2017_18學年高中數(shù)學第三講柯西不等式與排序不等式第2節(jié)一般形式的柯西不等式創(chuàng)新應用教學案.docx

第2節(jié) 一般形式的柯西不等式創(chuàng)新應用核心必知1三維形式的柯西不等式設a1，a2，a3，b1，b2，b3是實數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2，當且僅當bi0(i1，2，3)或存在一個數(shù)k，使得aikbi(i1，2，3)時，等號成立2一般形式的柯西不等式設a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1anbn)2，當且僅當bi0(i1，2，n)或存在一個數(shù)k，使得aikbi(i1，2，n)時，等號成立問題思考1在一般形式的柯西不等式的右端中，表達式寫成aibi(i1，2，3，n)，可以嗎？提示：不可以，aibi的順序要與左側(cè)ai，bi的順序一致2在一般形式的柯西不等式中，等號成立的條件記為aikbi(i1，2，3，n)，可以嗎？提示：不可以若bi0而ai0，則k不存在設a，b，c為正數(shù)，且不全相等求證：.精講詳析本題考查三維形式的柯西不等式的應用解答本題需要構(gòu)造兩組數(shù)據(jù)，；，然后利用柯西不等式解決構(gòu)造兩組數(shù)，；，則由柯西不等式得(abbcca)(111)2，即2(abc)9，于是.由柯西不等式知，中有等號成立abbccaabc.因題設，a，b，c不全相等，故中等號不成立，于是.柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征可以記為(a1a2an)(b1b2bn)()2，其中ai，biR(i1，2，n)，在使用柯西不等式時(要注意從整體上把握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征)，準確地構(gòu)造公式左側(cè)的兩個數(shù)組是解決問題的關(guān)鍵1設a，b，c為正數(shù)，求證：abc.證明：()2()2()2(abc)2，即(abc)(abc)2，又a，b，cR，abc0，abc，當且僅當abc時等號成立。設2x3y5z29，求函數(shù)u 的最大值精講詳析本題考查三維柯西不等式的應用，解答本題需要利用好特定條件，設法去掉根號根據(jù)柯西不等式1203(2x1)(3y4)(5z6)(111)2，故2.當且僅當2x13y45z6，即x，y，z時，等號成立，此時umax2.利用柯西不等式求最值時，關(guān)鍵是對原目標函數(shù)進行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果同時，要注意等號成立的條件2已知a，b，cR，且abc1，求 的最大值解：由柯西不等式，得()2(111)2(121212)(4a14b14c1)34(abc)321.當且僅當abc時，取等號故的最大值為.設f(x)lg，若0a1，nN且n2，求證：f(2x)2f(x)精講詳析本題考查柯西不等式、綜合法、分析法在證明不等式中的應用，解答本題的關(guān)鍵是將f(2x)2f(x)具體化，然后再根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點選擇合適的證明方法f(2x)lg，要證f(2x)2f(x)，只要證lg2lg，即證(*)也即證n12x22x(n1)2xan2x1x2x(n1)xanx2， 0a1，aa2，根據(jù)柯西不等式得 n12x22x(n1)2xan2x(121212),sdo4(n個)(1x)2(2x)2(n1)x2(anx)21x2x(n1)xanx2，即(*)式顯然成立，故原不等式成立對于較復雜的證明問題，可采用“分析法”進行“抽絲剝繭”，從而找到柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征3已知a1，a2，an都是正實數(shù)，且a1a2an1.求證：.證明：根據(jù)柯西不等式，得左邊(a1a2)(a2a3)(a3a4)(an1an)(ana1)()2()2()2( )2(a1a2an)2右邊原不等式成立本課時經(jīng)常考查柯西不等式在證明不等式中的應用福建高考以解答題的形式考查了柯西不等式在證明不等式中的應用，是高考命題的一個新亮點考題印證(福建高考)已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1，1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.命題立意本題考查一般形式的柯西不等式在證明中的應用解(1)因為f(x2)m|x|，所以f(x2)0等價于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1，1，故m1.(2)證明：由(1)知1又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)9.一、選擇題1已知a，b，R，且a2b10，則a2b2的最小值為()A5 B10 C20 D30解析：選C根據(jù)柯西不等式有(a2b2)(122)(a2b)2100.a2b220，當且僅當a2時取等號2設a1，a2，an為實數(shù)，P，Q，則P與Q的大小關(guān)系為()APQ BPQ CPb0，則a 的最小值為()A1 B3 C8 D12解析：選B2ab0，2ab0.a3 3.當且僅當2abb，即ab2時等號成立當ab2時，a 有最小值3.二、填空題5已知aaa1，xxx1，則a1x1a2x2anxn的最大值為_解析：(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)1.答案：16若a，b，c為正數(shù)，則的最小值為_解析：由柯西不等式可知，329.答案：97已知x，y，zR，且xyz1，則的最小值為_解析：利用柯西不等式由于(xyz)36，所以36.當且僅當x2y2z2，即x，y，z時，等號成立的最小值為36.答案：368(湖南高考)已知a，b，cR，a2b3c6，則a24b29c2的最小值為_解析：由柯西不等式，得(a24b29c2)(121212)(a12b13c1)236，故a24b29c212，從而a24b29c2的最小值為12.答案：12三、解答題9設a，b，c，x，y，z都是正數(shù)，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，求的值解：由柯西不等式知：2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)23022536，當且僅當k時取“”所以k2(x2y2z2)22536，解得k.所以k.10在直線5x3y2上求一點，使(x2y1)2(3xy3)2取得小值解：由柯西不等式得(2212)(x2y1)2(3xy3