第16講圓錐曲線與方程.doc

課題 圓錐曲線與方程考點透析選修2圓錐曲線與方程（必修）中心在坐標(biāo)原點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)B中心在坐標(biāo)原點的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)A中心在坐標(biāo)原點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)A曲線與方程A中心在坐標(biāo)原點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)B知識整合 1對于與圓錐曲線有關(guān)的問題時，要善于應(yīng)用圓錐曲線的有關(guān)定義解題。一般的，若橢圓、雙曲線上一點與兩個焦點有關(guān)，應(yīng)聯(lián)想到它們的第一定義，若圓錐曲線上一點與一個焦點或準(zhǔn)線有關(guān)，應(yīng)聯(lián)想到它們的統(tǒng)一定義。2求圓錐曲線的方程時，“先定型，后計算”，所謂“定型”是指曲線的類型，焦點所在的坐標(biāo)軸，然后根據(jù)條件應(yīng)用待定系數(shù)法求解。3利用圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)解題，一是要熟悉掌握圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，掌握基本量a，b，c，P的幾何意義與基本關(guān)系；二是根據(jù)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題。4求動點軌跡，要熟悉求軌跡的幾個基本步驟以及求軌跡的基本方法，比如直接法、定義法、幾何法、參數(shù)法等。考點自測 1.（2010 安徽）雙曲線方程為，則它的右焦點坐標(biāo)為 2. (2010 南京一模) 以橢圓 （ab0）的右焦點為圓心的圓經(jīng)過原點O，且與該橢圓的右準(zhǔn)線交與A，B兩點，已知OAB是正三角形，則該橢圓的離心率是 。3.（2010 重慶）已知以F為焦點的拋物線上的兩點A、B滿足,則弦AB的中點到準(zhǔn)線的距離為_.4.（2010揚州四模）已知橢圓與拋物線有相同的焦點，是橢圓與拋物線的的交點，若經(jīng)過焦點，則橢圓的離心率為 . 典型例題 高考熱點一：求動點的軌跡方程例1.(2010江蘇)在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設(shè)過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m0,。（1）設(shè)動點P滿足,求點P的軌跡；（2）設(shè)，求點T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標(biāo)與m無關(guān)）?！痉治觥?本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識?？疾檫\算求解能力和探究問題的能力。高考熱點二：圓錐曲線的定義及其應(yīng)用例2.(2010江西) 已知拋物線：經(jīng)過橢圓：的兩個焦點.(1) 求橢圓的離心率；(2) 設(shè)，又為與不在軸上的兩個交點，若的重心在拋物線上，求和的方程. 【分析】考查橢圓和拋物線的定義、基本量，通過交點三角形來確認(rèn)方程。高考熱點三：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用例3. （2010 南通）已知F1、F2為橢圓的焦點，P為橢圓上的 任意一點，橢圓的離心率為以P為圓心PF2長為半徑作圓P， 當(dāng)圓P與x軸相切時，截y軸所得弦長為（1）求圓P方程和橢圓方程；（2）求證：無論點P在橢圓上如何運動，一定存在一個定圓與圓P相切，試求出這個定圓方程高考熱點四：圓錐曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用例4(2010 天津）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4。（1） 求橢圓的方程；（2） 設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標(biāo)為（），點在線段的垂直平分線上，且，求的值【分析】本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運算和推理能力。高考熱點五：與圓錐曲線有關(guān)的綜合性問題例5. （2010 山東）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.（）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；（）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【分析】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力。其中問題（3）是一個開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力， 誤區(qū)分析 F1、F2是雙曲線的焦點，點P在雙曲線上，若點P到焦點F1的距離為7，求P到焦點F2的距離試分析下面的解答錯在哪里？解：雙曲線的實軸長為6，由|PF1|-|PF2|=6，即|7-|PF2|=6，|PF2|=13或|PF2|=1隨堂練習(xí) 1（2010 湖南）設(shè)拋物線上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是_ 2（2010 江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線上一點M，點M的橫坐標(biāo)是3，則M到雙曲線右焦點的距離是 3.（2010 泰州）以為焦點且與直線有公共點的橢圓中，離心率最大的橢圓方程是 。4（2010 全國）已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離心率為 . 5已知定點M（3，2），F(xiàn)是拋物線的焦點，在此拋物線上求一點P，使|PM|+|PF|取得最小值，求點P的坐標(biāo)6一動點在橢圓上移動，求它與定點連線中點的軌跡方程學(xué)力測評 1(2010 蘇北四市二模)若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長的和為18，焦距為6，則橢圓的方程為 2（2010 南京）拋物線y2 = 8x的焦點到雙曲線 = 1的漸近線的距離為 3如圖，已知雙曲線以長方形ABCD的頂點A，B為左、右焦點，且過C，D兩頂點若AB=4，BC=3，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . ABCDxyO第四題第三題4（2010揚州三模）如圖，已知是橢圓 的左、右焦點，點在橢圓上，線段與圓相切于點，且點為線段的中點，則橢圓的離心率為 . 5（2010 北京）已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標(biāo)為 ；漸近線方程為 。