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第17題自然數(shù)的立方和有什么規(guī)律1323=132333=132333+43=你能發(fā)現(xiàn)自然數(shù)的立方和有什么規(guī)律嗎?毛分析:試算一歸納一猜想一論證是研究與發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段,也是探求數(shù)學(xué)模式的重要途徑。要解決本題,我們可先考察前2個(gè)自然數(shù)的立方和,前3個(gè)自然數(shù)的立方和,前4個(gè)自然數(shù)的立方和等特殊情形,再?gòu)闹袑で笠话愕囊?guī)律。解:試算:1323=9=3213+2333=36=621323+33+43=100=10213+233343+53=225=152歸納:從以上的試算可發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)果均為一個(gè)平方數(shù),那么這些平方數(shù)又有怎樣的規(guī)律呢?我們?cè)龠M(jìn)行試算:12=3123=612+3+4=101+2345=15由此我們可進(jìn)一步歸納發(fā)現(xiàn)前n個(gè)自然數(shù)的立方和正好等于前n個(gè)自然數(shù)和的平方。因此我們猜測(cè):1323+33n3=(123+n)2回顧:以上為了發(fā)現(xiàn)前n個(gè)自然數(shù)的立方和的規(guī)律,我們先觀察n=2,3,4,5的一些特殊情況,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,進(jìn)而對(duì)它的一般情況作出預(yù)測(cè),猜測(cè)前n個(gè)自然數(shù)的立方和為前n個(gè)自然數(shù)之和的平方。數(shù)學(xué)家或科技人員面對(duì)某一個(gè)問題,在研究它的一些特殊情況的基礎(chǔ)上,對(duì)它的一般情況作出預(yù)測(cè),這樣的預(yù)測(cè)叫做猜想。例如,德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫(Gold-bach,16901764)經(jīng)過觀察,發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象:任何大于5的整數(shù),都可以表示為三個(gè)質(zhì)數(shù)的和,他猜想這個(gè)命題是正確的,但他本人無(wú)法給予證明。1742年6月6日,哥德巴赫去求教當(dāng)時(shí)頗負(fù)盛名的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler,17071783)歐拉經(jīng)過反復(fù)研究,發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵在于證明任意大于2的偶數(shù),都能表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。于是,歐拉對(duì)大于2的偶數(shù)逐個(gè)加以觀察,得到如下一張長(zhǎng)長(zhǎng)的表:4=226=338=3510=37=5512=5+714=3+11=7+716=313=51118=513=71120=317=7+1322=319=517=11+1124=519=7+17=111326=323=719=131328=523=1117這張表還能繼續(xù)延長(zhǎng)下去,最后歐拉猜想上述結(jié)論是正確的。6月30日,他復(fù)信哥德巴赫,信中指出:“任何大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和,雖然我還不能證明它,但我確信無(wú)疑這是完全正確的定理?!边@就是著名的哥德巴赫猜想。兩百多年來(lái),許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家為攻克這猜想付出了辛勤的勞動(dòng)。目前,利用計(jì)算機(jī)已經(jīng)驗(yàn)證了1億3千萬(wàn)個(gè)偶數(shù),還未發(fā)現(xiàn)反例。我國(guó)數(shù)學(xué)家在對(duì)篩選法作了重大改進(jìn)后,于1966年5月,證明,任何一個(gè)充分大的偶數(shù),都可以表示成兩個(gè)數(shù)之和,其中一個(gè)是素?cái)?shù)(即質(zhì)數(shù)),另一個(gè)或者是素?cái)?shù),或者是兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積。這結(jié)果震驚中外,被命名為“陳氏定理”。這定理已與證明哥德巴赫猜想僅一步之遙了,但這是最艱難的一步。近年來(lái),各國(guó)數(shù)學(xué)家競(jìng)相攀登,但至今還未有人能摘到這顆數(shù)學(xué)“皇冠上的明珠”。人們對(duì)一個(gè)個(gè)猜想所作的大量研究工作,無(wú)論是攻克了,還是沒有攻克,均促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)中的許多定理、法則等都是以個(gè)別、特殊的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中,通過尋求共性,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,作出合情合理的猜想后得到的。猜想不一定總是成立,有時(shí)它是正確的,但有時(shí)也可能是錯(cuò)誤的,必須對(duì)它加以證明,才能確認(rèn)。