數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第一部分 專題四特殊與一般的思想方法.ppt

專題四特殊與一般的思想方法 數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第一部分 考題剖析 規(guī)律總結(jié) 知識概要 03 05 21 特殊與一般的思想方法 1 由特殊到一般再由一般到特殊反復(fù)認(rèn)識的過程是人們認(rèn)識世界的基本過程之一 數(shù)學(xué)研究也不例外 這種由特殊到一般 由一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問題的基本認(rèn)識過程就是數(shù)學(xué)研究中特殊與一般的思想 知識概要 返回目錄 特殊與一般的思想方法 2 由特殊到一般的思想的運(yùn)用水平 能反映出考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和一般能力 所以考查特殊與一般的思想在高考中占有重要位置 在高考中 有意設(shè)計(jì)一些能集中體現(xiàn)特殊與一般思想的試題 突出體現(xiàn)了特殊化方法的意義與作用 如通過構(gòu)造特殊函數(shù) 特殊數(shù)列 尋找特殊位置 利用特殊值 特殊方程等方法解決一般問題 抽象問題 運(yùn)動(dòng)變化問題 不確定問題等等 返回目錄 知識概要 特殊與一般的思想方法 考題剖析 返回目錄 1 2007 湖南岳陽市 數(shù)列 an 中 若a1 an n 2 n n 則a2007的值為 a 1b c 1d 2 考題剖析 返回目錄 a 解析 a1 an n 2 n n 則當(dāng)n 時(shí) a2 2 當(dāng)n 時(shí) a3 1 當(dāng)n 時(shí) a4 同理a5 2 a6 1 所以數(shù)列 an 是一個(gè)周期數(shù)列且t 故a2007 a3 1 特殊與一般的思想方法 點(diǎn)評 本題考查歸納 猜想思想方法 要求考生結(jié)合試題領(lǐng)悟 特殊與一般 的思想 首先通過特例探索 發(fā)現(xiàn)規(guī)律 然后利用這一規(guī)律來解題 對于求遞推關(guān)系給出的數(shù)列某一項(xiàng)的問題 常見解法一是直接求通項(xiàng)再用通項(xiàng)來求某一項(xiàng) 二是直接將數(shù)列按順序?qū)懗?三是寫出部分項(xiàng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律用規(guī)律得出結(jié)論 返回目錄 考題剖析 特殊與一般的思想方法 解析 解法1 因?yàn)楹瘮?shù)f x sin2x acos2x的圖象關(guān)于直線x 對稱 則f x f x 即sin2x acos2x sin2 x acos2 x 得sin2x acos2x cos2x asin2x恒成立所以 a sin2x cos2x 0恒成立 則必有 a 所以a 2 2007 江蘇常州市 如果函數(shù)y sin2x acos2x的圖象關(guān)于直線x 對稱 那么a 返回目錄 考題剖析 特殊與一般的思想方法 解法2 因?yàn)楹瘮?shù)f x sin2x acos2x的圖象關(guān)于直線x 對稱 所以f x f x 取x 0 則f f 即有a 解法3 函數(shù)y sin2x acos2x的圖象關(guān)于直線x 對稱 則函數(shù)在x 處取得極值 又y 2cos2x 2asin2x所以y x 2cos2 2asin2 得a 返回目錄 考題剖析 點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的對稱性問題 若函數(shù)f x 的圖象關(guān)于直線x a對稱 則恒有f x f 2a x 成立 但作為填空題 可以取特值進(jìn)行運(yùn)算 特殊與一般的思想方法 3 2007 湖南雅禮三月模擬 某地區(qū)的一種特色水果上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月 預(yù)測上市初期和后期會(huì)因供不應(yīng)求使價(jià)格呈連續(xù)上漲態(tài)勢 而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌 現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù) f x p qx f x px2 qx 1 f x x x q 2 p 以上三式中p q均為常數(shù) 且q 1 為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢 應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù) 為什么 若f 0 4 f 2 6 求出所選函數(shù)f x 的解析式 注 函數(shù)的定義域是 0 5 其中x 0表示4月1日 x 1表示5月1日 以此類推 為保證果農(nóng)的收益 打算在價(jià)格下跌期間積極拓寬外銷 請你預(yù)測該果品在哪幾個(gè)月份內(nèi)價(jià)格下跌 考題剖析 特殊與一般的思想方法 返回目錄 解析 應(yīng)選f x x x q 2 p 因?yàn)?f x p qx是單調(diào)函數(shù) f x px2 qx 1的圖象不具有先升再降后升特征 f x x x q 2 p中 f x 3x2 4qx q2 令f x 0 得x q x f x 有兩個(gè)零點(diǎn) 可以出現(xiàn)兩個(gè)遞增區(qū)間和一個(gè)遞減區(qū)間 考題剖析 特殊與一般的思想方法 返回目錄 由f 0 4 f 2 6得 解之得 其中q 1舍去 函數(shù)f x x x 3 2 4 即f