原理 在實際中 若出現(xiàn)等級分 相同的情況 可以進一步根據(jù)凈勝球的多少來確定排名 由于表中包含的數(shù)據(jù)量龐大 我們先在不計平局 只考慮獲勝局的情形下計算出各隊的等級分 以說明算 法原理 然后我們綜合考慮獲勝局和平局 加權后得到各隊的等級分 并據(jù)此進行排名 考慮到競技比賽的結果 的不確定性 我們最后建立了等級分的隨機沖浪模型 分析表明等級分排名結果具有良好的參數(shù)穩(wěn)定性 3 1 獲勝局的等級分 首先利用有向賦權圖的權重矩陣來表達出各隊之間的勝負關系 用圖的頂點表示相應球隊 用連接兩個頂 點 i T與 j T的有向邊表示兩隊的比賽結果 同時給該邊賦予相應的權重 表明 i T戰(zhàn)勝 j T的次數(shù) 由此 可以寫出 表中 12 支球隊所對應的有向賦權圖的權重矩陣 S 0 1 1 3 1 1 0 1 2 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 2 0 0 0 2 3 2 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0 2 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 例如 表中 3 T與 8 T比賽了兩場 各勝一場 故1 38 T 1 83 T 同理 3 14 T表明 1 T曾 3 次戰(zhàn)勝 4 T 注意到被戰(zhàn)勝球隊的等級分應該平均分配給各個獲勝球隊 將權重矩陣的各個列向量向量進行歸一化 得 轉移概率矩陣 ij sS 為 第 36 卷 484 西南民族大學學報 自然科學版 S 0 0 1667 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3333 0 1667 0 0 0 125 0 0 0 0 0833 0 1667 0 25 0 0 3333 0 1667 0 3333 0 0 25 0 0 0 0 0833 0 1667 0 0 0 0 1667 0 1667 0 125 0 0 0 0 0 0833 0 1667 0 0 2 0 3333 0 1667 0 3333 0 375 0 25 0 0 0 0 1667 0 1667 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0833 0 0 0 0 0 1667 0 0 0 0 0 0 0 0833 0 0 0 0 0 0 0 0 125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1667 0 125 0 125 1 0 3333 0 2 0 0833 0 0 5 0 2 0 0 0 0 125 0 0 0 3333 0 0 0833 0 1667 0 0 2 0 0 0 0 25 0 125 0 0 3333 0 2 0 25 0 1667 0 25 0 現(xiàn)設每個隊 i T的等級分 i x 這些等級分應由被 i T戰(zhàn)勝的那些隊的等級分確定 即 i j jij xxs 12 1 12 2 1 i 3 其中 為比例系數(shù) 令 T xxx 121 則由矩陣乘法 等式 3 可以寫成 xxS 即各個隊的等級分的計算 轉化求這個轉移概率矩陣S的最大正特征值 所屬的正特征向量 直接利用 Matlab軟 件 計 算 得1 相 應 等 級 分 為 0 2731 0 2085 0 7144 0 0302 0 0026 0 003 0 456 0 2416 0 2503 0 2042 0 0005 0 0006 由此可以確定只算獲勝局的情況下各隊的排名為 1112564102 89 173 T T T T T T T T T T T T 3 2 加權等級分 在實際中 平局也會隊雙方的排名產(chǎn)生影響 因此也有必要考慮平局對等級分的貢獻 因為平局是相互的 所以可以利用無向賦權圖的權重矩陣來表達出各隊之間的平局關系 即 P 0 2 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 2 2 0 1 2 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 注意平局的權重矩陣P是對稱的 同時注意到被戰(zhàn)平球隊的等級分也應該平均分配給各個與之戰(zhàn)平的球隊 故將權重矩陣的各個列向量向量進行歸一化處理 得轉移概率矩陣 485 第 3 期 趙國等 Google 搜索引擎的數(shù)學模型及其應用 P 0 1 0 0 0 2 0 0 0 6667 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3333 0 2 0 25 0 0 0 2 0 0 1 0 5 0 0 0 1429 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 0 1429 0 0 0 25 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1429 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1429 0 3333 0 0 0 0 0 0 5 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 25 0 0 0 1429 0 3333 0 4 0 5 0 0 3333 0 4 0 0 0 25 0 0 0 2857 0 0 0 0 0 0 0 5 0 1 0 根據(jù)常識 在一場比賽中平局出現(xiàn)的概率為 3 1 同時 考慮到通常平局與獲勝局的得分比為3 1 我們可以 對平局和獲勝局的轉移概率矩陣進行加權處理 