第17題自然數(shù)的立方和有什么規(guī)律.doc

第17題自然數(shù)的立方和有什么規(guī)律1323=132333=132333+43=你能發(fā)現(xiàn)自然數(shù)的立方和有什么規(guī)律嗎？毛分析：試算一歸納一猜想一論證是研究與發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段，也是探求數(shù)學(xué)模式的重要途徑。要解決本題，我們可先考察前2個(gè)自然數(shù)的立方和，前3個(gè)自然數(shù)的立方和，前4個(gè)自然數(shù)的立方和等特殊情形，再?gòu)闹袑で笠话愕囊?guī)律。解：試算：1323=9=3213+2333=36=621323+33+43=100=10213+233343+53=225=152歸納：從以上的試算可發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)果均為一個(gè)平方數(shù)，那么這些平方數(shù)又有怎樣的規(guī)律呢？我們?cè)龠M(jìn)行試算：12=3123=612+3+4=101+2345=15由此我們可進(jìn)一步歸納發(fā)現(xiàn)前n個(gè)自然數(shù)的立方和正好等于前n個(gè)自然數(shù)和的平方。因此我們猜測(cè)：1323+33n3=(123+n)2回顧：以上為了發(fā)現(xiàn)前n個(gè)自然數(shù)的立方和的規(guī)律，我們先觀察n=2，3，4，5的一些特殊情況，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而對(duì)它的一般情況作出預(yù)測(cè)，猜測(cè)前n個(gè)自然數(shù)的立方和為前n個(gè)自然數(shù)之和的平方。數(shù)學(xué)家或科技人員面對(duì)某一個(gè)問題，在研究它的一些特殊情況的基礎(chǔ)上，對(duì)它的一般情況作出預(yù)測(cè)，這樣的預(yù)測(cè)叫做猜想。例如，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫(Gold-bach，16901764)經(jīng)過觀察，發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：任何大于5的整數(shù)，都可以表示為三個(gè)質(zhì)數(shù)的和，他猜想這個(gè)命題是正確的，但他本人無(wú)法給予證明。1742年6月6日，哥德巴赫去求教當(dāng)時(shí)頗負(fù)盛名的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler，17071783)歐拉經(jīng)過反復(fù)研究，發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵在于證明任意大于2的偶數(shù)，都能表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。于是，歐拉對(duì)大于2的偶數(shù)逐個(gè)加以觀察，得到如下一張長(zhǎng)長(zhǎng)的表：4=226=338=3510=37=5512=5+714=3+11=7+716=313=51118=513=71120=317=7+1322=319=517=11+1124=519=7+17=111326=323=719=131328=523=1117這張表還能繼續(xù)延長(zhǎng)下去，最后歐拉猜想上述結(jié)論是正確的。6月30日，他復(fù)信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，雖然我還不能證明它，但我確信無(wú)疑這是完全正確的定理?！边@就是著名的哥德巴赫猜想。兩百多年來(lái)，許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家為攻克這猜想付出了辛勤的勞動(dòng)。目前，利用計(jì)算機(jī)已經(jīng)驗(yàn)證了1億3千萬(wàn)個(gè)偶數(shù)，還未發(fā)現(xiàn)反例。我國(guó)數(shù)學(xué)家在對(duì)篩選法作了重大改進(jìn)后，于1966年5月，證明，任何一個(gè)充分大的偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)數(shù)之和，其中一個(gè)是素?cái)?shù)(即質(zhì)數(shù))，另一個(gè)或者是素?cái)?shù)，或者是兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積。這結(jié)果震驚中外，被命名為“陳氏定理”。這定理已與證明哥德巴赫猜想僅一步之遙了，但這是最艱難的一步。近年來(lái)，各國(guó)數(shù)學(xué)家競(jìng)相攀登，但至今還未有人能摘到這顆數(shù)學(xué)“皇冠上的明珠”。人們對(duì)一個(gè)個(gè)猜想所作的大量研究工作，無(wú)論是攻克了，還是沒有攻克，均促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)中的許多定理、法則等都是以個(gè)別、特殊的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中，通過尋求共性，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出合情合理的猜想后得到的。猜想不一定總是成立，有時(shí)它是正確的，但有時(shí)也可能是錯(cuò)誤的，必須對(duì)它加以證明，才能確認(rèn)。法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬1640年發(fā)現(xiàn)：即F(0)=3，F(xiàn)(1)=5，F(xiàn)(2)=17，F(xiàn)(3)=257，F(xiàn)(4)=65537，都是質(zhì)數(shù)，于是，他猜想F(n)(n為自然數(shù))都是質(zhì)數(shù)，4294967297，這個(gè)數(shù)能被641整除，所以f(5)不是質(zhì)數(shù)，后來(lái)又有人發(fā)現(xiàn)n=6，7，8，9，11，12，15，18，23時(shí)，f(n)都不是質(zhì)數(shù)。