人教A版選修11 3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 學(xué)案.docx

3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解極值的概念、理解極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(難點)2.掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟，能熟練地求函數(shù)的極值(重點)3.會根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的值(難點)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1極小值點與極小值若函數(shù)f(x)滿足：(1)在xa附近其他點的函數(shù)值f(x)f(a)；(2)f(a)0；(3)在xa附近的左側(cè)f(x)0，則點a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值2極大值點與極大值若函數(shù)f(x)滿足： (1)在xb附近其他點的函數(shù)值f(x)f(b)；(2)f(b)0；(3)在xb附近的左側(cè)f(x)0，在xb附近的右側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值. (2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極小值基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)導(dǎo)數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點( )(2)函數(shù)的極大值一定大于極小值( )(3)在可導(dǎo)函數(shù)的極值點處，切線與x軸平行或重合( )(4)函數(shù)f(x)有極值( )答案 (1) (2) (3) (4)2函數(shù)yx31的極大值是( )a1 b0 c2 d不存在d y3x20，則函數(shù)yx31在r上是增函數(shù)，不存在極大值3若x2與x4是函數(shù)f(x)x3ax2bx的兩個極值點則有( ) aa2，b4 ba3，b24ca1，b3 da2，b4b f(x)3x22axb，依題意有x2和x4是方程3x22axb0的兩個根，所以有24，24，解得a3，b24.合 作 探 究攻 重 難求函數(shù)的極值 (1)已知函數(shù)f(x)ax3bx2c，其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖338所示，則函數(shù)f(x)的極小值是( )圖338aabc b3a4bcc3a2b dc(2)求下列函數(shù)的極值：f(x)x3x23x3；f(x)2.解析 (1)由f(x)的圖象知，當(dāng)x0時，f(x)0，當(dāng)0x0，當(dāng)x2時，f(x)0，解得a1.所以a的取值范圍為(，1)函數(shù)極值的綜合應(yīng)用探究問題1如何畫三次函數(shù)f(x)ax3bx2cxd(a0)的大致圖象？提示：求出函數(shù)的極值點和極值，根據(jù)在極值點左右兩側(cè)的單調(diào)性畫出函數(shù)的大致圖象2三次函數(shù)f(x)ax3bx2c(a0)的圖象和x軸一定有三個交點嗎？提示：不一定，三次函數(shù)的圖象和x軸交點的個數(shù)和函數(shù)極值的大小有關(guān)，可能有一個也可能有兩個或三個 已知a為實數(shù)，函數(shù)f(x)x33xa(1)求函數(shù)f(x)的極值，并畫出其圖象(草圖)(2)當(dāng)a為何值時，方程f(x)0恰好有兩個實數(shù)根思路探究 (1)求出函數(shù)f(x)的極值點和極值，結(jié)合函數(shù)在各個區(qū)間上的單調(diào)性畫出函數(shù)的圖象(2)當(dāng)極大值或極小值恰好有一個為0時，方程f(x)0恰好有兩個實數(shù)根解 (1)由f(x)x33xa，得f(x)3x23, 令f(x)0，得x1或x1.當(dāng)x(，1)時，f(x)0；當(dāng)x(1，)時，f(x)0.所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)a2；極大值為f(1)a2.由單調(diào)性、極值可畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示，(2)結(jié)合圖象，當(dāng)極大值a20時，有極小值小于0，此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點，即方程f(x)0恰有兩個實數(shù)根，所以a2滿足條件；當(dāng)極小值a20時，有極大值大于0，此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點，即方程f(x)0恰好有兩個實數(shù)根，所以a2滿足條件綜上，當(dāng)a2時，方程恰有兩個實數(shù)根母題探究：1.本例中條件不變，試求當(dāng)a為何值時，方程f(x)0有三個不等實根解 由例題解析知，當(dāng)即2a或x0；當(dāng)x時，f(x)0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)和(，)；單調(diào)遞減區(qū)間為(，)當(dāng)x時，f(x)有極大值54；當(dāng)x時，f(x)有極小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示所以，當(dāng)54a54時，直線ya與yf(x)的圖象有三個不同的交點，即方程f(x)a有三個不同的實根 規(guī)律方法 利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的個數(shù)利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)，從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便當(dāng) 堂 達 標(biāo)固 雙 基1下列四個函數(shù)中，能在x0處取得極值的是( )yx3；yx21；ycos x1；y2x.a bc db 為單調(diào)函數(shù)，不存在極值2函數(shù)f(x)的定義域為r，導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖339所示，則函數(shù)f(x)( )圖339a無極大值點，有四個極小值點b有三個極大值點，兩個極小值點c有兩個極大值點，兩個極小值點d有四個極大值點，無極小值點c 當(dāng)f(x)的符號由正變負時，f(x)有極大值，當(dāng)f(x)的符號由負變正時，f(x)有極小值由函數(shù)圖象易知，函數(shù)有兩個極大值點，兩個極小值點3函數(shù)y348xx3的極小值是_；極大值是_131 125 y3x2483(x4)(x4)，當(dāng)x(，4)(4，)時，y0，x4時，y取到極小值131，x4時，y取到極大值125.4已知函數(shù)f(x)x33ax23(a2)x1既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是_(，1)(2，) f(x)3x26ax3(a2)，函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值，方程f(x)0有兩個不相等的實根36a236(a2)0.即a2a20，解之得a2或a1.5已知函數(shù)f(x)ax2bln x在x1處有極值.(1)求a，b的值(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求極值. 解 (1)因為f(x)ax2bln x，所以f(x)2ax.又函數(shù)f(x)在x1處有極值.故即解得a，b1.(2)由(1)可知f(x)x2ln x.其定義域為(0，)且f(x)x