6（2010 福建）若點O和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍為_ . 7設(shè)P是拋物線上的動點F是焦點，則點P到點的距離與點P到直線的距離之和的最小值 .8（2010 廣東）若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 9已知動圓A和圓B：(x+3) +y=81內(nèi)切，并和圓C：(x-3) +y=1外切，求動圓圓心A的軌跡方程。10設(shè)橢圓的左焦點為F，上頂點為A，過點A且與AF垂直的光線經(jīng)橢圓的右準(zhǔn)線反射，反射光線與直線AF平行.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)入射光線與右準(zhǔn)線的交點為B，過A，B，F(xiàn)三點的圓恰好與直線3x一y+3=0相切，求橢圓的方程.11（2010 南通三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知對于任意實數(shù)，直線恒過定點F. 設(shè)橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為. （1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)（m，n）是橢圓C上的任意一點，圓O：與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置關(guān)系. 12（2010 宿遷）如圖， 已知橢圓的長軸為，過點的直線與軸垂直直線所經(jīng)過的定點恰好是橢圓的一個頂點,且橢圓的離心率.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； B（2）設(shè)是橢圓上異于、的任意一點，軸，為垂足，延長到點使得，連結(jié)延長交直線于點，為的中點試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系參考答案圓錐曲線與方程考點自測 1、 2、3、 4、典型例題例1解：（1）設(shè)點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡得。故所求點P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點T的坐標(biāo)為。（3）點T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、。（方法一）當(dāng)時，直線MN方程為： 令，解得：。此時必過點D（1，0）；當(dāng)時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時直線MN的方程為，過點D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點。因此，直線MN必過軸上的點（1，0）。例2解：（1）因為拋物線經(jīng)過橢圓的兩個焦點， 所以，即，由得橢圓的離心率.（2）由（1）可知，橢圓的方程為： 聯(lián)立拋物線的方程得：，解得：或（舍去），所以 ，即，所以的重心坐標(biāo)為.因為重心在上，所以，得.所以.所以拋物線的方程為：，橢圓的方程為：.例3解：（1），a=3c，b=，橢圓方程設(shè)為， 2分當(dāng)圓P與x軸相切時，PF2x軸，故求得P（c，），圓半徑r=，由得c=2， 6分橢圓方程為， 8分此時圓P方程為 10分（2）以F1為圓心，作圓M，使得圓P內(nèi)切于圓M，公切點設(shè)為Q，則點F1、P、Q在一直線上，從而F1Q=F1P+PQ=F1P+PF2=2a=6，存在圓M：滿足題設(shè)要求 15分例4.（1）解：由，得，再由，得由題意可知， 解方程組 得 a=2,b=1所以橢圓的方程為(2)解：由（1）可知A（-2,0）。設(shè)B點的坐標(biāo)為（x1,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),于是A,B兩點的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去Y并整理，得由得設(shè)線段AB是中點為M，則M的坐標(biāo)為以下分兩種情況：（1）當(dāng)k=0時，點B的坐標(biāo)為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是（2）當(dāng)K時，線段AB的垂直平分線方程為令x=0，解得由整理得綜上例5.解：（）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；所以橢圓的焦點坐標(biāo)為（，0），因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。誤區(qū)分析分析：本解答錯了，錯在哪里？這個錯誤非常隱蔽，不容易發(fā)現(xiàn)以上出現(xiàn)兩解的原因是考慮到P可能在不同的兩支上，而實際上呢？根據(jù)雙曲線定義可知：點P到兩焦點距離之差的絕對值為常數(shù)且這個常數(shù)小于兩焦點距離，即|PF1|-|PF2|= 2a|F1F2|，由已知得：a=3，b=2，c=5，雙曲線上的點到右焦點距離的最小值為c-a=21，P與F1在y軸的同一側(cè)，故|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=13一般地，若|PF1| a+c,則P可能在兩支上，若|PF1| a+c,則P只能在一支上正解：顯然雙曲線關(guān)于y軸對稱，不妨設(shè)F1為左焦點，則| PF1|= |a+exP|=7，xP=6或，將xP=6或代入|PF2|= |a-exP|得：|PF2|=13或|PF2|=1，而|PF2|= |a-exP|exP|-ae|-a|-a=c-a=2，|PF2|=13隨堂練習(xí) 16 24 3 45由拋物線的定義：拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離相等。 即|PF| = |PN| |PM|+|PF|= |PM|+|PN|當(dāng) M、P、N三點共線時距離之和最小。6解：設(shè)中點，動點，由題意知即在橢圓上，所求的軌跡方程為學(xué)力測評 1或； 21345，6789解：設(shè)動圓的半徑為，則_y_x_P_o_A_B_C_Q動圓A和圓B內(nèi)切，所以AB=PBR,動圓A和圓C外切,所以 AC=CQ+R，所以AB AC PBCQ=9+1=10由橢圓定義知，動圓圓心A的軌跡為，為焦點的橢圓，方程為10【解】因為入射光線與反射光線垂直，所以入射光線與準(zhǔn)線所成的角為， 即，所以，所以橢圓的離心率為 由知，可得，又，所以過三點的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑， 因為過三點的圓恰好與直線相切， 所以圓心到直線的距離等于半徑，即，得，所以，所以橢圓的方程為11解：（1）, 解得. 3分設(shè)橢圓C的長軸長、短軸長、焦距分別為2a，2b，2c，則由題設(shè)，知 于