數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點技巧總結(jié)──導(dǎo)數(shù).docx

1、導(dǎo)數(shù)的背景：（1）切線的斜率；（2）瞬時速度；（3）邊際成本。 如一物體的運動方程是，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在時的瞬時速度為_（答：5米/秒）2、導(dǎo)函數(shù)的概念：如果函數(shù)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，對于開區(qū)間（a,b）內(nèi)的每一個，都對應(yīng)著一個導(dǎo)數(shù) ，這樣在開區(qū)間（a,b）內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù)，這一新的函數(shù)叫做在開區(qū)間（a,b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作 ，導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)。3、求在處的導(dǎo)數(shù)的步驟：（1）求函數(shù)的改變量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)。4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即曲線在點處的切線的斜率是，相應(yīng)地切線的方程是。特別提醒：（1）在求曲線的切線方程時，要注意區(qū)分所求切線是曲線上某點處的切線，還是過某點的切線：曲線上某點處的切線只有一條，而過某點的切線不一定只有一條，即使此點在曲線上也不一定只有一條；（2）在求過某一點的切線方程時，要首先判斷此點是在曲線上，還是不在曲線上，只有當(dāng)此點在曲線上時，此點處的切線的斜率才是。比如：（1）P在曲線上移動，在點P處的切線的傾斜角為，則的取值范圍是_（答：）；（2）直線是曲線的一條切線,則實數(shù)的值為_（答：3或1）；（3）已知函數(shù)（為常數(shù)）圖象上處的切線與的夾角為，則點的橫坐標(biāo)為_（答：0或）；（4）曲線在點處的切線方程是_（答：）；（5）已知函數(shù)，又導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸交于。求的值；求過點的曲線的切線方程（答：1；或）。5、導(dǎo)數(shù)的運算法則：（1）常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即（C為常數(shù)）；（2），與此有關(guān)的如下：；（3）若有導(dǎo)數(shù)，則；。比如：（1）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則_（答：）；（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_（答：）；（3）若對任意，則是_（答：）6、多項式函數(shù)的單調(diào)性：（1）多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性：若,則為增函數(shù)；若,則為減函數(shù)；若恒成立,則為常數(shù)函數(shù)；若的符號不確定,則不是單調(diào)函數(shù)。若函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞增，則，反之等號不成立；若函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞減，則，反之等號不成立。比如：（1）函數(shù)，其中為實數(shù)，當(dāng)時，的單調(diào)性是_（答：增函數(shù)）；（2）設(shè)函數(shù)在上單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_（答：）；（3）已知函數(shù)為常數(shù)）在區(qū)間上單調(diào)遞增，且方程的根都在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是_（答：）；（4）已知，設(shè)，試問是否存在實數(shù)，使在上是減函數(shù)，并且在上是增函數(shù)？（答：）（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）求；（2）求方程的根，設(shè)根為；（3）將給定區(qū)間分成n+1個子區(qū)間，再在每一個子區(qū)間內(nèi)判斷的符號，由此確定每一子區(qū)間的單調(diào)性。如設(shè)函數(shù)在處有極值，且，求的單調(diào)區(qū)間。（答：遞增區(qū)間（1,1），遞減區(qū)間）7、函數(shù)的極值：（1）定義：設(shè)函數(shù)在點附近有定義，如果對附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極大值。記作，如果對附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極小值。記作。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。（2）求函數(shù)在某個區(qū)間上的極值的步驟：（i）求導(dǎo)數(shù)；（ii）求方程的根；（iii）檢查在方程的根的左右的符號：“左正右負”在處取極大值；“左負右正”在處取極小值。特別提醒：是極值點的充要條件是點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不僅是0，0是為極值點的必要而不充分條件。給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！ 如（1）函數(shù)的極值點是 A、極大值點 B、極大值點 C、極小值點 D、極小值點（答：C）；（2）已知函數(shù)有極大值和極小值，則實數(shù)的取值范圍是_（答：或）；（3）函數(shù)處有極小值10，則a+b的值為_（答：7）；（4）已知函數(shù)在區(qū)間1,2 上是減函數(shù)，那么bc有最_值_（答：大，）8、函數(shù)的最大值和最小值：（1）定義：函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點值中的“最大值”；函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點值中的“最小值”。（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在（）內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與，比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。如（1）函數(shù)在0，3上的最大值、最小值分別是_（答：5；）；（2）用總長14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m。那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積。（答：高為1.2米時，容積最大為）特別注意：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值（極值）時，要注意列表！（2）要善于應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考察函數(shù)單調(diào)性、最值(極值)，研究函數(shù)的性態(tài)，數(shù)形結(jié)合解決方程不等