x x3 6x2 9x 4 0 x 5 考題剖析 由f x 0 解得1 x 3 函數(shù)f x x3 6x2 9x 4在區(qū)間 1 3 上單調(diào)遞減 這種果品在5月 6月份價(jià)格下跌 點(diǎn)評 本題是一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)建模問題 主要考查函數(shù)知識在實(shí)際生活中的運(yùn)用 也是特殊與一般思想在生活中的運(yùn)用 特殊與一般的思想方法 返回目錄 2007 河北省唐山市 設(shè)函數(shù)fn x 1 x n n 研究函數(shù)f2 x 的單調(diào)性 判斷fn x 0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù) 并加以證明 考題剖析 解析 f2 x 1 x f 2 x 1 x x2 x 2 0所以f2 x 在 單調(diào)遞減 特殊與一般的思想方法 返回目錄 f1 x 1 x有唯一實(shí)數(shù)解x 1 由f2 0 1 0 f2 2 1 2 0 以及f2 x 在 單調(diào)遞減 知f2 x 在 0 2 有唯一實(shí)數(shù)解 從而f2 x 在 有唯一實(shí)數(shù)解 推斷fn x 在 有唯一實(shí)數(shù)解當(dāng)n 2時(shí) 由fn x 1 x n n 得 f n x 1 x x2 x2n 3 x2n 2 考題剖析 若x 1 則f n x f n 1 2n 1 0若x 0 則f n x f n 0 1 0若x 1且x 0時(shí) 則f n x 特殊與一般的思想方法 返回目錄 當(dāng)x 1時(shí) x 1 0 x2n 1 1 0 f n x 0總之f n x 0 fn x 在 單調(diào)遞減 fn 0 1 又 0所以fn x 在 0 2 有唯一實(shí)數(shù)解 從而fn x 在 有唯一實(shí)數(shù)解 綜上 fn x 0有唯一實(shí)數(shù)解 考題剖析 特殊與一般的思想方法 返回目錄 點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性 導(dǎo)數(shù)及連續(xù)函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 用特殊的函數(shù)開路尋找到解題方法 即判斷函數(shù)是單調(diào)的且圖象與x軸有交點(diǎn) 然后用一般方法來解題 考題剖析 特殊與一般的思想方法 返回目錄 2007 全國第二次大聯(lián)考 已知函數(shù)y f x 對于任意實(shí)數(shù)x y都有f x y f x f y 2xy 1 求f 0 的值 2 若f 1 1 求f 2 f 3 f 4 的值 猜想f n 的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論 n n 3 若f 1 1 求證 f 0 n n 考題剖析 解析 1 令x y 0 則f 0 2f 0 f 0 0 特殊與一般的思想方法 返回目錄 2 f 1 1 f 2 2f 1 2 4 f 3 f 2 f 1 4 9 f 4 f 3 f 1 6 16 猜想 f n n2 n n 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)n 1時(shí) 顯然成立 假設(shè)n k k n 時(shí)成立 則有f k k2當(dāng)n k 1時(shí) f k 1 f k f 1 2k k2 1 2k k 1 2 結(jié)論也成立 故f n n2 n n 成立 考題剖析 特殊與一般的思想方法 返回目錄 3 證明 f 1 1 f 1 2f 1 f 0可以證明f 0假設(shè)n k k n 時(shí)結(jié)論成立 即f 0 則 即n k 1時(shí)也成立 考題剖析 特殊與一般的思想方法 返回目錄 點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的有關(guān)知識和數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用 對于抽象函數(shù)求值通常是對抽象函數(shù)表達(dá)式賦特殊的值來求解 但對于常見的抽象函數(shù)表達(dá)形式可以類比熟悉的函數(shù)進(jìn)行思考 如f x 恒有關(guān)系式f x y f x f y 成立可類比指數(shù)函數(shù) f x 恒有關(guān)系式f xy f x f y 成立可類比對數(shù)函數(shù)等 數(shù)學(xué)歸納法往往用于一些與自然數(shù)有關(guān)問題的解答 觀察 歸納 猜想 證明是一個(gè)從特殊到一般的思考過程 也是一個(gè)嚴(yán)格而科學(xué)的探索問題和解決問題的過程 是思考問題的通常方法 對這種方法在高考中考查十分常見 考題剖析 特殊與一般的思想方法 返回目錄 規(guī)律總結(jié) 返回目錄 1 特殊與一般的思想方法是廣泛適用的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法 對于一般性問題 抽象問題 運(yùn)動(dòng)變化問題和不確定問題都可考慮運(yùn)用特殊與一般的思想方法去探求解題途徑 2 對于遞推數(shù)列問題 采用 歸納 猜想 證明 的方法去解決問題 首先通過特例探索 發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律 然后再用這個(gè)規(guī)律來解決其他特殊問題 這是特殊與一般思想最常見的應(yīng)用之一 3 對于某些特殊的問題 如求值 比較大小等 要注意研究其數(shù)量特征 發(fā)現(xiàn)一般模型 再由一般解決特殊 返回目錄 規(guī)律總結(jié) 特殊與一般的思想方法