雖然由猜想得出的結(jié)論并不一定可靠，然而從數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)探索能力的角度來(lái)說(shuō)，則是十分重要的。牛頓也曾說(shuō)過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”。觀察以下式子你能得出什么規(guī)律？1=11341359135716因?yàn)?=12，4=22，9=32，16=42，我們可猜想前n個(gè)正奇數(shù)的和等于n的平方，即：1+3+5+(2n-1)=n2計(jì)算下列各式的值，你能得出什么規(guī)律？(1234)1(2345)1(3456)1(4567)1因?yàn)?1234)1=25=52(2345)1=121=112(3456)1=361=192(4567)1=841=292所以我們可猜想：n(n1)(n2)(n3)1=n(n3)12即：n(n1)(n2)(n3)1=(n23n+1)2注：猜想雖然重要，但它的正確性還需通過嚴(yán)格的論證。對(duì)于以上歸納猜測(cè)得到的1323+n3=(1+2n)2這種與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們常采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明它們的正確性。所謂數(shù)學(xué)歸納法就是：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1)時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k(kN，kn0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k1時(shí)命題也成立(因?yàn)樽C明了這一點(diǎn)，就可以斷定這個(gè)命題對(duì)于n取第一個(gè)值后面的所有自然數(shù)也都成立)。證明：(這里用幾何方法)當(dāng)n=1時(shí)，畫一個(gè)邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，面積為12，數(shù)值上等于13。當(dāng)n=2時(shí)，把長(zhǎng)為1的正方形看作第1層殼，在它上面再鑲上第2層殼，構(gòu)成邊長(zhǎng)為12的正方形，面積為(12)2，這層殼的面積為8，因此(12)2=18=1323，再鑲上第3層殼(圖171)就有(123)2=1827=132333需要證明：第k層殼(圖172)的面積S為k3。因?yàn)镾=SA+SBSCSC=k2觀察(或試算)往往可以看出事物的個(gè)別的特征，是探索規(guī)律的基本條件。歸納就是將所反映出來(lái)的特征進(jìn)行分類、整理、加工、使之初步上升為本質(zhì)的東西。它是探索規(guī)律的前提。正確的歸納，抓住規(guī)律的本質(zhì)，充分根據(jù)數(shù)字、式子、圖形的基本特征，是合理猜想的基礎(chǔ)。猜想不是盲目瞎猜，是根據(jù)特征分析，帶有規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，證明是用數(shù)學(xué)工具對(duì)思維的正確程度加以判斷的手段，只有嚴(yán)格論證才能反映出對(duì)規(guī)律猜想的合理性。觀察(或試算)、歸納，猜想，證明在探求或研究具體數(shù)學(xué)規(guī)律中有機(jī)地結(jié)合在一起，這樣能起到積極的作用。最后，再說(shuō)明一點(diǎn)，通常猜想是指數(shù)學(xué)家對(duì)重大數(shù)學(xué)問題，根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律作出的合情推理，對(duì)于我們所遇到的數(shù)學(xué)問題，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，所作的合情推理，往往只能稱為猜測(cè)。猜測(cè)法也是解決問題的一個(gè)重要策略，它有助于構(gòu)思解題的方向。在解決問題時(shí)，學(xué)會(huì)做各種數(shù)學(xué)猜測(cè)，然后加以證明，有利于發(fā)展創(chuàng)造性思維。練習(xí)171古希臘學(xué)者用圓球堆成大大小小的一系列等邊三角形：每堆球數(shù)依次為1，3，6，這種數(shù)叫做“三角形數(shù)”或簡(jiǎn)稱“三角數(shù)”。著名的幾何學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾對(duì)三角形數(shù)作過專門的研究，并獲得了豐碩的成果。如果用tn表示第n個(gè)三角形數(shù)，則由上圖可知t1=1，t2=3，t3=6(1)求t2-t1，t3-t2，t4-t3的值，并找出規(guī)律。(2)求t1t2，t2t3，t3t4的值，并找出規(guī)律。(3)求tn。2圍棋盤上共有324個(gè)小方格，在此棋盤上任意畫上一條直線，這樣的直線最多能穿過的小方格的格數(shù)是多少？練習(xí)17答案1因?yàn)閠1=1，t2=3，t3=6，t4=10，所以t2-t1=2，t3-t2=3，t4-t3=4，因此我們不難發(fā)現(xiàn)tn-tn-1=n這一規(guī)律。同樣t1t2=4=22，t2t39=32，t3t4=16=42故我們也能發(fā)現(xiàn)tn-1+tn=n2這一規(guī)律。因?yàn)椋簍2-t1=2t3-t2=3t4-t34tn-tn-1=n將以上n-1個(gè)等式相加得tn-t123n所以tn=123+n2當(dāng)棋盤上共有22個(gè)小方格時(shí)，由附圖171(1)可見，任畫一直線最多能