法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬1640年發(fā)現(xiàn):即F(0)=3,F(xiàn)(1)=5,F(xiàn)(2)=17,F(xiàn)(3)=257,F(xiàn)(4)=65537,都是質(zhì)數(shù),于是,他猜想F(n)(n為自然數(shù))都是質(zhì)數(shù),4294967297,這個(gè)數(shù)能被641整除,所以f(5)不是質(zhì)數(shù),后來(lái)又有人發(fā)現(xiàn)n=6,7,8,9,11,12,15,18,23時(shí),f(n)都不是質(zhì)數(shù)。雖然由猜想得出的結(jié)論并不一定可靠,然而從數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)探索能力的角度來(lái)說(shuō),則是十分重要的。牛頓也曾說(shuō)過:“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”。觀察以下式子你能得出什么規(guī)律?1=11341359135716因?yàn)?=12,4=22,9=32,16=42,我們可猜想前n個(gè)正奇數(shù)的和等于n的平方,即:1+3+5+(2n-1)=n2計(jì)算下列各式的值,你能得出什么規(guī)律?(1234)1(2345)1(3456)1(4567)1因?yàn)?1234)1=25=52(2345)1=121=112(3456)1=361=192(4567)1=841=292所以我們可猜想:n(n1)(n2)(n3)1=n(n3)12即:n(n1)(n2)(n3)1=(n23n+1)2注:猜想雖然重要,但它的正確性還需通過嚴(yán)格的論證。對(duì)于以上歸納猜測(cè)得到的1323+n3=(1+2n)2這種與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,我們常采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明它們的正確性。所謂數(shù)學(xué)歸納法就是:先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1)時(shí)命題成立,然后假設(shè)當(dāng)n=k(kN,kn0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k1時(shí)命題也成立(因?yàn)樽C明了這一點(diǎn),就可以斷定這個(gè)命題對(duì)于n取第一個(gè)值后面的所有自然數(shù)也都成立)。證明:(這里用幾何方法)當(dāng)n=1時(shí),畫一個(gè)邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形,面積為12,數(shù)值上等于13。當(dāng)n=2時(shí),把長(zhǎng)為1的正方形看作第1層殼,在它上面再鑲上第2層殼,構(gòu)成邊長(zhǎng)為12的正方形,面積為(12)2,這層殼的面積為8,因此(12)2=18=1323,再鑲上第3層殼(圖171)就有(123)2=1827=132333需要證明:第k層殼(圖172)的面積S為k3。因?yàn)镾=SA+SBSCSC=k2觀察(或試算)往往可以看出事物的個(gè)別的特征,是探索規(guī)律的基本條件。歸納就是將所反映出來(lái)的特征進(jìn)行分類、整理、加工、使之初步上升為本質(zhì)的東西。它是探索規(guī)律的前提。正確的歸納,抓住規(guī)律的本質(zhì),充分根據(jù)數(shù)字、式子、圖形的基本特征,是合理猜想的基礎(chǔ)。猜想不是盲目瞎猜,是根據(jù)特征分析,帶有規(guī)律的發(fā)現(xiàn),證明是用數(shù)學(xué)工具對(duì)思維的正確程度加以判斷的手段,只有嚴(yán)格論證才能反映出對(duì)規(guī)律猜想的合理性。觀察(或試算)、歸納,猜想,證明在探求或研究具體數(shù)學(xué)規(guī)律中有機(jī)地結(jié)合在一起,這樣能起到積極的作用。最后,再說(shuō)明一點(diǎn),通常猜想是指數(shù)學(xué)家對(duì)重大數(shù)學(xué)問題,根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律作出的合情推理,對(duì)于我們所遇到的數(shù)學(xué)問題,在發(fā)現(xiàn)規(guī)律后,所作的合情推理,往往只能稱為猜測(cè)。猜測(cè)法也是解決問題的一個(gè)重要策略,它有助于構(gòu)思解題的方向。在解決問題時(shí),學(xué)會(huì)做各種數(shù)學(xué)猜測(cè),然后加以證明,有利于發(fā)展創(chuàng)造性思維。練習(xí)171古希臘學(xué)者用圓球堆成大大小小的一系列等邊三角形:每堆球數(shù)依次為1,3,6,這種數(shù)叫做“三角形數(shù)”或簡(jiǎn)稱“三角數(shù)”。著名的幾何學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾對(duì)三角形數(shù)作過專門的研究,并獲得了豐碩的成果。如果用tn表示第n個(gè)三角形數(shù),則由上圖可知t1=1,t2=3,t3=6(1)求t2-t1,t3-t2,t4-t3的值,并找出規(guī)律。(2)求t1t2,t2t3,t3t4的值,并找出規(guī)律。(3)求tn。2圍棋盤上共有324個(gè)小方格,在此棋盤上任意畫上一條直線,這樣的直線最多能穿過的小方格的格數(shù)是多少?練習(xí)17答案1因?yàn)閠1=1,t2=3,t3=6,t4=10,所以t2-t1=2,t3-t2=3,t4-t3=4,因此我們不難發(fā)現(xiàn)tn-tn-1=n這一規(guī)律。同樣t1t2=4=22,t2t39=32,t3t4=16=42故我們也能發(fā)現(xiàn)tn-1+tn=n2這一規(guī)律。因?yàn)椋簍2-t1=2t3-t2=3t4-t34tn-tn-1=n將以上n-1個(gè)等式相加得tn-t123n所以tn=123+n2當(dāng)棋盤上共有22個(gè)小方格時(shí),由附圖171(1)可見,任畫一直線最多能

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