第15課時(shí)正弦定理、余弦定理(3)教案 湘教版必修2.doc

正弦定理、余弦定理（3）教學(xué)目的：1進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；2能夠應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；3能夠利用正、余弦定理判斷三角形的形狀；4能夠利用正、余弦定理證明三角形中的三角恒等式教學(xué)重點(diǎn)：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)的轉(zhuǎn)化方向教學(xué)難點(diǎn):三角恒等式證明中結(jié)論與條件之間的內(nèi)在聯(lián)系的尋求授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)式1啟發(fā)學(xué)生在證明三角形問題或者三角恒等式時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理的適用題型與所證結(jié)論的聯(lián)系，并注意特殊正、余弦關(guān)系的應(yīng)用，比如互補(bǔ)角的正弦值相等，互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)等；2引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)三角恒等式的證明或者三角形形狀的判斷，重在發(fā)揮正、余弦定理的邊角互換作用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：正弦定理：余弦定理： ，二、講授新課：1正余弦定理的邊角互換功能對于正、余弦定理，同學(xué)們已經(jīng)開始熟悉，在解三角形的問題中常會用到它其實(shí)，在涉及到三角形的其他問題中，也常會用到它們兩個(gè)定理的特殊功能是邊角互換，即利用它們可以把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而使許多問題得以解決例1已知a、b為ABC的邊，A、B分別是a、b的對角，且，求的值解：(這是角的關(guān)系)， (這是邊的關(guān)系)于是，由合比定理得例2已知ABC中，三邊a、b、c所對的角分別是A、B、C，且a、b、c成等差數(shù)列求證：sinAsinC2sinB證明：a、b、c成等差數(shù)列，ac2b(這是邊的關(guān)系)又將、代入，得整理得sinAsinC2sinB(這是角的關(guān)系)2正、余弦定理的巧用某些三角習(xí)題的化簡和求解，若能巧用正、余弦定理，則可避免許多繁雜的運(yùn)算，從而使問題較輕松地獲得解決，現(xiàn)舉例說明如下：例3求sin220cos280sin20cos80的值解：原式sin220sin2102sin20sin10cos1502010150180，20、10、150可看作一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角設(shè)這三個(gè)內(nèi)角所對的邊依次是a、b、c，由余弦定理得：a2b22abcos150c2（）而由正弦定理知：a2sin20，b2sin10，c2sin150，代入()式得：sin220sin2102sin20sin10cos150sin2150原式例4在ABC中，三邊長為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三邊長 ()分析：由于題設(shè)條件中給出了三角形的兩角之間的關(guān)系，故需利用正弦定理建立邊角關(guān)系其中利用正弦二倍角展開后出現(xiàn)了cos，可繼續(xù)利用余弦定理建立關(guān)于邊長的方程，從而達(dá)到求邊長的目的解：設(shè)三角形的三邊長分別為，1，2，其中*，又設(shè)最小角為，則 ,又由余弦定理可得2（1）2（2）22（1）（2）cos將代入整理得：2340解之得14，21(舍)所以此三角形三邊長為4，5，6評述： 此題所求為邊長，故需利用正、余弦定理向邊轉(zhuǎn)化，從而建立關(guān)于邊長的方程例5已知三角形的一個(gè)角為60，面積為10c2，周長為20c，求此三角形的各邊長分析：此題所給的題設(shè)條件除一個(gè)角外，面積、周長都不是構(gòu)成三角形的基本元素，但是都與三角形的邊長有關(guān)系，故可以設(shè)出邊長，利用所給條件建立方程，這樣由于邊長為三個(gè)未知數(shù)，所以需尋求三個(gè)方程，其一可利用余弦定理由三邊表示已知60角的余弦，其二可用面積公式ABCabsinC表示面積，其三是周長條件應(yīng)用解：設(shè)三角形的三邊長分別為a、b、c，B60，則依題意得 由式得：b220（ac）2400a2c22ac40（ac） 將代入得4003ac40（ac）0再將代入得ac13由 b17，b27所以，此三角形三邊長分別為5c，7c，8c評述： (1)在方程建立的過程中，應(yīng)注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面積公式的應(yīng)用(2)由條件得到的是一個(gè)三元二次方程組，要注意要求學(xué)生體會其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及運(yùn)算能力三、課堂練習(xí)：1在ABC中，已知B=30,b=50,c=150，那么這個(gè)三角形是( )A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形2在ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，則此三角形為( )A直角三角形 B等腰三角形C等邊三角形 D等腰直角三角形3在ABC中，已知sinAsinBsinC=654，則secA= 4ABC中，則三角形為 5在ABC中，角A、B均為銳角且cosAsinB，則ABC是 6已知ABC中，試判斷ABC的形狀7在ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判斷ABC的形狀參考答案：1D 2A 3 8 4等腰三角形5鈍角三角形 6等邊三角形 7等腰三角形或直角三角形四、小結(jié) 熟悉了正、余弦定理在進(jìn)行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)換時(shí)的橋梁作用，并利用正、余弦定理對三角恒等式進(jìn)行證明以及對三角形形狀進(jìn)行判斷五、課后作業(yè)：1在ABC中，已知，求證：a2，b2，c2成等差數(shù)列證明：由已知得sin（BC）sin（BC）sin（AB）sin（AB）cos2Bcos2Ccos2Acos2B2cos2Bcos2Acos2C 2sin2Bsin2Asin2C由正弦定理可得2b2a2c2, 即a2，b2，c2成等差數(shù)列2在AB