江蘇省蘇北四市2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)（期末）試題（含解析）.docx

江蘇省蘇北四市2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)（期末）試題（含解析）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1.已知集合，則_.答案： 解：由題意直接求解即可得2.已知復(fù)數(shù)滿足，且的虛部小于0，則_.答案：解: ,則，又因?yàn)榈奶摬啃∮?，則3.若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則該組數(shù)據(jù)的方差是_.答案：解： 解得，4.執(zhí)行如圖所示的偽代碼，則輸出的結(jié)果為_.答案：20 5.函數(shù)的定義域?yàn)開.答案：解：由題意得：，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?.某學(xué)校高三年級(jí)有兩個(gè)自習(xí)教室，甲、乙、丙3名學(xué)生各自隨機(jī)選擇其中一個(gè)教室自習(xí)，則甲、乙兩人不在同一教室上自習(xí)的概率為_.答案：解：7.若關(guān)于的不等式的解集是，則實(shí)數(shù)的值為_.答案：4解：由題意得：，解得8.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)在拋物線上，則實(shí)數(shù)的值為_.答案：解：由題意得：雙曲線右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)為，代入得：9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為_.答案：135解：，則，解得：，因?yàn)?0.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相鄰的三個(gè)交點(diǎn)分別是，則的面積為_.答案：11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓與圓外切與點(diǎn)，且過點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.答案：12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若，則實(shí)數(shù)的值為_.答案：3解：由題意得： ，解得：13.如圖，在中，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則的最小值為_.答案：解：14.設(shè)函數(shù)，其中.若恒成立，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為_.答案：方法一：所以當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，上述等號(hào)成立，所以取最小值時(shí)，.方法二：由對(duì)稱性可知，最小時(shí)，且所以，即，則二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15. （本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，分別為棱的中點(diǎn)，平面平面.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面. 解：（1）在中，因?yàn)镸，N分別為棱PB，PC的中點(diǎn)， 所以MN/ BC 3分 又MN平面AMN，BC平面AMN， 所以BC/平面AMN6分（2） 在中，因?yàn)?，M為棱PB的中點(diǎn)，所以8分 又因?yàn)槠矫鍼AB平面PBC，平面PAB平面PBC，平面PAB， 所以平面PBC12分 又平面AMN，所以平面AMN平面PBC 14分16. （本小題滿分14分）在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.解：（1）在中，由余弦定理得，即， 4分解得或（舍），所以 6分（2）由及得，8分所以，又因?yàn)椋?，從而?2分所以14分17. （本小題滿分14分）如圖，在圓錐中，底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5.用一個(gè)平行于底面的平面區(qū)截圓錐，截面圓的圓心為，半徑為，現(xiàn)要以截面為底面，圓錐底面圓心為頂點(diǎn)挖去一個(gè)倒立的小圓錐，記圓錐的體積為.（1）將表示成的函數(shù)；（2）求得最大值.解：（1）在中， 2分由可知，所以，4分所以，所以7分（2）由（1）得，所以，令，得，9分當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，取得最大值答：小圓錐的體積的最大值為14分18. （本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn)為,過點(diǎn)作直線與圓相切，與橢圓交于另一點(diǎn)，與右準(zhǔn)線交于點(diǎn).設(shè)直線的斜率為.（1）用表示橢圓的離心率；（2）若,求橢圓的離心率.（1）直線l的方程為，即，因?yàn)橹本€l與圓相切，所以，故所以橢圓的離心率4分（2）設(shè)橢圓的焦距為，則右準(zhǔn)線方程為，由得，所以，6分由得，解得，則，所以，10分因?yàn)?，所以，即?2分由（1）知，所以，所以，即，所以，故橢圓的離心率為16分19. （本小題滿分16分）已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；（2）若的導(dǎo)函數(shù)存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由.解：（1），因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，所以，得2分（2）因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)不相等的零點(diǎn) 所以存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，則 當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)4分當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以時(shí)， 6分因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，解得7分因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn) 8分因?yàn)椋砸驗(yàn)?，設(shè)，則，因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為10分（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則所以單調(diào)遞增，且，所以存在使得，12分因?yàn)楫?dāng)時(shí)，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即，所以單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得極小值，也是最小值，此時(shí)，14分因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且為整?shù)，所以，即的最大值為16分20. （本小題滿分16分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，對(duì)任意的,都有，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求所有正整數(shù)的值，使得恰好為數(shù)列中的項(xiàng).解：（1）由，可知，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，即，即，解得或，2分當(dāng)時(shí)，所以，則，所以數(shù)列的公比為1，不符合題意；當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的公比，所以實(shí)數(shù)的值為 4分（2）由（1）知，所以則，6分則，因?yàn)椋?，且，所以，則，設(shè)，8分則或?yàn)榕紨?shù)，因?yàn)椴豢赡?，所以或?yàn)榕紨?shù)，當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，即，所以可取值為1，2，3，驗(yàn)證得，當(dāng)時(shí)，成立12分當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，由知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，所以的最小值為，所以，令，則，即，無(wú)整數(shù)解綜上，正整數(shù)m的值16分徐州市2019-2020學(xué)年度高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（附加題）21【選做題】本題包含A、B、C小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在答題卡相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩題評(píng)分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修42：矩陣與變換 （本小題滿分10分）已知矩陣 的一個(gè)特征值為4，求矩陣的逆矩陣.解：矩陣的特征多項(xiàng)式為2分因?yàn)榫仃嚨囊粋€(gè)特征值為4，所以，所以5分所以，所以10分B選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在曲線上點(diǎn),使點(diǎn)到的距離最小，并求出最小值.解：由，及，所以的直角坐標(biāo)方程為 2分在曲線上取點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離，6分當(dāng)時(shí)，取最小值，8分此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為10分C選修45：不等式選講 （本小題滿分10分）已知正數(shù)滿足，求的最小值.解：因?yàn)槎紴檎龜?shù)，且，所以由柯西不等式得，5分，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為310分第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22.（本小題滿分10分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，側(cè)面為菱形，平面平面.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值.解：（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，（?2題）BACxyzB1A1C1平面，所以平面. 2分以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以,所在的直線為,軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則， 在菱形中，因?yàn)?，所以，所以因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為6分（2）由（1）可知，所以 設(shè)平面的一