得到下面的加權權重矩陣 SPW3 3 2 1 3 1 0 0 6667 0 0 0 0667 0 0 0 6222 0 0 0 0 0 1333 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 6667 0 3333 0 0 1111 0 3167 0 0833 0 0 0 2333 0 3333 0 5333 0 1667 0 6667 0 3333 0 7143 0 0 5 0 0 0 0 2333 0 3333 0 0333 0 0 0667 0 3333 0 3810 0 25 0 0 0833 0 0 0 1667 0 3333 0 0667 0 4 0 6667 0 3333 0 7143 0 75 0 5667 0 0 0 0 3333 0 3333 0 0667 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 1667 0 0 0 0 1333 0 3333 0 0 0 0 0 0 0 1667 0 0 0333 0 0 0 0 0476 0 1111 0 25 0 0 0 0 0 1667 0 0667 0 0 0 0 3333 0 25 0 25 2 0 6667 0 4 0 2333 0 1 0 4833 0 0 0 0476 0 3611 0 1333 0 1667 0 6667 0 1111 0 3 0 3333 0 0 4833 0 0 0 0952 0 5 0 25 0 0 6667 0 4 0 5 0 5 0 5333 0 同樣 被戰(zhàn)勝或或戰(zhàn)平球隊的等級分也應該平均分配給各個獲勝隊或與之戰(zhàn)平的球隊 故將加權權重矩陣的各個 列向量向量進行歸一化 得轉移概率矩陣 ij wW 為 W 0 0 2857 0 0 0 0286 0 0 0 2667 0 0 0 0 0 0571 0 0 0 0 0 0 0 1714 0 0 0 0 0 2857 0 1429 0 0 0476 0 1357 0 0357 0 0 0 1 0 1429 0 2286 0 0714 0 2857 0 1429 0 3061 0 0 2143 0 0 0 0 1 0 1429 0 0143 0 0 0286 0 1429 0 1633 0 1071 0 0 0357 0 0 0 0714 0 1429 0 0286 0 1714 0 2857 0 1429 0 3061 0 3214 0 2429 0 0 0 0 1429 0 1429 0 0286 0 3429 0 0 0 0 0 0 0 0 1714 0 0714 0 0 0 0 0571 0 1429 0 0 0 0 0 0 0 0714 0 0 0143 0 0 0 0 0204 0 0476 0 1071 0 0 0 0 0 0714 0 0286 0 0 0 0 1429 0 1071 0 1071 0 8571 0 3333 0 1714 0 1 0 0 4286 0 2071 0 0 0 0204 0 1548 0 0571 0 0714 0 3333 0 0476 0 1286 0 1429 0 0 2071 0 0 0 0408 0 2143 0 1071 0 0 3333 0 1714 0 2143 0 2143 0 2286 0 現(xiàn)設每個隊 i T的等級分為 i x 這些等級分應由 i T所戰(zhàn)勝或戰(zhàn)平的那些隊的等級分確定 即 i j jij xxw 12 1 12 2 1 i 4 第 36 卷 486 西南民族大學學報 自然科學版 其中 為比例系數(shù) 令 T xxx 121 則由矩陣乘法 等式 4 可以寫成 xxW 即各個隊的等級分的計算 轉化求平局的轉移概率矩陣矩陣W的最大正特征值 所屬的非負特征向量 直 接利用 Matlab 軟件計算得1 相應等級分為 0110 0 0026 0 419 0 25210 2473 0 2 0 4435 118 0 009 0 0981 0 0 27 0 265 0 66 0 3173 由此可以確定在綜合考慮獲勝局和平局的情況下各隊的排名為 116125498 102 173 T T T T T T T T T T T T 3 3 等級分的隨機沖浪模型 在大多數(shù)時候 競技比賽的結果都是兩隊之間實力的客觀反映 但是 競技比賽的結果有時具有一定的不 確定性 它很容易受到某些偶然或人為因素的影響 為了消除這些不確定因素的影響 我們需要建立等級分的 隨機沖浪模型 設球隊的實力能確定比賽的結果的概率為d 即強隊因為不確定因素輸?shù)艚o任意一支球隊的概率為d 1 則可得下面的轉移概率矩陣 T ee n d WdW 1 其中 e為分量全為 1 的n維列向量 從而 T ee為全 1 矩陣 1 0 d為權重因子 在實際中可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù) 確定 同樣 各個隊的等級分的計算 轉化求轉移概率矩陣W最大正特征值所屬的正特征向量 下面著重分析權重因子 1 0 d的變化對排名的影響 為此 我們利用 Matlab 軟件計算出權重因子d取不 同的值時的排名情況如表 1 表 1 權重因子d取不同的值時的排名情況 d取值范圍 球隊排名 1 d 116125498 102 173 T T T T T T T T T T T T 95 09 0 d 116512498 102 173 T T T T T T T T T T T T 85 045 0 d 116512489 102 173 T T T T T T T T T T T T 4 0 d 6115124109 82 173 T T T T T T T T T T T T 從表中可以看出 根據(jù)等級分的排名結果具有良好的穩(wěn)定性 并且 權重因子的變化